Exercícios: Altura e projeções

Num triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, traça-se a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa $\overline{BC}$. Sobre a hipotenusa ficam determinadas as projeções $m = \overline{BH}$ e $n = \overline{HC}$ dos catetos. Valem as relações: $h^2 = m \cdot n$, $a^2 = c \cdot m$ e $b^2 = c \cdot n$, onde $h$ é a altura, $c = \overline{BC}$ é a hipotenusa e $a$, $b$ são os catetos correspondentes às projeções $m$ e $n$.

Numa escada apoiada num muro, o triângulo retângulo formado tem hipotenusa $c = 13$ m e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem $m = 4$ m e $n = 9$ m.

1. a) Calcule a altura $h$ relativa à hipotenusa.
2. b) Calcule o cateto $a$, correspondente à projeção $m$.
3. c) Calcule o cateto $b$ e verifique que $a^2 + b^2 = c^2$.

O objetivo deste exercício é deduzir a relação $h^2 = m \cdot n$ usando semelhança de triângulos. Considere o triângulo retângulo $ABC$, com ângulo reto em $A$, e a altura $\overline{AH}$ relativa à hipotenusa $\overline{BC}$, que determina sobre ela as projeções $m = \overline{BH}$ e $n = \overline{HC}$.

1. a) Mostre que os triângulos $ABH$ e $CAH$ têm os mesmos ângulos: identifique o ângulo reto de cada um e use o fato de que os ângulos agudos de $ABC$ são complementares para concluir que o ângulo em $B$ no triângulo $ABH$ é igual ao ângulo em $A$ no triângulo $CAH$.
2. b) Conclua, pelo caso de semelhança ângulo-ângulo, que $ABH$ e $CAH$ são semelhantes.
3. c) Escreva a proporção entre os lados correspondentes que envolve $h$, $m$ e $n$: $\dfrac{h}{m} = \dfrac{n}{h}$.
4. d) Aplique a propriedade fundamental das proporções e conclua que $h^2 = m \cdot n$.

O telhado de duas águas de uma casa em Gramado tem estrutura em forma de triângulo retângulo: a cumeeira (ponto mais alto) está sobre a projeção vertical que divide a laje, e a tesoura do telhado forma, em cada água, um triângulo retângulo com ângulo reto na cumeeira. Numa das águas, o beiral (extremidade do telhado) está a $1{,}8$ m da projeção da cumeeira sobre a laje, medidos na horizontal, e do outro lado essa distância é de $3{,}2$ m. Use as relações métricas do triângulo retângulo ($h^2 = m \cdot n$, $a^2 = c \cdot m$).

1. a) Calcule a altura $h$ da cumeeira em relação à laje, usando as projeções $m = 1{,}8$ m e $n = 3{,}2$ m.
2. b) Calcule o comprimento da caibra (cateto) da água correspondente à projeção de $1{,}8$ m, sabendo que a hipotenusa total é $c = m + n$.
3. c) Deduzindo com o mesmo raciocínio do exercício de semelhança (compare o triângulo $ABC$ com o triângulo $ABH$), explique por que $a^2 = c \cdot m$, indicando quais lados correspondentes entram na proporção.
4. d) Verifique numericamente, com os valores obtidos, que a soma dos quadrados dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa total.