Exercícios: Eventos

Classifique os seguintes experimentos em determinísticos ou aleatórios:

1. a) Medir o tempo que um objeto leva para cair de $10$ metros no vácuo.
2. b) Anotar a cor do próximo carro que passar pela rua.
3. c) Calcular os juros gerados por um depósito bancário a prazo fixo conhecendo o capital e a taxa de juros.
4. d) Retirar uma bola de um globo de sorteio.

Coloca-se em um saco uma ficha para cada letra da palavra "ALGORITMO". Se o experimento consiste em retirar uma ficha ao acaso e anotar a letra obtida, escreva o espaço amostral $E$.

No experimento de girar a seguinte roleta e anotar o número em que ela para, consideramos os eventos $A = \{1, 2\}$ e $B = \{2, 3, 4\}$.

Escreva os elementos que formam os eventos união $A \cup B$ e interseção $A \cap B$.

Ao retirar uma carta de um baralho espanhol de $40$ cartas, consideramos o evento $C = \{\text{tirar uma figura}\}$. Descreva com palavras o que significa o evento complementar $\bar{C}$ e quantos elementos do espaço amostral o compõem.

Um dado de $8$ faces numeradas de $1$ a $8$ é lançado. Indique se os seguintes pares de eventos são compatíveis ou incompatíveis:

1. a) $A = \{\text{tirar um número par}\}$ e $B = \{\text{tirar um múltiplo de } 3\}$
2. b) $C = \{\text{tirar um número maior que } 6\}$ e $D = \{\text{tirar um número menor que } 5\}$

Em uma urna há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas verdes. Se retirarmos uma bola ao acaso e observarmos a sua cor, invente um evento que seja certo e outro que seja impossível.

Considere o experimento de escolher ao acaso um número inteiro de $1$ a $10$. Sejam os eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Determine os elementos do evento diferença $A - B$.

Escreva o espaço amostral correspondente ao experimento aleatório que consiste em lançar uma moeda de um reais e uma moeda de dois reais simultaneamente, anotando se sai cara ($C$) ou coroa ($X$) em cada uma.

Na rede de Trens Urbanos de Madri, analisam-se três situações na estação de Atocha relacionadas à linha C-5:

1) O tempo que um trem demora para frear de $60\text{ km/h}$ até parar por completo se o maquinista aplicar a frenagem de serviço com uma desaceleração constante de $1,2\text{ m/s}^2$ em via reta e seca.

2) O número de minutos de atraso com que chega à linha o próximo trem programado para as $08:15$.

3) O tipo de título de transporte que o próximo usuário valida na catraca: Passe Jovem ($J$), Bilhete Simples ($S$) ou Cartão Multi de 10 viagens ($M$).

1. a) Classifique cada uma das três situações em experimento determinístico ou aleatório, justificando brevemente a sua decisão em cada caso.
2. b) Para a situação 3, escreva o espaço amostral $E$.
3. c) Na situação 3, defina o evento $A = \text{«o passageiro não usa bilhete simples»}$ enumerando os seus elementos. Em seguida, escreva os elementos do evento complementar $\bar{A}$ e indique se $\bar{A}$ é um evento elementar ou composto.

O Pablo está resolvendo uma tarefa sobre o lançamento de um dado cúbico equilibrado com faces numeradas de $1$ a $6$, cujo espaço amostral é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Definem-se dois eventos: $A = \text{«obter um número menor ou igual a } 2\text{»}$ ($A = \{1, 2\}$) e $B = \text{«obter um múltiplo de } 5\text{»}$ ($B = \{5\}$).

O Pablo escreve em seu caderno a seguinte conclusão:

«Como os eventos $A$ e $B$ não têm nenhum elemento em comum, ou seja, $A \cap B = \emptyset$, deduz-se necessariamente que $B$ é o evento contrário de $A$ ($B = \bar{A}$), de modo que são eventos incompatíveis e, ao mesmo tempo, contrários».

