Conceito de função linear. Tipos

Identifique o coeficiente angular ($m$) e o coeficiente linear ($n$) das seguintes funções lineares:

• a) $y = 5x - 2$

• b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$

• c) $y = 8$

• d) $y = \frac{x}{2}$

Classifique as seguintes funções em função linear (proporcionalidade direta), função afim ou função constante:

• a) $y = -3x + 5$

• b) $y = \frac{4}{5}x$

• c) $y = -7$

• d) $y = x$

Escreva a equação da função constante que passa pelo ponto $A(-3, 6)$. Qual é o valor exato do seu coeficiente angular?

Para classificar a função $y = 8 - 2x$ e encontrar o seu comportamento no início, o Carlos escreve na sua prova:

«É uma função linear porque o seu gráfico é uma linha reta. O seu coeficiente angular é $m = 8$ porque é o primeiro valor que aparece, e o seu coeficiente linear é $n = -2$. Além disso, como é linear, o gráfico passa obrigatoriamente pelo ponto $(0, 0)$».

1. a) Aponte os três erros conceituais que o Carlos cometeu na sua explicação.
2. b) Corrija as afirmações do Carlos indicando o coeficiente angular e o coeficiente linear reais da função, e classifique-a corretamente justificando a sua escolha.
3. c) Demonstre numericamente que o gráfico não passa pela origem $(0,0)$ calculando a imagem de $x = 0$.

Dada a função afim $f(x) = -2x + 9$, calcule as imagens de $x = 3$, $x = -1$ e $x = \frac{1}{2}$.

Calcule os pontos exatos de interseção com os eixos coordenados (eixo $X$ e eixo $Y$) da função afim $y = \frac{2}{5}x - 4$.

Determine matematicamente se os pontos $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ pertencem ao gráfico da função $y = 3x - 1$.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(0, 4)$ e $B(2, 10)$.

Calcule a área do triângulo formado pela reta $y = -\frac{3}{2}x + 6$ ao interceptar os eixos coordenados $X$ e $Y$.

Escreva a equação da função de proporcionalidade direta cujo gráfico passa pelo ponto $P(4, -12)$.

Uma função de proporcionalidade direta é dada pela seguinte tabela de valores. Encontre a sua expressão algébrica $y = f(x)$.

• $x$: $2, 4, 6$

• $y$: $7, 14, 21$

Observe a seguinte representação gráfica que mostra duas retas, $A$ e $B$. Determine a equação de cada uma delas analisando os pontos pelos quais passam.

Encontre a equação da função afim que passa pelos pontos $P(-2, 5)$ e $Q(1, -4)$.

A relação entre a temperatura em graus Celsius ($C$) e graus Fahrenheit ($F$) é linear. Sabemos que a água congela a $0$ ºC, o que equivale a $32$ ºF, e ferve a $100$ ºC, o que equivale a $212$ ºF. Encontre a função $F(C)$ que permite converter graus Celsius em graus Fahrenheit.

No serviço de mobilidade urbana de uma cidade brasileira, a empresa de patinetes elétricos cobra $1$ real fixo pelo desbloqueio mais $0,20$ reais por cada minuto de trajeto. Em contrapartida, o serviço municipal de bicicletas compartilhadas cobra unicamente $0,15$ reais por minuto, sem taxa de desbloqueio.

1. a) Escreva a função que expressa o custo $y$ (em reais) em função do tempo de utilização $x$ (em minutos) para cada um dos dois meios de transporte.
2. b) Classifique cada função em linear ou afim, identificando em cada uma o coeficiente angular ($m$) e o coeficiente linear ($n$), e explique que significado esses dois valores têm na fatura.
3. c) Se você dispõe de um orçamento máximo de $3$ reais, quantos minutos inteiros, no máximo, poderá andar de patinete elétrico?

Um encanador cobra $40$ reais fixos pelo deslocamento até a casa do cliente, mais $25$ reais por hora de trabalho. Escreva a função que relaciona o custo total do serviço ($y$) com as horas trabalhadas ($x$). Quanto custará um conserto que durou $3,5$ horas?

Uma mola mede $15$ cm em repouso. Ao pendurar pesos nela, verifica-se que para cada quilograma adicionado a mola estica $3$ cm (segundo a lei de Hooke). Escreva a função afim que relaciona o comprimento total da mola ($L$) com a massa pendurada em quilogramas ($m$). Qual comprimento ela terá se pendurarmos $4,5$ kg?

Um reservatório contém $800$ litros de água e está sendo esvaziado por meio de uma bomba que extrai $40$ litros por minuto. Escreva a expressão algébrica do volume de água no reservatório em função do tempo. Quanto tempo levará para esvaziar por completo?

Segundo os dados meteorológicos do INMET, o gradiente térmico vertical médio na troposfera faz com que a temperatura diminua aproximadamente $0,65$ °C a cada $100$ metros de desnível ($0,0065$ °C por metro). Em um dia de primavera, às 12:00 h, a estação meteorológica de Campos do Jordão (a $700$ m acima do nível do mar) registra uma temperatura de $20$ °C. Deseja-se prever a temperatura em um ponto mais alto da Serra da Mantiqueira (a $2100$ m de altitude).

1. a) Antes de fazer contas, estime de forma fundamentada se nesse ponto a temperatura estará acima ou abaixo de $10$ °C, calculando mentalmente quantos graus se perderão aproximadamente nos $1400$ m de subida.
2. b) Modele a situação por meio de uma função afim $T(x) = mx + n$ que expresse a temperatura $T$ (em °C) em função da altura subida $x$ (em metros, considerando $x = 0$ na cidade de Campos do Jordão). Indique o valor e o significado do sinal do coeficiente angular $m$.
3. c) Calcule, com a função, a temperatura exata esperada nesse ponto e verifique se a sua estimativa inicial estava correta e coerente com o resultado.

