Eventos

Classifique os seguintes experimentos em determinísticos ou aleatórios:

1. a) Medir o tempo que um objeto leva para cair de $10$ metros no vácuo.
2. b) Anotar a cor do próximo carro que passar pela rua.
3. c) Calcular os juros gerados por um depósito bancário a prazo fixo conhecendo o capital e a taxa de juros.
4. d) Retirar uma bola de um globo de sorteio.

Coloca-se em um saco uma ficha para cada letra da palavra "ALGORITMO". Se o experimento consiste em retirar uma ficha ao acaso e anotar a letra obtida, escreva o espaço amostral $E$.

Escreva o espaço amostral correspondente ao experimento aleatório que consiste em lançar uma moeda de um reais e uma moeda de dois reais simultaneamente, anotando se sai cara ($C$) ou coroa ($X$) em cada uma.

Em um controle de qualidade de uma fábrica de componentes eletrônicos, retiram-se peças uma a uma até encontrar a primeira peça defeituosa, momento em que o processo é interrompido. Por norma, realiza-se no máximo $3$ retiradas. Se $D$ representa uma peça defeituosa e $N$ uma peça não defeituosa, escreva o espaço amostral deste experimento.

Um jogo de tabuleiro consiste em lançar uma moeda repetidamente até saírem duas caras seguidas ou duas coroas seguidas. Escreva o espaço amostral deste experimento aleatório. É um espaço amostral finito ou infinito?

Em uma urna há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas verdes. Se retirarmos uma bola ao acaso e observarmos a sua cor, invente um evento que seja certo e outro que seja impossível.

Ao retirar uma carta de um baralho espanhol de $40$ cartas, consideramos o evento $C = \{\text{tirar uma figura}\}$. Descreva com palavras o que significa o evento complementar $\bar{C}$ e quantos elementos do espaço amostral o compõem.

Na rede de Trens Urbanos de Madri, analisam-se três situações na estação de Atocha relacionadas à linha C-5:

1) O tempo que um trem demora para frear de $60\text{ km/h}$ até parar por completo se o maquinista aplicar a frenagem de serviço com uma desaceleração constante de $1,2\text{ m/s}^2$ em via reta e seca.

2) O número de minutos de atraso com que chega à linha o próximo trem programado para as $08:15$.

3) O tipo de título de transporte que o próximo usuário valida na catraca: Passe Jovem ($J$), Bilhete Simples ($S$) ou Cartão Multi de 10 viagens ($M$).

1. a) Classifique cada uma das três situações em experimento determinístico ou aleatório, justificando brevemente a sua decisão em cada caso.
2. b) Para a situação 3, escreva o espaço amostral $E$.
3. c) Na situação 3, defina o evento $A = \text{«o passageiro não usa bilhete simples»}$ enumerando os seus elementos. Em seguida, escreva os elementos do evento complementar $\bar{A}$ e indique se $\bar{A}$ é um evento elementar ou composto.

No experimento de girar a seguinte roleta e anotar o número em que ela para, consideramos os eventos $A = \{1, 2\}$ e $B = \{2, 3, 4\}$.

Escreva os elementos que formam os eventos união $A \cup B$ e interseção $A \cap B$.

Considere o experimento de escolher ao acaso um número inteiro de $1$ a $10$. Sejam os eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Determine os elementos do evento diferença $A - B$.

Em um estudo de mercado sobre preferências de veículos, definem-se os eventos $A = \{\text{el cliente prefiere coche eléctrico}\}$ e $B = \{\text{el cliente prefiere coche automático}\}$. Expresse com palavras o significado dos seguintes eventos:

1. a) $A \cap \bar{B}$
2. b) $\overline{A \cup B}$

O seguinte diagrama de Venn representa um espaço amostral $E$ e dois eventos $A$ e $B$. Os números $1, 2, 3, 4$ indicam as diferentes regiões do diagrama.

