Exercícios: Razões e proporções

Calcule o valor da razão de cada par de quantidades e interprete o resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerejas custam $\text{R\$}\ 10,50$.

1. b) Uma ciclista de gravel percorre $95\ \text{km}$ em $4\ \text{h}$.

1. c) Uma garrafa contém $2\ \text{L}$ e um galão, $25\ \text{L}$.

Verifique, calculando o produto dos extremos e o produto dos meios, se os seguintes pares de razões formam uma proporção:

1. a) $\frac{6}{4}$ e $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ e $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ e $\frac{5}{8}$

Determine a quarta proporcional em cada caso:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Duas hastes metálicas medem $8\ \text{dm}$ e $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcule a razão entre o comprimento da primeira e o da segunda, e simplifique-a.

1. b) Calcule a razão entre a segunda e a primeira.

1. c) Como são entre si as duas razões obtidas? Isso ocorre sempre?

Com os números $3$, $6$, $4$ e $8$, forme:

1. a) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os extremos.

1. b) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os meios.

1. c) Verifique em ambas que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Um mapa rodoviário está desenhado na escala $1 : 300.000$.

1. a) Explique o significado dessa razão.

1. b) Qual distância real representam $5\ \text{cm}$ do mapa?

1. c) Duas cidades distam $21\ \text{km}$ na realidade. A que distância estão no mapa?

A Maria Eduarda e o seu irmão preparam um refresco misturando suco de laranja e água com gás numa razão de $3 : 2$ (ou seja, para cada $3$ copos de suco de laranja adicionam $2$ copos de água). Como chegam amigos em casa e precisam de mais quantidade, a Maria Eduarda propõe: «Para fazer mais refresco mantendo exatamente o mesmo sabor, vamos adicionar mais $2$ copos de laranja e mais $2$ copos de água; como somamos a mesma quantidade aos dois ingredientes, a proporção não muda».\na) Calcule o valor numérico da razão original e o valor da nova razão após aplicar a proposta da Maria Eduarda. Os dois refrescos têm o mesmo sabor? Justifique sua resposta comparando os valores decimais de ambas as razões.\nb) Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual que a Maria Eduarda cometeu sobre o significado de razão e proporção.\nc) Corrija a receita da Maria Eduarda: se ela decidir adicionar mais $3$ copos de água com gás, quantos copos de suco de laranja deve adicionar para conservar exatamente a proporção inicial?

Num abrigo de animais, a razão entre o número de gatos e o número de cães acolhidos é de $4 : 7$.

1. a) Sabendo que no total há mais de $30$ animais e menos de $40$, deduza quantos gatos e quantos cães há no abrigo sem recorrer à tentativa e erro às cegas. Explique com clareza a propriedade numérica em que você se baseia para garantir isso.
2. b) Escreva a proporção matemática completa que relaciona o número de gatos e cães com a razão simplificada dada, indicando explicitamente quais são os extremos e quais são os meios.
3. c) Se amanhã forem adotados $2$ gatos e $2$ cães, verifique, por meio da regra dos produtos cruzados, se a proporção entre as duas espécies se mantém ou se altera.

Determine o valor de $x$ nestas proporções:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Determine o meio proporcional em cada caso, ou seja, o valor positivo de $x$ que satisfaz a proporção contínua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Um carpinteiro fabrica molduras cuja parte decorativa central é um quadrado. Para que a moldura guarde a mesma proporção em todos os tamanhos, o lado $x$ do quadrado deve ser o meio proporcional entre a largura interna e a largura externa da moldura.

1. a) Para uma moldura com largura interna de $9\ \text{cm}$ e largura externa de $25\ \text{cm}$, monte a proporção contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ e determine o lado do quadrado.

1. b) Verifique que as duas razões têm o mesmo valor.

1. c) Se a largura interna for de $8\ \text{cm}$ e o quadrado decorativo medir $12\ \text{cm}$ de lado, qual é a largura externa da moldura?

