Problemas de móveis

Um guepardo corre a uma velocidade constante de $108$ km/h perseguindo a sua presa. Quantos segundos ele levará para percorrer uma distância de $300$ m?

Um trem AVE viaja a uma velocidade média de $280$ km/h. Se a viagem do seu ponto de origem até o seu destino dura exatamente $2$ horas e $15$ minutos, qual foi a distância total percorrida pelo trem?

Vocês vão atravessar São Paulo utilizando o serviço público de bicicletas elétricas, da Avenida Paulista até a Praça da Sé, pelo eixo Consolação-Direita, o que corresponde a uma distância aproximada de $6\text{ km}$. As bicicletas dispõem de assistência ao pedalar, que permite manter uma velocidade média de $15\text{ km/h}$.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo com fórmulas, faça uma estimativa intuitiva: você vai demorar mais ou menos de meia hora para completar o percurso? Justifique sua dedução relacionando mentalmente os $6\text{ km}$ com a distância que você percorreria em $60\text{ minutos}$.
2. b) Aplique a fórmula do movimento uniforme para calcular o tempo exato em horas e converta-o para minutos.
3. c) Verifique se o resultado exato concorda com a sua estimativa inicial e avalie se o tempo obtido é competitivo em comparação com fazer o mesmo trajeto de ônibus urbano no horário de pico.

Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de duas cidades separadas por $90$ km, deslocando-se pela mesma estrada e aproximando-se um do outro. O primeiro ciclista viaja a $20$ km/h e o segundo a $25$ km/h. Quanto tempo levarão para se cruzar?

Duas estações de trem, A e B, estão conectadas por uma via reta de $450$ km. Um trem sai de A em direção a B a $120$ km/h e, simultaneamente, outro trem sai de B em direção a A a $80$ km/h. A que distância da estação A eles se encontrarão?

Dois aviões partem do mesmo aeroporto ao mesmo tempo, mas voando em sentidos diametralmente opostos. Um voa a $800$ km/h e o outro a $950$ km/h. Que distância os separará após $2,5$ horas de voo?

Um caminhão de entregas sai de São Paulo em direção ao Rio de Janeiro às 08:00 h a uma velocidade constante de $90$ km/h. Às 09:30 h, sai uma van do Rio de Janeiro em direção a São Paulo a $150$ km/h. Se a distância por estrada entre ambas as cidades é de $615$ km, a que horas exatas eles se cruzarão?

Em uma pista circular de atletismo de $400$ m de comprimento, dois corredores partem do mesmo ponto ao mesmo tempo. O corredor A corre a $6$ m/s e o corredor B a $8$ m/s. Calcule quanto tempo levarão para se encontrar pela primeira vez se correrem em sentidos opostos, e quanto tempo levarão para se encontrar se correrem no mesmo sentido.

Dois móveis se deslocam com velocidade constante sobre um circuito. Se eles se movem na mesma direção e sentido, o mais rápido alcança o mais lento a cada $20$ segundos. Se eles se movem em sentidos opostos, cruzam-se a cada $4$ segundos. Sabendo que a pista é circular e mede $100$ m, calcule a velocidade em m/s de cada um dos móveis.

Um carro sai de uma cidade a uma velocidade constante de $90$ km/h. Meia hora mais tarde, sai em sua perseguição uma motocicleta pela mesma estrada a $120$ km/h. Quanto tempo a motocicleta levará para alcançar o carro?

Um entregador de encomendas sai do armazém dirigindo a $100$ km/h. Ao perceber que esqueceu um pacote urgente, um colega sai em sua perseguição a partir do mesmo armazém $15$ minutos depois, circulando a $120$ km/h. A que distância do armazém ele o alcançará?

Um maratonista avança em um ritmo constante de $15$ km/h. Um ciclista de apoio que vai na mesma direção a $25$ km/h está $4$ km atrás do corredor. Em quantos minutos o ciclista conseguirá alcançar o corredor?

Um veículo A parte de uma cidade a uma velocidade de $v$ km/h. Um tempo de $h$ horas depois, um veículo B parte em sua perseguição a partir do mesmo ponto a uma velocidade de $v + k$ km/h. Expresse algebricamente o tempo que o veículo B leva para alcançar o veículo A em função dos parâmetros $v$, $h$ e $k$.

Um furgão de entregas percorre $150$ km em $2$ horas, faz uma pausa obrigatória de $30$ minutos e, em seguida, percorre outros $120$ km em $1,5$ horas. Qual foi a sua velocidade média em todo o trajeto (incluindo a pausa)?