Identifique qual região ou quais regiões (indicadas por seus números) correspondem aos seguintes eventos:

1. a) $A \cap B$
2. b) $\bar{A} \cap B$
3. c) $\overline{A \cup B}$

Em uma estação meteorológica definem-se os eventos $L = \{\text{chove hoje}\}$ e $V = \{\text{faz vento hoje}\}$. Escreva utilizando as operações matemáticas com eventos (união, interseção, complementar) as seguintes situações:

1. a) Hoje chove, mas não faz vento.
2. b) Hoje não chove nem faz vento.
3. c) Ou chove ou faz vento, mas não as duas coisas ao mesmo tempo.

Um dado cúbico tradicional é lançado. Consideramos os eventos $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ e $C = \{4, 5, 6\}$.

Calcule os elementos que formam os seguintes eventos:

1. a) $(A \cup B) \cap C$
2. b) $\overline{A \cap B}$

O seguinte diagrama de Venn mostra três eventos $A$, $B$ e $C$ dentro de um espaço amostral $E$. A região sombreada em cor laranja representa uma operação específica entre estes eventos.

Escreva a expressão matemática que define a região sombreada utilizando as operações de união, interseção e/ou complementar. Como se expressaria com palavras este evento?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório. Simplifique a seguinte expressão de eventos utilizando as propriedades das operações (comutativa, associativa, distributiva, leis de De Morgan, etc.):

$((A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)) \cup (\bar{A} \cap B)$

Um dado de $8$ faces numeradas de $1$ a $8$ é lançado. Indique se os seguintes pares de eventos são compatíveis ou incompatíveis:

1. a) $A = \{\text{tirar um número par}\}$ e $B = \{\text{tirar um múltiplo de } 3\}$
2. b) $C = \{\text{tirar um número maior que } 6\}$ e $D = \{\text{tirar um número menor que } 5\}$

O Pablo está resolvendo uma tarefa sobre o lançamento de um dado cúbico equilibrado com faces numeradas de $1$ a $6$, cujo espaço amostral é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Definem-se dois eventos: $A = \text{«obter um número menor ou igual a } 2\text{»}$ ($A = \{1, 2\}$) e $B = \text{«obter um múltiplo de } 5\text{»}$ ($B = \{5\}$).

O Pablo escreve em seu caderno a seguinte conclusão:

«Como os eventos $A$ e $B$ não têm nenhum elemento em comum, ou seja, $A \cap B = \emptyset$, deduz-se necessariamente que $B$ é o evento contrário de $A$ ($B = \bar{A}$), de modo que são eventos incompatíveis e, ao mesmo tempo, contrários».

1. a) Encontre e explique o erro conceitual que o Pablo comete ao deduzir que $B$ é o contrário de $A$. Que condição fundamental falta ao par de eventos para serem contrários?
2. b) Corrija a resposta do Pablo: escreva qual é realmente o evento contrário de $\bar{A}$ enumerando seus elementos.
3. c) Escreva um exemplo de evento $C$ (diferente de $\emptyset$) que seja incompatível com $A$, mas que também não seja o seu evento contrário.

Retiram-se simultaneamente duas cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas. Consideramos os eventos $O = \{\text{pelo menos uma carta é de ouros}\}$ e $R = \{\text{pelo menos uma carta é um rei}\}$.

Os eventos $O$ e $R$ são compatíveis? Justifique a sua resposta descrevendo um evento elementar que pertença à interseção $O \cap R$.

Uma empresa de logística classifica os pacotes recebidos segundo o peso ($L$: leve, $P$: pesado) e segundo o destino ($N$: nacional, $I$: internacional). Um pacote é escolhido ao acaso. Determine se os eventos $A = \{\text{o pacote é leve e nacional}\}$ e $B = \{\text{o pacote é pesado e internacional}\}$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando sua resposta com base no espaço amostral.

Em um sistema de controle de tráfego aéreo, três radares $R_1$, $R_2$ e $R_3$ detectam a presença de aeronaves. Sabemos por projeto que é impossível que os três radares falhem simultaneamente, mas qualquer par de radares pode falhar ao mesmo tempo. Se o evento $F_i$ representa "o radar $i$ falha", traduza esta informação para expressões matemáticas utilizando uniões e interseções dos eventos $F_1, F_2, F_3$.