Duas operadoras de telefonia oferecem diferentes planos. No gráfico do custo mensal em reais ($C$) em função dos minutos falados ($t$), a reta do Plano A passa pelos pontos $(0, 10)$ e $(200, 20)$, enquanto a do Plano B passa pela origem $(0, 0)$ e $(200, 20)$. A partir do gráfico, determine a expressão algébrica de cada plano e explique, resolvendo o sistema correspondente, a partir de quantos minutos compensa aderir ao Plano A em comparação com o Plano B.

Uma máquina industrial é comprada por $15\,000$ reais. O seu valor se deprecia linearmente com o tempo até atingir um valor de $0$ reais ao final de $12$ anos. Determine a função que expressa o valor da máquina em função dos anos decorridos. Qual será o seu valor residual exato quando ela tiver $7$ anos de uso?

Dois navios estão em dois portos separados por $300$ km. O navio $A$ parte em direção ao porto do navio $B$ a uma velocidade constante de $40$ km/h. Ao mesmo tempo, o navio $B$ parte em direção ao porto do navio $A$ a $35$ km/h. Escreva as funções de posição de ambos os navios em relação ao porto de origem do navio $A$ e calcule analiticamente em qual instante de tempo eles se cruzarão.

No laboratório de automobilismo de um centro de Formação Profissional são registrados os seguintes dados sobre o combustível restante no tanque de um veículo híbrido que circula em velocidade constante por rodovia:

• Aos $100$ km percorridos restam $45$ litros.

• Aos $200$ km restam $40$ litros.

• Aos $300$ km restam $35$ litros.

• Aos $400$ km restam $30$ litros.

Dois alunos debatem sobre como classificar a função que relaciona os quilômetros ($x$) com os litros restantes ($y$):

• A Alba propõe calcular o quociente $\frac{y}{x}$ em cada ponto para verificar se é constante.

• O Bruno propõe calcular a taxa de variação $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ entre pares de pontos sucessivos e verificar o coeficiente linear.

1. a) Aplique a proposta da Alba. Que quocientes você obtém? Que conclusão errada sobre o tipo de função se poderia tirar se nos baseássemos apenas nesse método?
2. b) Aplique a proposta do Bruno. Que valor constante você obtém para o coeficiente angular? Escreva a expressão completa da função $y = mx + n$.
3. c) Compare os dois procedimentos: justifique qual dos dois métodos é o único adequado para identificar e construir funções afins em tabelas experimentais e por que o outro método serve apenas para funções lineares.

Na Área de Prestação Conjunta do táxi de Madrid (tarifa 1, dias úteis das 7:00 às 21:00 h), a bandeirada é de $2,50$ reais e cada quilômetro percorrido custa $1,30$ reais. Por outro lado, uma empresa de veículos de aplicativo que opera na mesma zona cobra uma taxa base fixa de $0,70$ reais e uma tarifa quilométrica de $1,80$ reais/km para esse mesmo horário.

1. a) Escreva a função do custo total $y$ (em reais) em função dos quilômetros $x$ para cada um dos dois serviços de transporte. Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear de ambas e classifique-as fundamentadamente segundo os tipos de função estudados.
2. b) Interprete o significado prático dos coeficientes angulares: qual serviço encarece mais a viagem por cada quilômetro adicional percorrido? A partir daí e observando as taxas fixas, fundamente conceitualmente qual dos dois serviços será mais econômico em trajetos curtos e qual em trajetos longos.
3. c) Calcule de forma justificada a partir de quantos quilômetros exatos o custo é idêntico em ambos os serviços. Se você precisasse se deslocar da estação de Chamartín até o aeroporto Adolfo Suárez Madrid-Barajas (um trajeto de $12$ km), qual opção lhe convém contratar e quantos reais você pouparia?

Encontre a equação de uma reta que seja paralela à função $y = -2x + 5$ e que passe exatamente pela origem do sistema de coordenadas.

Um analista de dados precisa modelar três tarifas de consumo que coincidem exatamente em um mesmo ponto de controle: o ponto $P(5, 20)$, em que $x$ representa o consumo em gigabytes e $y$ o custo em reais. Encontre as expressões algébricas pedidas:

1. a) Determine a fórmula de uma função linear $f(x)$ que passe pelo ponto $P$. Justifique passo a passo como você calcula o coeficiente angular a partir das coordenadas de $P$.
2. b) Formule a expressão de uma função afim $g(x)$ que também passe pelo ponto $P$, mas cuja taxa fixa (coeficiente linear) seja de $5$ reais. Calcule o coeficiente angular que essa reta deve ter.
3. c) Escreva a expressão de uma função constante $h(x)$ que contenha o ponto $P$. Indique o valor do seu coeficiente angular e descreva como é o seu gráfico nos eixos cartesianos.

Encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y = (3k - 2)x + 5$ seja coincidente com a reta que passa pelos pontos $A(-1, 2)$ e $B(3, 14)$.

O gráfico a seguir representa uma função definida por partes formada por três segmentos retilíneos. Determine a sua expressão analítica completa $f(x)$, indicando claramente os intervalos de definição de cada trecho.

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto $P(2, 3)$ sabendo que o seu coeficiente linear é exatamente o dobro da sua abscissa na origem (ou seja, o ponto de corte com o eixo $Y$ é o dobro do ponto de corte com o eixo $X$).

Demonstre matematicamente que, se $f(x)$ é uma função de proporcionalidade direta ($f(x) = mx$), vale sempre que $f(a+b) = f(a) + f(b)$ para quaisquer valores $a$ e $b$. Em seguida, verifique e justifique por que essa propriedade não vale para uma função afim $g(x) = mx + n$ (com $n \neq 0$).