A Lucía faz de carro uma viagem de ida e volta entre Sevilla e Córdoba pela autoestrada A-4, percorrendo uma distância de $140\text{ km}$ em cada trajeto. Na ida, devido a um nevoeiro denso e trânsito lento, mantém uma velocidade média de $70\text{ km/h}$. Na volta, com a estrada completamente desimpedida, circula a uma velocidade média constante de $140\text{ km/h}$. Para calcular a sua velocidade média na totalidade da viagem ($280\text{ km}$), a Lucía faz a seguinte operação: $\frac{70 + 140}{2} = 105\text{ km/h}$.

1. a) Explique de forma fundamentada por que razão o cálculo da Ana está incorreto, sem se limitar a dizer que «essa não é a fórmula» (pense em quanto tempo ela passa em cada uma das duas velocidades durante a viagem).
2. b) Calcule o tempo exato que ela demorou no trajeto de ida e no de volta, e obtenha a partir deles a verdadeira velocidade média da viagem completa.
3. c) Por que razão a velocidade média real está mais próxima de $70\text{ km/h}$ do que de $140\text{ km/h}$?

Um motorista faz uma viagem intermunicipal de $300$ km. Ele dirige a primeira metade do trajeto a uma velocidade constante de $120$ km/h em uma rodovia, e a segunda metade a $80$ km/h em uma estrada federal. Qual foi a velocidade média dele na viagem completa?

A Direção-Geral de Trânsito (DGT) tem instalado um radar de troço na autoestrada AP-6 na serra de Guadarrama. O troço vigiado mede exatamente $8\text{ km}$ e a velocidade máxima legal permitida é de $100\text{ km/h}$. Um veículo entra no referido troço às $15:00:00\text{ h}$ e percorre os primeiros $5\text{ km}$ a uma velocidade constante de $125\text{ km/h}$. Nesse ponto, o condutor repara na presença do controlo e reduz imediatamente a sua velocidade, mantendo-a constante durante os $3\text{ km}$ restantes.

1. a) Determine o tempo mínimo que a lei exige para percorrer os $8\text{ km}$ completos do trecho sem ser multado (expresse-o em minutos e segundos) e calcule quanto tempo o motorista já gastou nos primeiros $5\text{ km}$.
2. b) Modele e calcule qual é a velocidade máxima constante em que ele pode percorrer os $3\text{ km}$ restantes para que a velocidade média em todo o trecho não ultrapasse os $100\text{ km/h}$. Bastaria ele reduzir a sua velocidade exatamente para $100\text{ km/h}$? Justifique a sua resposta.
3. c) Se durante esses últimos $3\text{ km}$ ele circular a $75\text{ km/h}$, a que hora exata (horas, minutos e segundos) a câmera de saída registrará a sua passagem? Conclua, comparando os tempos, se ele receberá ou não uma multa.

Um barco a motor tem uma velocidade de $22$ km/h em águas calmas. Se ele navega por um rio cuja correnteza desce a $4$ km/h, quanto tempo total levará para fazer uma viagem contínua de ida e volta entre dois portos separados por $117$ km?

Um caminhante sobe até o topo de uma montanha a uma velocidade de $4$ km/h e desce pelo mesmo caminho a $6$ km/h. Se no total levou $5$ horas de caminhada na excursão (sem contar os descansos no topo), qual é a distância da base até o topo?

Durante a tradicional Descida do Sella (Astúrias), a água do rio corre de forma contínua com uma velocidade de correnteza de $3\text{ km/h}$. Uma canoísta realiza um treino em um trecho de $12\text{ km}$ entre Arriondas e uma meta intermediária.

1. a) Descendo a favor da correnteza (rio abaixo), completa o trecho de $12\text{ km}$ em exatamente $1\text{ hora}$. Modele a velocidade efetiva de descida em função da velocidade própria de remada da atleta ($v_p$) e calcule a que velocidade avançaria se remasse em um reservatório de águas paradas.
2. b) Se, em seguida, decidir voltar rio acima (contra a correnteza) percorrendo os mesmos $12\text{ km}$ com esse mesmo ritmo próprio de remada, calcule quanto tempo demorará para completar a volta.
3. c) Se, devido a chuvas intensas, a velocidade da correnteza aumentasse temporariamente para $9\text{ km/h}$, o que aconteceria fisicamente ao tentar subir o rio contra a correnteza com o seu ritmo habitual? Justifique a sua resposta com base nos dados.

Um remador profissional leva $2$ horas para percorrer $12$ km rio acima remando contra a correnteza e $1$ hora para percorrer a mesma distância rio abaixo a favor da correnteza. Formule um sistema de equações para determinar a velocidade do barco em águas calmas e a velocidade da correnteza do rio.

