Crescimento, máximos e mínimos
Em uma partida de futebol, um jogador não corre sempre na mesma velocidade: em alguns trechos ele acelera mais, em outros menos. Como comparar, com um único número, quão rápido algo muda em trechos diferentes? É isso que a taxa de variação média nos permite fazer.
Taxa de variação média
Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = 4x - 7$ nos intervalos $[-2, 1]$ e $[1, 5]$. Em vista dos resultados, que relação existe entre a taxa de variação…
Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = 4x - 7$ nos intervalos $[-2, 1]$ e $[1, 5]$. Em vista dos resultados, que relação existe entre a taxa de variação média e o coeficiente angular de uma função afim?
Dada a função quadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, encontre sua taxa de variação média no intervalo $[2, 4]$. O que o resultado obtido indica sobre o valor da função nos…
Dada a função quadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, encontre sua taxa de variação média no intervalo $[2, 4]$. O que o resultado obtido indica sobre o valor da função nos extremos do intervalo?
A temperatura $T$ (em $^\circ\text{C}$) de um paciente desde que dá entrada na emergência é dada pela fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, onde $t$ é o tempo decorrido…
A temperatura $T$ (em $^\circ\text{C}$) de um paciente desde que dá entrada na emergência é dada pela fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas. Calcule a taxa de variação média da temperatura nas duas primeiras horas ($t \in [0, 2]$).
Três formas de medir a mudança
Um reservatório tem $40$ litros no minuto $2$ e $60$ litros no minuto $6$:
| Medida | Cálculo | Interpretação |
|---|---|---|
| Variação absoluta | $60-40=20$ L | Quanto aumentou |
| Variação relativa | $(60-40)/40=0{,}5=50\%$ | Aumento em relação ao valor inicial (que deve ser diferente de zero) |
| Taxa de variação média | $(60-40)/(6-2)=5$ L/min | Mudança por unidade de tempo |
Duas funções diferentes podem ter os mesmos extremos e a mesma TVM, mesmo variando de modo distinto entre eles. Observe: $y=5x+30$ e $y=40+1{,}25(x-2)^2$ coincidem em $x=2$ e $x=6$.
Se você parte de zero litros, a variação absoluta e a TVM continuam fazendo sentido, mas a porcentagem de aumento em relação a zero não está definida.
Crescimento e decrescimento
Sem necessidade de representá-la graficamente, determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função quadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Sem necessidade de representá-la graficamente, determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função quadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Se sabemos que a taxa de variação média de uma função contínua no intervalo $[1, 4]$ é negativa, podemos garantir com total certeza que a função é estritamente…
Se sabemos que a taxa de variação média de uma função contínua no intervalo $[1, 4]$ é negativa, podemos garantir com total certeza que a função é estritamente decrescente em todo esse intervalo? Justifique sua resposta de forma teórica ou por meio de um exemplo gráfico.
Um projétil é lançado verticalmente para cima de modo que sua altura em metros é dada pela função $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, onde $t$ é o tempo em segundos. Calcule a…
Um projétil é lançado verticalmente para cima de modo que sua altura em metros é dada pela função $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, onde $t$ é o tempo em segundos. Calcule a taxa de variação média da altura nos intervalos $[0, 2]$ e $[6, 8]$. Interprete fisicamente o significado e o sinal dos resultados obtidos.
O custo médio de produção de $x$ decâmetros de um cabo especial é dado pela função $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (em reais). Calcule a taxa de variação média do custo…
O custo médio de produção de $x$ decâmetros de um cabo especial é dado pela função $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (em reais). Calcule a taxa de variação média do custo entre $x = 10$ e $x = 20$. O custo médio cresce ou decresce nesse intervalo de produção?
Máximos e mínimos
Em uma parábola $y = ax^2+bx+c$, com $a\ne0$ e domínio $\mathbb R$, o vértice é o único extremo: máximo absoluto se $a<0$ (concavidade para baixo) e mínimo absoluto se $a>0$ (concavidade para cima). A abscissa do vértice é $xv = -\dfrac{b}{2a}$.
É no vértice que a parábola muda o sentido da variação. Se $a>0$, a função decresce até $x_v$ e cresce depois dele. Se $a<0$, ocorre o contrário: cresce até $x_v$ e decresce depois. Assim dá para achar os intervalos de crescimento e decrescimento sem desenhar o gráfico.
É no vértice que a parábola muda o sentido da variação. Se $a>0$, a função decresce até $x_v$ e cresce depois dele. Se $a<0$, ocorre o contrário: cresce até $x_v$ e decresce depois. Assim dá para achar os intervalos de crescimento e decrescimento sem desenhar o gráfico.
