Potências

Calcule o valor numérico das seguintes potências, prestando atenção especial aos sinais: $(-2)^4$, $-2^4$, $(-3)^{-3}$ e $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.

A Lúcia resolveu dois exercícios de potências no quadro e afirma que seus raciocínios estão corretos:

1) Para a expressão $-4^2$, raciocina: «Como o expoente 2 é par, o resultado final é positivo, logo $-4^2 = 16$».

2) Para a expressão $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}$, raciocina: «O sinal de menos do expoente faz com que o resultado final seja negativo, e o 2 eleva ao quadrado, então dá $-\frac{1}{9}$».

Identifique o erro conceitual cometido em cada uma das afirmações da Lúcia, explique qual regra sobre a base e o expoente ela aplicou mal e calcule o valor numérico correto em cada caso.

Escreva como uma única potência utilizando as propriedades das potências: $5^3 \cdot 5^{-4} \cdot 5^2$.

Escreva como uma única potência utilizando as propriedades das potências: $\frac{7^5 \cdot 7^{-2}}{7^4}$.

Escreva como uma única potência utilizando as propriedades da potência de uma potência e do produto de potências de mesma base: $(2^3)^{-2} \cdot 2^8$.

Escreva em forma de potência com expoente negativo as seguintes frações: $\frac{1}{3^5}$, $\frac{1}{a^4}$ e $\frac{1}{2}$.

Simplifique a seguinte expressão numérica fatorando previamente as bases em fatores primos e aplicando as propriedades das potências: $\frac{18^2 \cdot 12^3}{24^2 \cdot 9^3}$.

Para simplificar a operação numérica $\frac{(-2)^6 \cdot 4^{-2}}{8^{-1}}$, dois colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• Método do Carlos: Desenvolve separadamente o valor de cada potência ($(-2)^6 = 64$, $4^{-2} = \frac{1}{16}$, $8^{-1} = \frac{1}{8}$) e depois opera com as frações resultantes.

• Método da Sara: Decompõe as bases compostas em fatores primos ($4 = 2^2$, $8 = 2^3$), analisa o sinal de $(-2)^6$ e aplica as propriedades do produto e do quociente de potências, somando e subtraindo expoentes.

1. a) Resolva a operação seguindo o método da Sara passo a passo, apresentando o resultado final como um número inteiro.
2. b) Justifique por que o método do Carlos deixa de ser prático se a expressão fosse $\frac{(-2)^{60} \cdot 4^{-20}}{8^{-10}}$, enquanto o método da Sara se resolveria com a mesma facilidade.
3. c) Explique por que a Sara pode substituir $(-2)^6$ por $2^6$ sem alterar o resultado, e o que teria acontecido com o sinal se o expoente inicial tivesse sido 7 em vez de 6.

Em um laboratório, uma população de bactérias dobra a cada hora. Se inicialmente há $1500$ bactérias, escreva em forma de potência o número de bactérias que haverá ao fim de $t$ horas e calcule quantas bactérias haverá após $8$ horas exatas.

Uma folha de papel tem uma espessura de $0,1$ mm. Se pudesse dobrá-la ao meio sucessivamente, qual seria sua espessura após $20$ dobras? Escreva o resultado usando potências de base $2$ e depois calcule seu valor aproximado em metros.

O volume de um cubo é dado pela expressão $V = a^3$, onde $a$ é o comprimento de sua aresta. Se a aresta do cubo for reduzida à metade, que fração do volume original o novo cubo terá? Escreva o processo analiticamente utilizando as propriedades das potências.

A intensidade da luz ao atravessar um filtro fotográfico especial se reduz a três quartos da intensidade inicial. Se forem colocados $4$ filtros idênticos um atrás do outro, que fração da luz inicial conseguirá atravessá-los? Escreva o resultado como uma potência e calcule seu valor na forma de fração irredutível.

No armazenamento de dispositivos móveis e planos de dados, a capacidade real utiliza potências de base 2. Um gigabyte binário (Gibibyte) equivale exatamente a $2^{30}\text{ bytes}$, e um megabyte binário a $2^{20}\text{ bytes}$.

1. a) Se um vídeo gravado com o seu celular ocupa $8\text{ gigabytes}$ binários, escreva o tamanho total do arquivo em bytes como uma única potência de base 2, decompondo previamente o 8.
2. b) Você quer transferir um arquivo comprimido de $2^{26}\text{ bytes}$ para o computador por meio de uma conexão sem fio que transmite a uma velocidade constante de $2^{22}\text{ bytes}$ por segundo. Utilizando exclusivamente as propriedades das potências com a mesma base (sem calcular os números gigantescos), calcule quantos segundos a transferência levará exatamente para ser concluída.

Segundo dados do INMET, a pressão atmosférica ao nível do mar nas costas brasileiras (como Salvador ou Recife) é de cerca de $1024\text{ hPa}$. À medida que se sobe em altitude, a pressão se reduz aproximadamente pela metade a cada $5,5\text{ km}$, o que é modelado pela fórmula $P = 1024 \cdot 2^{-n}$, em que $n$ representa o número de trechos de $5,5\text{ km}$ subidos.

1. a) Um balão meteorológico sobe até $16,5\text{ km}$ de altitude ($n = 3$). Antes de fazer o cálculo numérico, estime de forma fundamentada entre quais dois valores redondos (por exemplo, entre 100 e 200, ou entre 200 e 300) estará a pressão a essa altura.
2. b) Calcule o valor numérico exato da pressão a $16,5\text{ km}$ aplicando a propriedade do expoente negativo $2^{-n} = \frac{1}{2^n}$.
3. c) Verifique se a sua estimativa estava correta e explique que significado prático tem o fato de o expoente da base 2 ser negativo nesta fórmula física.

Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de $5$ anos, o que significa que a cada $5$ anos sua massa se reduz à metade. Se há uma amostra inicial de $100$ gramas, encontre a expressão por meio de potências que modela a massa restante ao fim de $t$ anos. Quantos gramas restarão depois de $17$ anos? Escreva o resultado na forma de raiz e calcule-o arredondando para dois algarismos decimais.

Na construção do fractal conhecido como Triângulo de Sierpinski, no passo $0$ temos $1$ triângulo equilátero. No passo $1$, ele é dividido em $4$ triângulos iguais e o central é removido, restando $3$. Em cada passo sucessivo, o processo se repete para cada triângulo restante. Escreva a expressão em forma de potência que determina o número de triângulos azuis no passo $n$. Quantos triângulos haverá no passo $8$?

Uma empresa deprecia o valor de seu maquinário multiplicando seu valor a cada ano por $0,8$. Se uma máquina custou $50\,000$ reais, escreva a expressão usando potências que define seu valor após $t$ anos. Além disso, determine (pode utilizar a calculadora) ao fim de quantos anos exatos seu valor será pela primeira vez inferior à décima parte do original.

A Agência Espanhola de Medicamentos e Produtos Sanitários (AEMPS) estuda a velocidade com que o organismo elimina um determinado antibiótico. Após a injeção de uma dose inicial de $512\text{ mg}$ em um paciente, a quantidade de fármaco no sangue (em $\text{mg}$) após $t$ horas segue o modelo:

1. a) Decomponha 512 em fatores primos como potência de 2 e simplifique a expressão de $M(t)$ para expressá-la como uma única potência de base 2 com expoente racional.
2. b) Passadas 7 horas da administração ($t = 7$), aplique a equivalência $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ para expressar a quantidade exata de fármaco restante sob a forma de um radical simplificado $k \cdot \sqrt[3]{2^p}$, especificando os valores inteiros de $k$ e $p$ sem recorrer a aproximações decimais.
3. c) O protocolo clínico indica que o paciente deve receber uma dose de reforço quando a quantidade de medicamento no sangue descer exatamente para $64\text{ mg}$. Formule a equação $M(t) = 64$, expresse ambos os membros na mesma base e iguale os expoentes para calcular quantas horas exatas após a primeira dose deve ser administrado o referido reforço.

Transforme as seguintes potências de expoente fracionário em radicais e calcule seu valor numérico exato: $27^{1/3}$ e $16^{3/4}$.

Calcule o valor da seguinte expressão combinada, expressando previamente os números decimais como frações irredutíveis: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{1/2} - (0,5)^{-3}$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica utilizando as propriedades das potências: $x^4 \cdot x^{-2} \cdot (x^3)^2$.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão, na qual $n$ representa um número inteiro natural, colocando o fator comum em evidência no numerador e no denominador: $\frac{2^{n+3} + 2^{n+2} - 2^{n+1}}{2^{n+2} - 2^n}$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica efetuando as operações passo a passo e escreva o resultado final sem utilizar expoentes negativos nem fracionários (use radicais, se necessário): $\left[ \frac{(x^{-1/2} \cdot y^2)^{1/3}}{(x^2 \cdot y^{-1})^{-1/2}} \right]^{-6}$.

Demonstre, utilizando de forma combinada as propriedades das potências e os produtos notáveis, que a expressão algébrica $\frac{a^{2x} - b^{2y}}{a^x + b^y}$ é equivalente a $a^x - b^y$, para quaisquer valores reais de $a, b > 0$ e $x, y$.

Determine o valor de $x$ na seguinte igualdade expressando ambos os membros como potências de mesma base: $3^x = \frac{1}{81}$.

Determine o valor de $x$ na seguinte equação, expressando ambos os membros como potências de mesma base e resolvendo a equação resultante dos expoentes: $4^{x+1} \cdot 8^{x-1} = 16^2$.

Determine o valor de $x$ que satisfaz a seguinte igualdade, transformando previamente todas as bases para a base $5$: $\left( \frac{1}{125} \right)^{x-2} = 25^{3x+1} \cdot 5^{x-4}$.

Verifique de forma analítica se a desigualdade $31^{11} < 17^{14}$ é verdadeira. Dica: utilize as propriedades das desigualdades e compare ambas as potências com potências de base $2$ próximas e conhecidas, como $32^{11}$ e $16^{14}$.

Pretende-se construir uma expressão fracionária com potências de números primos da forma $\frac{3^x \cdot 5^y}{3^z \cdot 5^w}$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1) Os quatro expoentes $x, y, z, w$ são números inteiros diferentes de zero.

2) Pelo menos dois dos quatro expoentes são estritamente negativos.

3) Os quatro expoentes têm valores numéricos diferentes entre si.

4) Ao aplicar as propriedades das potências e simplificar a expressão deixando expoentes positivos, o resultado final é exatamente $\frac{25}{27}$.

1. a) Deduza um conjunto de quatro números inteiros ($x, y, z, w$) que cumpra todas as condições, mostrando o processo inverso de raciocínio que você seguiu a partir do resultado $\frac{25}{27}$.
2. b) Demonstre que relação algébrica deve existir obrigatoriamente entre o par $(x, z)$ e entre o par $(y, w)$ para que o resultado final seja sempre $\frac{25}{27}$. Raciocine se existem infinitas combinações válidas ou apenas uma.