Em um aeroporto, uma esteira rolante horizontal de $120$ m de comprimento se move a $1$ m/s. Uma pessoa caminha sobre a esteira a uma velocidade constante $v$ em relação à própria esteira. Se leva $40$ segundos para percorrer a esteira caminhando a favor do movimento, quanto levaria para percorrê-la caminhando no sentido contrário ao movimento da esteira?

Durante uma forte tempestade de verão, observa-se o clarão de um relâmpago e, $8$ segundos depois, ouve-se o trovão. Sabendo que a velocidade da luz é de aproximadamente $300\,000$ km/s e a do som no ar é de $340$ m/s, a que distância aproximada, em quilômetros, ocorreu o raio?

Dois barcos partem de um mesmo porto ao mesmo tempo. O barco A navega em linha reta em direção ao norte a uma velocidade de $18$ nós, e o barco B navega em direção ao leste a $24$ nós. Que distância, em milhas náuticas, os separará após $3$ horas de travessia? (Nota: $1$ nó equivale a $1$ milha náutica por hora).

Um trem de alta velocidade que mede $200$ m de comprimento viaja a $252$ km/h. Quantos segundos levará para atravessar completamente um túnel de $1,2$ km de comprimento? (Considera-se que atravessou o túnel desde o instante em que a locomotiva entra até o instante em que o último vagão sai dele).

Um desfile de $3$ km de comprimento avança por uma avenida a uma velocidade constante de $5$ km/h. Um fotógrafo de bicicleta parte do final do desfile, avança até a frente para tirar algumas fotos e retorna imediatamente ao final. Se a velocidade da bicicleta é de $15$ km/h, qual foi a distância total percorrida pelo fotógrafo em relação ao solo?

Dois cicloturistas, o Mario e a Rocío, percorrem a Vía Verde de la Sierra (Cádiz-Sevilla), que tem um comprimento total de $36\text{ km}$. Às $10:00\text{ h}$, partem ao mesmo tempo um em direção ao outro a partir das extremidades opostas do percurso. O Mario pedala a uma velocidade constante de $11\text{ km/h}$ e a Rocío a $13\text{ km/h}$. Para calcular a que horas e a que distância do ponto de partida do Mario eles vão se cruzar, propõem-se dois procedimentos:

• Método A (Aritmético / velocidade de aproximação): Somar as suas velocidades para calcular a que ritmo conjunto diminui a distância entre ambos ($11 + 13 = 24\text{ km/h}$) e dividir a distância total por essa soma.

• Método B (Algébrico): Formular uma equação do primeiro grau somando as distâncias percorridas por cada um e igualando-a à distância total: $e_1 + e_2 = 36$, ou seja, $11 \cdot t + 13 \cdot t = 36$.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos e verifique que você chega à mesma hora exata de encontro.
2. b) Explique por que ambos os métodos são matematicamente equivalentes.
3. c) Imagine que a Rocío fura o pneu antes de sair e parte $30\text{ minutos}$ mais tarde do que o Mario. Justifique qual dos dois métodos se revela mais seguro e direto para adaptar o cálculo a essa nova situação sem se confundir com os dados.

Duas cidades A e B estão separadas por $300$ km. Um carro sai de A em direção a B a $100$ km/h e outro carro sai de B em direção a A a $80$ km/h exatamente ao mesmo tempo. Em que dois instantes de tempo a distância que os separa será exatamente de $30$ km?

Em uma corrida de revezamento de $100$ km por etapas de montanha, o primeiro atleta corre a $12$ km/h e entrega o bastão ao segundo atleta, que corre a $16$ km/h até alcançar a linha de chegada. Se o tempo total da corrida foi de $7$ horas ininterruptas, qual distância em quilômetros foi percorrida por cada um dos dois atletas?

Na sala técnica de supervisão da ferrovia, monitora-se o cruzamento de dois trens que circulam numa linha ferroviária de $450\text{ km}$ entre Zaragoza e Madrid. O sistema informático de controle apresenta a seguinte equação para determinar o momento do cruzamento:

$v \cdot 2 + (v + 25) \cdot 2 = 450$

1. a) Interprete matematicamente cada um dos elementos da equação e redija um enunciado de problema coerente e completo que dê origem exatamente a essa expressão (você deve definir com clareza que grandeza representa a incógnita $v$, o que significa o termo $(v + 25)$, o que representa o número $2$ e o que significa a soma igualada a $450$).
2. b) Resolva a equação, calcule a velocidade média de cada um dos dois trens e determine a que distância de Zaragoza ocorre o encontro se o trem que viaja à velocidade $v$ tiver partido dessa cidade.
3. c) Modifique a equação original para representar uma situação diferente: ambos os trens mantêm as velocidades calculadas, mas o segundo trem se atrasa e parte $20\text{ minutos}$ depois do primeiro.