Duas regiões vinícolas comparam sua produção. A região A colhe $4.500\ \text{t}$ de uva em $1.800\ \text{ha}$ de vinhedo; a região B, $6.240\ \text{t}$ em $2.400\ \text{ha}$.

1. a) Calcule a razão entre a produção e a superfície em cada região, com sua unidade.

1. b) Qual das duas obtém maior rendimento por hectare?

1. c) Se a região A aumentasse sua superfície para $2.000\ \text{ha}$ mantendo o rendimento, que produção esperaria?

Uma lançadora de dardo treina com uma marca situada a $60\ \text{m}$ e leva $4,8\ \text{s}$ para percorrer essa distância na sua corrida de aproximação.

1. a) Calcule a razão entre a distância e o tempo, em $\text{m/s}$.

1. b) Expresse-a em $\text{km/h}$.

1. c) É correto calcular a razão entre $60\ \text{m}$ e $4,8\ \text{s}$ sem prestar atenção às unidades? Por que é necessário indicá-las sempre ao interpretar uma razão?

O Partenon de Atenas foi projetado buscando a proporção áurea: a razão entre o lado maior e o menor dos seus retângulos é aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Uma janela mede $1,92\ \text{m}$ de altura e $1,20\ \text{m}$ de largura. Calcule a razão entre os seus lados. Está na proporção áurea?

1. b) Outra janela mede $2\ \text{m}$ de altura. Quanto deve medir de largura para que a razão entre a altura e a largura seja $1,6$?

1. c) Meça na sua casa três retângulos cotidianos (uma porta, um livro, uma tela) e verifique se algum deles se aproxima da proporção áurea.

Para organizar uma caminhada pela Serra da Mantiqueira, você utiliza um mapa oficial do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) na escala $1 : 25.000$. No mapa, o comprimento do percurso que você quer realizar mede exatamente $18,4\text{ cm}$.\na) Antes de calcular o valor exato, faça uma estimativa: fundamente quantos metros reais representa $1\text{ cm}$ no mapa e estime mentalmente entre quais dois valores inteiros de quilômetros se encontrará a distância real do percurso.\nb) Formule a proporção que define a escala do mapa, calcule a distância real em quilômetros utilizando a igualdade de produtos cruzados e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.\nc) Se o grupo caminhar a uma razão constante de $4\text{ km/h}$, calcule quanto tempo levará para completar o trajeto (expresse o resultado em horas e minutos) e avalie se é razoável realizar a excursão em uma única manhã.

De acordo com o relatório oficial da Dirección General del Agua da Espanha, a bacia hidrográfica do Guadalquivir dispõe de uma capacidade total de $8.030\text{ hm}^3$ e contém $2.409\text{ hm}^3$ armazenados, enquanto a bacia do Cantábrico Oriental tem uma capacidade total de $70\text{ hm}^3$ e contém $56\text{ hm}^3$ armazenados.\na) Modele a situação calculando a razão entre o volume armazenado e a capacidade total para cada uma das duas bacias. Interprete que informação cada resultado fornece, além do valor bruto de água.\nb) Uma manchete de jornal afirma: «A bacia do Guadalquivir goza de uma situação hídrica muito melhor porque acumula mais de $40$ vezes a quantidade de água do Cantábrico Oriental». Argumente criticamente por que essa afirmação é enganosa, apoiando-se nas razões calculadas.\nc) Formule uma proporção para determinar quantos hectômetros cúbicos de água a bacia do Guadalquivir teria de ter armazenados para se encontrar na mesma proporção de enchimento relativo que a do Cantábrico Oriental, e calcule esse quarto proporcional.

Uma aluna afirma o seguinte:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, então também vale $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque apenas mudei a ordem dos números.»

1. a) Verifique se a primeira igualdade é uma proporção verdadeira.

1. b) Verifique se a segunda igualdade também é verdadeira. Ela acertou?

1. c) A regra correta diz que em uma proporção é possível permutar os meios ou permutar os extremos. Aplique-a a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ e escreva duas proporções equivalentes verdadeiras.