1. a) Encontre e explique o erro conceitual que o Pablo comete ao deduzir que $B$ é o contrário de $A$. Que condição fundamental falta ao par de eventos para serem contrários?
2. b) Corrija a resposta do Pablo: escreva qual é realmente o evento contrário de $\bar{A}$ enumerando seus elementos.
3. c) Escreva um exemplo de evento $C$ (diferente de $\emptyset$) que seja incompatível com $A$, mas que também não seja o seu evento contrário.

Em um controle de qualidade de uma fábrica de componentes eletrônicos, retiram-se peças uma a uma até encontrar a primeira peça defeituosa, momento em que o processo é interrompido. Por norma, realiza-se no máximo $3$ retiradas. Se $D$ representa uma peça defeituosa e $N$ uma peça não defeituosa, escreva o espaço amostral deste experimento.

Em um estudo de mercado sobre preferências de veículos, definem-se os eventos $A = \{\text{el cliente prefiere coche eléctrico}\}$ e $B = \{\text{el cliente prefiere coche automático}\}$. Expresse com palavras o significado dos seguintes eventos:

1. a) $A \cap \bar{B}$
2. b) $\overline{A \cup B}$

O seguinte diagrama de Venn representa um espaço amostral $E$ e dois eventos $A$ e $B$. Os números $1, 2, 3, 4$ indicam as diferentes regiões do diagrama.

Identifique qual região ou quais regiões (indicadas por seus números) correspondem aos seguintes eventos:

1. a) $A \cap B$
2. b) $\bar{A} \cap B$
3. c) $\overline{A \cup B}$

Lançam-se dois dados com forma de tetraedro regular, cujas faces estão numeradas de $1$ a $4$. O experimento consiste em anotar a soma dos pontos obtidos nas faces ocultas (as que ficam apoiadas na mesa).

1. a) Escreva o espaço amostral $E$.
2. b) Defina por extensão o evento $S = \{\text{a soma é um número primo}\}$.

Em uma estação meteorológica definem-se os eventos $L = \{\text{chove hoje}\}$ e $V = \{\text{faz vento hoje}\}$. Escreva utilizando as operações matemáticas com eventos (união, interseção, complementar) as seguintes situações:

1. a) Hoje chove, mas não faz vento.
2. b) Hoje não chove nem faz vento.
3. c) Ou chove ou faz vento, mas não as duas coisas ao mesmo tempo.

Retiram-se simultaneamente duas cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas. Consideramos os eventos $O = \{\text{pelo menos uma carta é de ouros}\}$ e $R = \{\text{pelo menos uma carta é um rei}\}$.

Os eventos $O$ e $R$ são compatíveis? Justifique a sua resposta descrevendo um evento elementar que pertença à interseção $O \cap R$.

Uma empresa de logística classifica os pacotes recebidos segundo o peso ($L$: leve, $P$: pesado) e segundo o destino ($N$: nacional, $I$: internacional). Um pacote é escolhido ao acaso. Determine se os eventos $A = \{\text{o pacote é leve e nacional}\}$ e $B = \{\text{o pacote é pesado e internacional}\}$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando sua resposta com base no espaço amostral.

Um dado cúbico tradicional é lançado. Consideramos os eventos $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6\}$ e $C = \{4, 5, 6\}$.

Calcule os elementos que formam os seguintes eventos:

