Polinômios

Uma empresa de aluguel de vans de distribuição em Salvador estabelece sua tarifa em reais por meio do polinômio $C(t) = 0,05t^2 + 0,4t + 15$, em que $t$ representa o tempo de utilização em horas.

1. a) Identifique o grau do polinômio, seu coeficiente principal e seu termo independente.
2. b) Explique que significado econômico real o termo independente tem no contexto do aluguel da van.
3. c) Justifique se o polinômio é completo ou incompleto.
4. d) Calcule quanto pagará um cliente que utilize a van durante $3$ horas.

Calcule o valor numérico do polinômio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ para $x = -2$ e $y = 3$.

O Carlos precisa calcular o valor numérico do polinômio $P(x) = -2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$ para $x = -2$. No caderno dele, escreveu o seguinte procedimento:

Localize o erro concreto que o Carlos cometeu ao aplicar a hierarquia das operações ou os sinais das potências, explique com suas palavras por que a dedução dele está incorreta e calcule o valor numérico correto.

De acordo com os registros de uma estação meteorológica do INMET na Serra da Mantiqueira durante um dia de inverno, a temperatura $T$ (em graus Celsius) entre a meia-noite e o meio-dia é aproximada pelo polinômio $T(t) = -0,1t^2 + 1,2t - 5$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas ($0 \le t \le 12$).

1. a) Sem efetuar o cálculo exato, estime de forma fundamentada se às $2:00$ da madrugada ($t = 2$) a temperatura será positiva ou abaixo de zero, comparando o peso do termo independente com os demais termos.
2. b) Verifique a sua estimativa calculando o valor numérico exato de $T(2)$ e avalie se o resultado é coerente com a sua previsão.
3. c) Um boletim informativo afirma que às $5:00$ da madrugada ($t = 5$) o termômetro marcou exatamente $0\text{ \textdegree C}$. Justifique se o valor $t = 5$ é uma raiz do polinômio $T(t)$ e determine se a afirmação do boletim é verdadeira ou falsa.

Dados os polinômios $A(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ e $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x + 4$, calcule a expressão reduzida de $2 \cdot A(x) - 3 \cdot B(x)$.

Efetue o seguinte produto de polinômios e reduza os termos semelhantes para obter o polinômio final: $(2x^2 - 3x + 4) \cdot (x^2 + 5x - 2)$.

A base de um painel solar retangular mede $2x + 5$ metros e a sua altura mede $3x - 2$ metros. Escreva as expressões algébricas (polinômios reduzidos) que representam o perímetro e a área do painel solar.

Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa de papelão retangular de $40$ cm de comprimento por $30$ cm de largura, recortando um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobrando as abas. Expresse o volume da caixa como um polinômio em função de $x$ e determine o seu grau.

Demonstre algebricamente que a diferença entre o quadrado da soma de dois números quaisquer $a$ e $b$, e o quadrado da diferença deles, é sempre igual a quatro vezes o produto desses números.

Verifique, utilizando o teorema do fator, se $x = -3$ é uma raiz do polinômio $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Escreva a expressão algébrica de um polinômio $P(x)$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1. É de grau $3$ e o seu coeficiente principal é $-2$.

2. É um polinômio incompleto ao qual falta o termo de grau $1$.

3. O seu termo independente é $8$.

4. O número $2$ é uma das suas raízes.

1. a) Deduza passo a passo o valor de cada um dos coeficientes e escreva o polinômio ordenado do termo de maior grau para o de menor grau.
2. b) Verifique formalmente, por meio do cálculo do valor numérico, que $x = 2$ é, de fato, raiz do polinômio que você obteve.

A altura $h$ (em metros) de um drone em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pelo polinômio $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Se aos $3$ segundos o drone se encontra a $25$ metros de altura, calcule o valor de $c$ e determine a altura inicial de onde decolou.

Uma empresa de tecnologia estima que sua receita mensal (em milhares de reais) é dada pelo polinômio $I(x) = -2x^2 + 50x$, e seus custos de produção por $C(x) = 10x + 150$, onde $x$ é a quantidade de dispositivos fabricados (em centenas). Obtenha o polinômio que representa o lucro mensal $B(x)$ e calcule o lucro exato se forem fabricados $1000$ dispositivos.

No projeto de uma peça mecânica, inscreve-se um cilindro reto dentro de um cone de raio da base $R = 10$ cm e altura $H = 15$ cm. Se o raio da base do cilindro é $x$, expresse o volume do cilindro como um polinômio em função de $x$. Qual é o domínio geométrico válido para a variável $x$?

O custo de fabricação de um cabo de fibra óptica de comprimento $x$ metros é dado por um polinômio do segundo grau $C(x) = ax^2 + bx + c$. Sabendo que fabricar $10$ metros custa $150$ reais, $20$ metros custam $380$ reais e os custos fixos (fabricar $0$ metros) são de $40$ reais, determine a expressão do polinômio $C(x)$ e calcule o custo exato de fabricar $50$ metros.

