Raízes de polinômios

Avalie o polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analiticamente se os valores $x = 2$ e $x = -1$ são suas raízes.

Justifique, sem realizar nenhum cálculo complexo nem usar o dispositivo de Briot-Ruffini, por que $x = 0$ é obrigatoriamente uma raiz do polinômio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que $x = -2$ seja uma raiz exata do polinômio $T(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 10$.

Observe o gráfico da função polinomial $y = P(x)$ e escreva quais são suas raízes reais com base nos pontos de interseção com os eixos.

Determine as raízes do polinômio que já se encontra fatorado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando quais são simples e quais são múltiplas.

Em uma estação meteorológica do INMET em Teresina, a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante uma manhã de inverno é modelada em função do tempo decorrido $t$ (em horas decorridas desde as 8:00 h, no intervalo $t \in [0, 6]$) por meio do polinômio $T(t) = -t^2 + 5t - 6$.

1. a) Encontre analiticamente as raízes de $T(t)$ e explique que significado físico elas têm nos termômetros da estação.
2. b) A que horas exatas do relógio a temperatura foi de $0\text{ }^\circ\text{C}$?
3. c) Sabendo que, entre as duas raízes, o gráfico não volta a cruzar o eixo horizontal, avalie o polinômio em um valor de hora intermediário para determinar, de forma fundamentada, se nesse intervalo de tempo a temperatura esteve acima de zero ou abaixo de zero.

Utilize a regra de Briot-Ruffini para verificar se $x = 3$ é uma raiz do polinômio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Determine todas as raízes inteiras do polinômio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando a regra de Ruffini de forma iterativa.

Sabe-se que o polinômio $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ tem uma raiz em $x = 2$. Determine primeiro o valor do parâmetro $k$. Em seguida, verifique por meio da regra de Ruffini se $x = 2$ é uma raiz múltipla (dupla, tripla...) e encontre as demais raízes reais do polinômio.

Escreva todos os números inteiros que são candidatos a raízes do polinômio mônico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, com base em seu termo independente.

Na aula de Matemática, a Lucía está à procura das raízes inteiras do polinômio $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ e escreve no quadro a seguinte conclusão: «Como o termo independente é $12$, as únicas possíveis raízes inteiras são os seus divisores positivos: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$. Verifiquei que ao substituir $x = 2$ se obtém $P(2) = 0$, pelo que concluo que o binômio $(x + 2)$ é um fator que divide exatamente $P(x)$». Identifique os dois erros conceituais cometidos pela Lucía, explique detalhadamente por que contradizem a relação entre raízes, divisores e fatores, e redija as duas afirmações corrigidas.

Determine todas as raízes racionais do polinômio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para isso, indique primeiro a lista completa de frações candidatas e, em seguida, verifique quais anulam o polinômio.

O custo de produção de um componente tecnológico segue a função polinomial $C(x) = 8x^3 - 36x^2 + 46x - 15$. Sabendo que $x = \frac{3}{2}$ é uma das raízes exatas deste polinômio, determine as outras duas raízes resolvendo a equação resultante após a divisão.

Construa um polinômio de terceiro grau, desenvolvido e ordenado, que tenha como raízes exatas $x = 1$, $x = -3$ e $x = 4$, e cujo coeficiente principal seja $1$.

Escreva um polinômio de quarto grau, em sua forma desenvolvida, que tenha $x = 2$ como raiz dupla, $x = -1$ como raiz simples, que não tenha termo independente e cujo coeficiente do termo de maior grau seja $3$.

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinômio $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ tenha como raízes exatas $x = 1$ e $x = -2$.

Sabendo que um polinômio de terceiro grau mônico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem como raízes $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ e $x_3 = 4$, determine o valor numérico do seu termo independente $c$ e do seu coeficiente de grau dois $a$. Justifique sua resposta deduzindo-o a partir da forma fatorada, sem a necessidade de realizar toda a multiplicação dos três binômios.

O lucro de uma empresa tecnológica, em milhares de reais, é dado pelo polinômio $B(x) = -x^3 + 6x^2 - 5x$, onde $x$ representa os meses decorridos desde o início do ano fiscal. Determine em quais meses exatos o lucro da empresa é nulo.

Um engenheiro projeta uma peça metálica cujo volume, em centímetros cúbicos, depende de uma medida de ajuste $x$ segundo a expressão $V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Determine quais valores de $x$ fazem com que o volume seja nulo (ou seja, determine todas as raízes do polinômio).

A trajetória vertical de um drone submarino em fase de testes segue a curva dada por $A(t) = t^4 - 10t^3 + 35t^2 - 50t + 24$, onde $A$ é a profundidade em metros e $t$ o tempo em minutos desde o início do mergulho. Encontre em quais instantes $t$ o drone se encontra exatamente na superfície da água ($A(t) = 0$).

Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma folha retangular de papelão de $40\text{ cm}$ por $30\text{ cm}$, recortando quadrados idênticos de lado $x$ nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. Determine o polinômio $V(x)$ que define o volume da caixa e determine todas as suas raízes matemáticas (inclusive aquelas que não fazem sentido físico para a construção da caixa).