Indique se cada afirmação é verdadeira ou falsa, supondo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ seja uma proporção verdadeira. Justifique usando o produto dos extremos e dos meios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»

Deseja-se construir um quadrado que tenha exatamente a mesma área que um retângulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como mostrado na figura.

1. a) Se o lado do quadrado é $x$, monte a equação $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Reescreva a equação como uma proporção contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. O que é $x$ em relação a $9$ e $16$?

1. c) Calcule $x$ e verifique que as áreas coincidem.

1. d) Qual seria o lado do quadrado equivalente a um retângulo de $5\ \text{cm}$ por $45\ \text{cm}$?

Tarefa de decisão. Uma loja de eletrônicos anuncia três monitores como «widescreen 16:9», ou seja, com uma razão entre a largura e a altura de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. As medidas reais do painel de cada modelo são:

• Modelo 1: $53\ \text{cm}$ de largura e $30\ \text{cm}$ de altura.

• Modelo 2: $62\ \text{cm}$ de largura e $34\ \text{cm}$ de altura.

• Modelo 3: $71\ \text{cm}$ de largura e $40\ \text{cm}$ de altura.

1. a) Calcule a razão largura/altura de cada modelo com duas casas decimais.

1. b) Quais modelos cumprem de fato a proporção 16:9 (admita um erro de $0,02$)?

1. c) Um cliente quer colocar o monitor em um espaço de $65\ \text{cm}$ de largura e $38\ \text{cm}$ de altura. Qual modelo, dos que cumprem a proporção, cabe no espaço? Justifique sua decisão com cálculos.

Um ateliê de arquitetura projeta duas janelas retangulares. A janela A mede $60\text{ cm}$ de largura por $90\text{ cm}$ de altura, e a janela B mede $80\text{ cm}$ de largura por $120\text{ cm}$ de altura. Para verificar se ambas as janelas são proporcionais, consideram-se três métodos:\n- Método 1: Calcular a razão interna $\dfrac{\text{altura}}{\text{largura}}$ de cada janela e comparar se os resultados coincidem.\n- Método 2: Calcular as razões externas entre medidas homólogas ($\dfrac{\text{largura B}}{\text{largura A}}$ e $\dfrac{\text{altura B}}{\text{altura A}}$) e verificar se são iguais.\n- Método 3: Formular a proporção $\dfrac{60}{90} = \dfrac{80}{120}$ e verificar se a igualdade de produtos cruzados se cumpre: $60 \cdot 120 = 90 \cdot 80$.\na) Desenvolva numericamente os três métodos e demonstre formalmente por que a igualdade $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ garante matematicamente que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ e que $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$.\nb) Agora pedem para você analisar uma janela C de $75\text{ cm} \times 110\text{ cm}$. Escolha de forma fundamentada qual dos três métodos se revela mais direto para verificar se ela é proporcional à janela A e aplique-o, justificando a sua conclusão.\nc) Se for construída uma janela D cujas dimensões multipliquem por $3$ o perímetro da janela A, mantendo a proporção entre os seus lados, em que razão variam a sua largura, a sua altura e o valor da sua razão de aspecto?

Numa proporção contínua, os meios são iguais: $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, de modo que o termo $x = \sqrt{a \cdot b}$ recebe o nome de meio proporcional entre os extremos $a$ e $b$.\na) Encontre todos os pares de números inteiros positivos $(a, b)$ com $a < b$ tais que o seu meio proporcional seja exatamente $x = 12$. Mostre o procedimento dedutivo a partir da decomposição em fatores primos de $12^2$, sem recorrer a tentativas desordenadas.\nb) De todos os pares obtidos na alínea anterior, identifique qual apresenta a menor diferença possível entre os seus extremos ($b - a$) e escreva a proporção contínua correspondente, verificando que os produtos cruzados coincidem.\nc) Demonstre de forma algébrica e geral que, se $x$ é o meio proporcional entre dois números positivos quaisquer $a$ e $b$, então o meio proporcional entre $k \cdot a$ e $k \cdot b$ (sendo $k > 0$) é exatamente igual a $k \cdot x$.