Realize a divisão do polinômio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7$ por $Q(x) = x^2 - x + 2$, indicando claramente qual é o polinômio quociente $C(x)$ e o polinômio resto $R(x)$.

Utilize o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar o quociente e o resto da divisão $(2x^4 - 5x^3 + 4x - 6) : (x - 2)$.

Sem realizar a divisão, determine o resto que se obtém ao dividir o polinômio $P(x) = 3x^5 - 2x^3 + x^2 - 4$ por $x + 1$.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o polinômio $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 8$ seja divisível por $x - 4$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinômio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 5x + 6$ seja divisível simultaneamente por $(x - 1)$ e por $(x + 2)$.

Um polinômio $P(x)$ de terceiro grau tem como raízes $x = 1$, $x = -2$ e $x = 3$. Sabendo que ao dividir $P(x)$ por $x + 1$ o resto da divisão é $24$, determine a expressão geral expandida do polinômio $P(x)$.

Coloque o fator comum em evidência e utilize os produtos notáveis para fatorar ao máximo o polinômio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$.

Fatore completamente o polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ sabendo que uma de suas raízes inteiras se encontra entre os divisores positivos de $30$.

Fatore o polinômio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e a resolução de equações do segundo grau. Indique claramente todas as suas raízes.

Em um projeto de arquitetura, modela-se a forma de um arco parabólico mediante o polinômio $A(x) = -kx^2 + 6x$. Sabendo que o arco tem uma altura máxima em seu vértice e que o polinômio é divisível por $x - 12$, determine o valor de $k$, fatore o polinômio e determine a largura total do arco na base (a distância entre os pontos onde $A(x) = 0$).

O balanço econômico anual de uma cooperativa de azeite em Jaén (em milhares de reais) entre os anos de 2018 e 2024 foi modelado com o polinômio $S(t) = t^3 - 8t^2 + 11t + 20$, onde $t$ representa o número de anos decorridos desde 2018 (ou seja, $t = 0$ corresponde a 2018, $t = 1$ a 2019, etc.).

1. a) No contexto socioeconômico da cooperativa, explique que significado prático tem o fato de um valor de $t$ ser uma raiz do polinômio $S(t)$.
2. b) A gerência afirma no seu relatório que tanto em 2022 ($t = 4$) como em 2023 ($t = 5$) a cooperativa atingiu o ponto de equilíbrio orçamentário (saldo exatamente igual a zero). Verifique algebricamente se $t = 4$ e $t = 5$ são raízes de $S(t)$ e determine se a afirmação do relatório é rigorosamente verdadeira em ambos os casos.
3. c) Se você calcular o valor numérico para $t = -1$, obterá que $S(-1) = 0$. Justifique se, do ponto de vista do modelo real aplicado, faz sentido interpretar $t = -1$ como uma raiz válida para a gestão da empresa.

O departamento de sustentabilidade de um município analisa o rendimento energético mensal de uma instalação solar comunitária por meio do polinômio $R(m) = 2m^3 - 11m^2 + 17m - 6$, onde $m \in \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ representa o mês do ano (janeiro $= 1$, fevereiro $= 2$, etc.). Deseja-se descobrir em que meses o rendimento cai para zero (ou seja, quais valores de $m$ são raízes de $R(m)$).

Dois técnicos propõem estratégias distintas:

• Técnica A (Júlia): Propõe calcular sistematicamente o valor numérico $R(m)$ substituindo os $12$ meses do ano, um a um, até encontrar quais resultam em $0$.

• Técnico B (Miguel): Lembra que as raízes inteiras de um polinômio com coeficientes inteiros devem ser divisores do seu termo independente. Como o termo independente é $-6$, propõe testar somente os valores de $m$ que sejam divisores positivos de $6$ contidos no conjunto dos meses do ano.

1. a) Compare a validade matemática e a eficiência prática de ambos os métodos. Justifique qual dos dois caminhos é o mais recomendável para resolver o problema sem realizar cálculos desnecessários.
2. b) Aplique o método escolhido para verificar quais desses meses candidatos são de fato raízes de $R(m)$ e interprete o resultado obtido, indicando os meses concretos em que o rendimento se anula.

Dados os polinômios $P(x) = x^2 - 4$, $Q(x) = x + 2$ e $R(x) = 3x^2 - x + 1$, calcule e simplifique a expressão algébrica resultante de $\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot R(x)$.

Simplifique a seguinte fração algébrica fatorando previamente o numerador e o denominador: $\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$.

Realize as seguintes operações com frações algébricas e simplifique o resultado ao máximo: $\left( \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} \right) : \frac{4x}{x^2 - 4}$.