Equação de uma reta na forma ponto-coeficiente angular

Escreva a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular que passa pelo ponto $A(3, -2)$ e tem coeficiente angular $m = 4$.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $P(-1, 4)$ e $Q(2, 10)$ e escreva sua equação na forma ponto-coeficiente angular utilizando as coordenadas do ponto $P$.

Para calcular a equação de uma rampa acessível que começa no ponto $A(-3, 1)$ com uma inclinação descendente de $5\,\%$ ($m = -0,05$), o Davi escreve no seu caderno:

1. a) Identifique os dois erros conceituais que o Davi cometeu ao substituir as coordenadas do ponto na fórmula ponto-coeficiente angular $y - y_1 = m(x - x_1)$.
2. b) Escreva a equação correta na forma ponto-coeficiente angular.
3. c) Transforme a equação para a forma reduzida ($y = mx + n$) e verifique analiticamente que as coordenadas do ponto de partida $A(-3, 1)$ satisfazem a igualdade.

Dada a reta de equação $y - 5 = -2(x + 1)$, indique um ponto exato pelo qual ela passa e o valor do seu coeficiente angular. Em seguida, desenvolva a expressão para escrevê-la na forma explícita.

Uma reta tem como equação na forma ponto-coeficiente angular $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Verifique matematicamente se o ponto $C(8, -2)$ pertence a essa reta.

Dada a reta $y - k = 3(x + 2)$, encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta passe exatamente pelo ponto $A(1, 4)$.

Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta paralela a $y = 3x - 7$ que passa pelo ponto $B(-4, 1)$.

Encontre a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que é perpendicular a $y = -\frac{1}{3}x + 5$ e que passa pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 1$ e $y = x + 3$.

Determine a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta paralela a $2x - 5y + 10 = 0$ que passa pelo ponto médio do segmento de extremidades $P(-1, -4)$ e $Q(7, 2)$.

Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular da mediatriz do segmento de extremidades $A(-2, 5)$ e $B(4, 1)$. Lembre-se de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

No triângulo de vértices $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$, encontre a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que contém a altura correspondente ao vértice $C$.

Em uma rede de abastecimento de água, projeta-se instalar uma tubulação secundária perpendicular à adutora geral que passa pelos pontos $A(1, 3)$ e $B(7, 6)$. A nova tubulação deve partir obrigatoriamente de uma caixa de inspeção situada em $C(3, 8)$. Dois engenheiros avaliam dois métodos para obter a sua equação:

• Método 1 (Equação ponto-coeficiente angular): Calcular o coeficiente angular $m_1$ da adutora geral, deduzir o coeficiente angular perpendicular $m_2 = -1/m_1$ e substituir diretamente as coordenadas da caixa de inspeção $C(3, 8)$ na fórmula $y - y_1 = m_2(x - x_1)$.

• Método 2 (Ajuste do coeficiente linear): Calcular $m_2$, escrever a forma reduzida teórica $y = m_2 x + n$, substituir $x = 3$ e $y = 8$ para formular e resolver uma equação do primeiro grau em $n$, e reconstruir a equação final.

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo e verifique que ambos conduzem exatamente à mesma equação na forma reduzida.
2. b) Se durante a obra a caixa de inspeção for deslocada $2$ metros para o norte (passando a estar em $C'(3, 10)$) mas mantendo o mesmo coeficiente angular perpendicular, justifique qual dos dois métodos permite atualizar o modelo matemático de forma mais ágil e direta.
3. c) Em uma vistoria de rotina, é localizada uma ligação clandestina no ponto $D(5, 4)$. Justifique analiticamente se a referida ligação está conectada à tubulação secundária calculada ou não.

O nível de água de uma represa aumenta de forma constante à razão de $15$ cm por dia. Se no dia $10$ de medição o nível era de $420$ cm, escreva a equação ponto-coeficiente angular que relaciona o nível da água $y$ com o número de dias decorridos $x$.

Um ciclista mantém uma velocidade constante durante seu treinamento. No minuto $15$ do seu percurso, ele se encontra no marco do quilômetro $6$ da estrada e, no minuto $40$, atinge o quilômetro $16$. Expresse a posição do ciclista na forma ponto-coeficiente angular e calcule em que marco quilométrico ele se encontrará no minuto $60$.

Uma rampa de acesso deve ter um coeficiente angular exato de $8\%$ para cumprir as normas de acessibilidade arquitetônica. Se a rampa começa ao nível do solo no ponto $A(0, 0)$ e deve vencer um desnível até chegar a uma plataforma situada no ponto $B(x_0; 1,2)$ (com coordenadas medidas em metros), escreva a equação da reta da rampa na forma ponto-coeficiente angular e determine a coordenada horizontal $x_0$.