É no vértice que a parábola muda o sentido da variação. Se $a>0$, a função decresce até $x_v$ e cresce depois dele. Se $a<0$, ocorre o contrário: cresce até $x_v$ e decresce depois. Assim dá para achar os intervalos de crescimento e decrescimento sem desenhar o gráfico.
É no vértice que a parábola muda o sentido da variação. Se $a>0$, a função decresce até $x_v$ e cresce depois dele. Se $a<0$, ocorre o contrário: cresce até $x_v$ e decresce depois. Assim dá para achar os intervalos de crescimento e decrescimento sem desenhar o gráfico.
Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine seus intervalos de crescimento e decrescimento. Escreva também as coordenadas de seus máximos e mínimos relativos.
Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine seus intervalos de crescimento e decrescimento. Escreva também as coordenadas de seus máximos e mínimos relativos.
A seguinte tabela mostra os lucros diários (em centenas de reais) de um pequeno comércio durante uma semana: | Dia | S | T | Q | Q | S | S | D |…
A seguinte tabela mostra os lucros diários (em centenas de reais) de um pequeno comércio durante uma semana:
| Dia | S | T | Q | Q | S | S | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Lucro | 4 | 8 | 5 | 2 | 6 | 9 | 3 |
Identifique em quais dias se alcançam os máximos e mínimos relativos dos lucros durante essa semana, justificando sua resposta com base no crescimento e decrescimento.
Encontre as coordenadas do vértice da parábola de equação $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indique se esse vértice corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto da função.
Encontre as coordenadas do vértice da parábola de equação $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indique se esse vértice corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto da função.
O gráfico em anexo mostra a concentração de um medicamento no sangue de um paciente (em mg/L) em função do tempo decorrido (em horas) desde a sua administração.…
O gráfico em anexo mostra a concentração de um medicamento no sangue de um paciente (em mg/L) em função do tempo decorrido (em horas) desde a sua administração. Determine os intervalos em que a concentração aumenta e diminui, e indique o momento em que se atinge a concentração máxima e seu valor aproximado.
Otimização: encontrar o melhor valor
Funções definidas por partes
Uma função pode ter fórmulas diferentes em trechos diferentes do domínio, como em uma tarifa de táxi. Para estudá-la, analise cada trecho separadamente (crescimento e extremos) e depois compare os valores na fronteira entre os trechos.
Máximo de uma função com denominador
Nem todo máximo vem de uma parábola. Em $f(x) = \dfrac{k}{x^2 + 4}$ com $k > 0$, o denominador é o menor possível quando $x^2 = 0$, isto é, em $x = 0$, onde vale $4$. Quanto menor o denominador, maior a fração: o máximo absoluto é $f(0) = \dfrac{k}{4}$.
Uma fábrica de bicicletas estima que seus lucros mensais, em milhares de reais, seguem a função $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, onde $x$ é a quantidade de bicicletas…
Uma fábrica de bicicletas estima que seus lucros mensais, em milhares de reais, seguem a função $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, onde $x$ é a quantidade de bicicletas produzidas em dezenas de unidades. Quantas bicicletas devem fabricar para obter o maior lucro possível? A quanto chegará esse lucro?
Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ atinja um máximo relativo no ponto $(2, 11)$.
Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ atinja um máximo relativo no ponto $(2, 11)$.
Um agricultor dispõe de $240$ metros de cerca para cercar um terreno retangular que faz divisa com um rio reto. Se o lado voltado para o rio não precisa ser cercado,…
Um agricultor dispõe de $240$ metros de cerca para cercar um terreno retangular que faz divisa com um rio reto. Se o lado voltado para o rio não precisa ser cercado, expresse a área do terreno em função de sua largura $x$. Quais devem ser as dimensões do terreno para que a área cercada seja a máxima possível?
Uma empresa de ônibus cobra $30$ reais por passagem e, a esse preço, consegue vender $400$ passagens diárias. Um estudo de mercado indica que, para cada reais que o…
Uma empresa de ônibus cobra $30$ reais por passagem e, a esse preço, consegue vender $400$ passagens diárias. Um estudo de mercado indica que, para cada reais que o preço da passagem aumentar, serão vendidas $10$ passagens a menos. Expresse a receita diária da empresa em função do aumento do preço em reais, $x$. Qual preço da passagem maximiza a receita e quantas passagens serão vendidas a esse preço?