Eventos independentes
Você lança uma moeda e um dado ao mesmo tempo. Tira uma carta, devolve ao baralho e tira outra. Duas máquinas de uma fábrica examinam a mesma peça, cada uma por conta própria. Nos três casos, o que acontece em uma parte do experimento não muda nada no que pode acontecer na outra: são eventos independentes. Neste apartado você vai aprender a calcular a probabilidade de eles acontecerem juntos.
O que significa ser independente
Lança-se uma moeda equilibrada e um dado cúbico comum (com faces numeradas de 1 a 6). Qual é a probabilidade de obter "coroa" na moeda e um "5" no dado?
Lança-se uma moeda equilibrada e um dado cúbico comum (com faces numeradas de 1 a 6). Qual é a probabilidade de obter "coroa" na moeda e um "5" no dado?
Dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório cumprem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a sua…
Dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório cumprem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a sua resposta matematicamente.
Regra do produto
Quando se retira com reposição (devolve-se o que foi tirado antes da próxima retirada), a composição não muda: as extrações são independentes.
Em uma urna há 3 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a sua cor, devolve-se à urna e retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de a…
Em uma urna há 3 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a sua cor, devolve-se à urna e retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de a primeira bola ser vermelha e a segunda ser azul.
Dois arqueiros, Ana e Carlos, atiram em um alvo. A probabilidade de Ana acertar o centro é $0,7$ e a de Carlos acertar é $0,6$. Se ambos atirarem de forma independente,…
Dois arqueiros, Ana e Carlos, atiram em um alvo. A probabilidade de Ana acertar o centro é $0,7$ e a de Carlos acertar é $0,6$. Se ambos atirarem de forma independente, qual é a probabilidade de os dois acertarem o centro do alvo?
De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta, anota-se o seu valor, devolve-se ao maço e retira-se uma segunda carta. Determine a probabilidade de tirar um…
De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta, anota-se o seu valor, devolve-se ao maço e retira-se uma segunda carta. Determine a probabilidade de tirar um "Rei" na primeira retirada e uma carta do naipe de "Copas" na segunda.
Vários eventos independentes e «pelo menos um»
Em sistemas com vários componentes que falham separadamente (servidores, alarmes, motores), a regra do produto se aplica tantas vezes quantos forem os componentes.
Dois eventos independentes têm complementares também independentes, então $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$. Para exatamente um ou exatamente dois eventos, some os casos separados: cada caso é um produto.
Sabe-se que dois eventos $A$ e $B$ são independentes. Se a probabilidade de ocorrer $A$ é $P(A) = 0,3$ e a probabilidade de ocorrer $B$ é $P(B) = 0,8$, calcule a…
Sabe-se que dois eventos $A$ e $B$ são independentes. Se a probabilidade de ocorrer $A$ é $P(A) = 0,3$ e a probabilidade de ocorrer $B$ é $P(B) = 0,8$, calcule a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos dois, ou seja, $P(A \cup B)$.
Um estudante responde completamente ao acaso a um teste curto de 3 perguntas. Cada pergunta tem 4 opções de resposta e apenas uma é correta. Qual é a probabilidade de…
Um estudante responde completamente ao acaso a um teste curto de 3 perguntas. Cada pergunta tem 4 opções de resposta e apenas uma é correta. Qual é a probabilidade de ele acertar todas as perguntas?
Em uma fábrica, duas máquinas de controle de qualidade revisam os produtos de forma independente. A máquina 1 detecta um defeito com uma probabilidade de $0,9$, enquanto…
Em uma fábrica, duas máquinas de controle de qualidade revisam os produtos de forma independente. A máquina 1 detecta um defeito com uma probabilidade de $0,9$, enquanto a máquina 2 o faz com uma probabilidade de $0,85$. Se um produto defeituoso passar por ambas as máquinas, qual é a probabilidade de pelo menos uma das duas detectar o defeito?
Um sistema de informática de um hospital conta com 3 servidores independentes para evitar quedas no serviço. A probabilidade de um servidor falhar em um dia qualquer é…
Um sistema de informática de um hospital conta com 3 servidores independentes para evitar quedas no serviço. A probabilidade de um servidor falhar em um dia qualquer é $0,05$. Qual é a probabilidade de o sistema continuar funcionando (ou seja, de pelo menos um servidor não falhar) durante um dia inteiro?
Um jogador de basquete tem uma porcentagem de acerto em lances livres de $80\%$. Se ele lançar 3 lances livres de forma independente, qual é a probabilidade de acertar…
Um jogador de basquete tem uma porcentagem de acerto em lances livres de $80\%$. Se ele lançar 3 lances livres de forma independente, qual é a probabilidade de acertar exatamente dois deles?
Componentes em série e em paralelo
Em um circuito, componentes em série só deixam a corrente passar se todos funcionarem: multiplique as probabilidades de funcionar. Componentes em paralelo só bloqueiam a corrente se todos falharem: use o complementar, $1 - P(\text{todos falham})$.
Um circuito eletrônico é formado por três componentes, $A$, $B$ e $C$, que funcionam de maneira independente. O componente $A$ está conectado em série com um bloco…
Um circuito eletrônico é formado por três componentes, $A$, $B$ e $C$, que funcionam de maneira independente. O componente $A$ está conectado em série com um bloco formado por $B$ e $C$ em paralelo. As probabilidades de cada componente funcionar corretamente sem falhar são $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,7$. Calcule a probabilidade de a corrente elétrica poder passar de uma extremidade à outra do circuito.
Jogos por turnos
Quando uma partida pode durar vários turnos, some as probabilidades de o jogador vencer em cada turno possível. Elas formam uma progressão geométrica infinita de razão $q$ com $0 < q < 1$, cuja soma é $\dfrac{a_1}{1 - q}$.
Dois amigos, Santiago e Diana, lançam um dado equilibrado alternadamente. O primeiro que tirar um "6" ganha a partida e o jogo termina. Se Santiago lançar primeiro,…
Dois amigos, Santiago e Diana, lançam um dado equilibrado alternadamente. O primeiro que tirar um "6" ganha a partida e o jogo termina. Se Santiago lançar primeiro, calcule a probabilidade exata de Santiago ganhar a partida. (Dica: considere os turnos como uma série geométrica infinita).
Resumo
Volte ao começo: moeda e dado, carta devolvida ao baralho e duas máquinas em uma fábrica são eventos independentes, e a probabilidade de acontecerem juntos é o produto das probabilidades.