1. a) $(A \cup B) \cap C$
2. b) $\overline{A \cap B}$

A partir de uma amostra representativa de $100$ jovens entre os $18$ e os $24$ anos na Espanha, baseada em dados da Encuesta de Población Activa (EPA) do INE, analisa-se a situação de estudo e de trabalho deles. Definem-se os eventos $E = \text{«a pessoa frequenta estudos regulamentados»}$ e $T = \text{«a pessoa tem emprego»}$. Os dados mostram que $62$ jovens estudam, $36$ trabalham e $14$ conciliam estudos e trabalho ao mesmo tempo.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, estime de forma fundamentada: você acha que o número de jovens que não estudam nem trabalham (evento $\bar{E} \cap \bar{T}$) será maior que $25$ ou menor que $25$? Explique em que você se baseia para a sua estimativa intuitiva.
2. b) Descreva com suas palavras o que representam os eventos $E \cup T$ e $E - T$ no contexto desta amostra.
3. c) Calcule o número exato de jovens que pertencem a $E \cup T$ e a $\bar{E} \cap \bar{T}$. Verifique se a sua estimativa do item a) estava correta e reflita sobre o resultado obtido.
4. d) Justifique, por meio da definição matemática, se os eventos $E$ e $T$ são compatíveis ou incompatíveis.

Num sorteio beneficente organizado em uma escola, extrai-se uma bola de uma urna que contém $10$ bolas numeradas de $1$ a $10$, de modo que o espaço amostral é $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Não conhecemos diretamente os eventos $A$ e $B$, mas sabemos que cumprem simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. $A \cap B = \{3, 7\}$

2. $A - B = \{1, 5, 9\}$

3. $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9\}$

4. Todos os elementos do evento $B$ são números ímpares, exceto dois.

1. a) Reconstrua de forma fundamentada os eventos $A$ e $B$, detalhando quais elementos cada um contém.
2. b) Determine os elementos do evento contrário da união, $\overline{A \cup B}$, e interprete o que significa esse evento no contexto do sorteio.
3. c) Verifique se os eventos $(A - B)$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis. Justifique sua resposta com base na definição de ambas as operações.

Demonstre, utilizando a lógica de operações com conjuntos, que para dois eventos quaisquer $A$ e $B$, o evento $(A \cup B) \cap (A \cup \bar{B})$ é equivalente ao evento $A$.

Um jogo de tabuleiro consiste em lançar uma moeda repetidamente até saírem duas caras seguidas ou duas coroas seguidas. Escreva o espaço amostral deste experimento aleatório. É um espaço amostral finito ou infinito?

O seguinte diagrama de Venn mostra três eventos $A$, $B$ e $C$ dentro de um espaço amostral $E$. A região sombreada em cor laranja representa uma operação específica entre estes eventos.

Escreva a expressão matemática que define a região sombreada utilizando as operações de união, interseção e/ou complementar. Como se expressaria com palavras este evento?

Em um estudo de genética vegetal, analisam-se três características de uma planta: resistência a pragas ($R$), tolerância à seca ($T$) e alta produção ($P$). Expresse utilizando operações com eventos as seguintes situações:

1. a) A planta apresenta exatamente duas das três características.
2. b) A planta apresenta pelo menos uma das três características, mas não é resistente a pragas.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório. Simplifique a seguinte expressão de eventos utilizando as propriedades das operações (comutativa, associativa, distributiva, leis de De Morgan, etc.):

$((A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)) \cup (\bar{A} \cap B)$

Em um sistema de controle de tráfego aéreo, três radares $R_1$, $R_2$ e $R_3$ detectam a presença de aeronaves. Sabemos por projeto que é impossível que os três radares falhem simultaneamente, mas qualquer par de radares pode falhar ao mesmo tempo. Se o evento $F_i$ representa "o radar $i$ falha", traduza esta informação para expressões matemáticas utilizando uniões e interseções dos eventos $F_1, F_2, F_3$.

No experimento de retirar uma carta de um baralho francês de $52$ cartas, definimos os eventos:

$C = \{\text{a carta é de copas}\}$

$D = \{\text{a carta é de ouros}\}$

$F = \{\text{a carta é uma figura (J, Q, K)}\}$

Determine os elementos que compõem o evento $(C \cup D) - F$ e descreva-o com palavras.

Considere um experimento aleatório com um espaço amostral $E$. Se $A, B$ e $C$ são três eventos tais que formam uma partição do espaço amostral (ou seja, são mutuamente exclusivos dois a dois e a união deles é o evento certo $E$), determine a qual evento equivale a seguinte expressão simplificada:

$\overline{\overline{(A \cup B)} \cap \bar{C}}$

Num torneio local de padel, uma dupla disputa dois jogos consecutivos. Em cada jogo há dois resultados possíveis: vencer ($G$) ou perder ($P$). Se a dupla vencer, registra-se se foi pela via rápida em dois sets ($G_2$) ou precisando do set de desempate ($G_3$); se perder, registra-se se venceu pelo menos um set ($P_1$) ou nenhum ($P_0$).

Deseja-se estudar o espaço amostral completo $E$ e, em particular, o evento $S = \text{«a dupla não sofre nenhuma derrota a zeros (isto é, em nenhum jogo perde por } P_0\text{)»}$.

Dois colegas discutem qual é a melhor forma de organizar a informação:

• A Clara propõe utilizar um diagrama de árvore, ramificando primeiro o resultado do primeiro jogo (com $4$ ramos) e, de cada um deles, abrir outros $4$ ramos para o segundo jogo.

• O Daniel propõe construir uma tabela de dupla entrada de $4 \times 4$, colocando os quatro resultados possíveis do primeiro jogo nas linhas e os do segundo nas colunas.

1. a) Represente o espaço amostral $E$ utilizando o método do Daniel (a tabela de dupla entrada) e indique quantos eventos elementares compõem $E$.
2. b) Assinale na tabela e escreva os elementos que formam o evento $S$.
3. c) Compare ambos os métodos: analise as vantagens e desvantagens do diagrama de árvore em relação à tabela de dupla entrada para esta experiência de duas etapas com $4$ opções cada uma. Justifique qual dos dois métodos você considera mais claro e com menor probabilidade de erro para identificar eventos como $S$.
4. d) Escreva em palavras o que significa o evento contrário $\bar{S}$ e determine os seus elementos. É mais rápido definir $S$ identificando diretamente os seus casos ou identificando primeiro os de $\bar{S}$? Justifique a sua resposta.

Nas Zonas de Baixas Emissões (ZBE) reguladas pela DGT em cidades espanholas como Madri ou Sevilha, monitoram-se os veículos que acessam o centro urbano. Cada veículo é classificado de acordo com duas variáveis: o seu distintivo ambiental, que pertence a $D = \{0, E, C, B, A\}$ (onde $0$ é Zero emissões, $E$ é Eco, $C$ e $B$ são de combustão segundo a norma Reais, e $A$ representa os veículos sem distintivo), e a paridade do último dígito da sua placa, $M = \{P, I\}$ (Par ou Ímpar). Cada evento elementar do experimento é um par $(d, m)$.

Definem-se os seguintes eventos:

• $V_1$: «O veículo tem etiqueta Zero ou Eco» ($d \in \{0, E\}$).

• $V_2$: «O veículo tem etiqueta $B$ ou $C$».

• $V_3$: «O veículo tem placa par» ($m = P$).

• $R$: «O veículo tem o acesso restringido em um episódio de poluição elevada», protocolo que afeta todos os veículos sem etiqueta ($A$), e também os veículos com etiqueta $B$ cuja placa seja ímpar.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$ detalhando os seus eventos elementares. Quantos elementos ele tem?
2. b) Exprima formalmente o evento $R$ utilizando operações com conjuntos (união, interseção, diferença ou complementar) a partir dos eventos $V_1$, $V_2$, $V_3$ ou de eventos elementares.
3. c) Analise matematicamente se os eventos $V_1$ e $R$ são incompatíveis. São também eventos complementares ($V_1 = \bar{R}$)? Justifique rigorosamente a sua resposta a partir dos elementos do espaço amostral.
4. d) Um novo regulamento municipal propõe: «Poderão circular todos os veículos pertencentes a $(V_2 \cap V_3) \cup V_1$». Traduza com total precisão esta regra para a linguagem que um motorista entenderia em um painel informativo da DGT.