Exercícios: Eventos independentes

Lança-se uma moeda equilibrada e um dado cúbico comum (com faces numeradas de 1 a 6). Qual é a probabilidade de obter "coroa" na moeda e um "5" no dado?

Dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório cumprem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a sua resposta matematicamente.

Em uma urna há 3 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a sua cor, devolve-se à urna e retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de a primeira bola ser vermelha e a segunda ser azul.

Dois arqueiros, Ana e Carlos, atiram em um alvo. A probabilidade de Ana acertar o centro é $0,7$ e a de Carlos acertar é $0,6$. Se ambos atirarem de forma independente, qual é a probabilidade de os dois acertarem o centro do alvo?

Em uma roleta europeia há 18 casas vermelhas, 18 pretas e 1 verde (o zero). Se a roleta for girada duas vezes consecutivas, qual é a probabilidade de a bola cair em uma casa preta em ambos os giros?

Sabe-se que dois eventos $A$ e $B$ são independentes. Se a probabilidade de ocorrer $A$ é $P(A) = 0,3$ e a probabilidade de ocorrer $B$ é $P(B) = 0,8$, calcule a probabilidade de ocorrer pelo menos um dos dois, ou seja, $P(A \cup B)$.

Um estudante responde completamente ao acaso a um teste curto de 3 perguntas. Cada pergunta tem 4 opções de resposta e apenas uma é correta. Qual é a probabilidade de ele acertar todas as perguntas?

De um baralho espanhol de 40 cartas retira-se uma carta, anota-se o seu valor, devolve-se ao maço e retira-se uma segunda carta. Determine a probabilidade de tirar um "Rei" na primeira retirada e uma carta do naipe de "Copas" na segunda.

Numa aula do 4.º ano do ESO, a Sara e o seu grupo realizam uma experiência com uma urna que contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas pretas. A experiência consiste em tirar uma bola, registar a sua cor, devolvê-la à urna (amostragem com reposição) e tirar uma segunda bola.

A Sara afirma o seguinte: «Como devolvemos a bola, as duas extrações são acontecimentos independentes. A probabilidade de tirar vermelha na primeira é $\frac{4}{10} = 0,4$ e na segunda também é $0,4$. Portanto, a probabilidade de tirar duas bolas vermelhas é $0,4 + 0,4 = 0,8$, já que ao serem independentes só temos de somar as probabilidades».

1. a) Identifica e explica fundamentadamente o erro conceptual da Sara. Por que razão somar probabilidades não tem sentido lógico aqui (pensa no que aconteceria se fizesse 3 extrações)?
2. b) Corrige o cálculo aplicando a propriedade correta dos acontecimentos independentes para obteres a probabilidade exata de extrair duas bolas vermelhas consecutivas.

Segundo dados de pontualidade publicados sobre a rede de Renfe Cercanías em Madrid, a probabilidade de um comboio matinal numa determinada linha chegar pontual ao seu destino é de $0,92$ ($92\,\%$). Assume-se que as incidências técnicas e atrasos em dias úteis diferentes funcionam como acontecimentos independentes. Um estudante do 4.º ano do ESO apanha esse comboio na segunda-feira e na terça-feira para ir para a escola.

1. a) Justifica o que significa neste contexto da vida real que a pontualidade de segunda-feira e a de terça-feira sejam acontecimentos «independentes».
2. b) Modela matematicamente a situação e calcula a probabilidade de o comboio ser pontual em ambos os dias.
3. c) Calcula a probabilidade de o comboio chegar com atraso pelo menos num dos dois dias.

Em uma fábrica, duas máquinas de controle de qualidade revisam os produtos de forma independente. A máquina 1 detecta um defeito com uma probabilidade de $0,9$, enquanto a máquina 2 o faz com uma probabilidade de $0,85$. Se um produto defeituoso passar por ambas as máquinas, qual é a probabilidade de pelo menos uma das duas detectar o defeito?

Em uma população, a probabilidade de ter o genótipo para olhos azuis é $0,25$ e a probabilidade de ter o genótipo para cabelo loiro é $0,15$. Assumindo que a herança de ambas as características é independente, calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter exatamente uma das duas características.

Um jogador de basquete tem uma porcentagem de acerto em lances livres de $80\%$. Se ele lançar 3 lances livres de forma independente, qual é a probabilidade de acertar exatamente dois deles?

Um sistema de informática de um hospital conta com 3 servidores independentes para evitar quedas no serviço. A probabilidade de um servidor falhar em um dia qualquer é $0,05$. Qual é a probabilidade de o sistema continuar funcionando (ou seja, de pelo menos um servidor não falhar) durante um dia inteiro?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos independentes de um experimento aleatório. Sabe-se que a probabilidade da união é $P(A \cup B) = 0,85$ e que $P(A) = 0,6$. Calcule o valor da probabilidade do evento $B$, ou seja, $P(B)$.

A probabilidade de chover em uma segunda-feira de outono é $0,3$. De forma independente, a probabilidade de o ônibus escolar chegar atrasado nesse mesmo dia é $0,2$. Qual é a probabilidade de na próxima segunda-feira não chover e o ônibus chegar atrasado?

Uma joalheria tem dois sistemas de alarme independentes. Durante uma tentativa de roubo, o alarme principal soa com uma probabilidade de $0,95$, e o alarme secundário soa com uma probabilidade de $0,90$. Qual é a probabilidade de durante um roubo soar somente um dos dois alarmes?

Uma estudante faz duas provas de idiomas: inglês e francês. A probabilidade de ser aprovada em inglês é $0,7$. Sabe-se que a probabilidade de ser aprovada em ambas as provas é $0,56$. Supondo que os resultados das duas provas são independentes, qual é a probabilidade de ela ser reprovada na prova de francês?

No exame teórico para obter a carteira de motorista do Departamento de Trânsito (Detran), muitas perguntas são de múltipla escolha com 3 respostas possíveis ($A$, $B$ e $C$), das quais apenas uma está correta. Imagine uma pessoa que não estudou a matéria e responde completamente no chute a um bloco de 4 perguntas consecutivas. A resposta escolhida em cada pergunta é independente das restantes.

1. a) Estime: Sem fazer operações detalhadas com a calculadora, você acha que a probabilidade de acertar as 4 perguntas puramente no chute será superior a $5\,\%$, ou acha que ficará abaixo de $2\,\%$? Escreva a sua intuição inicial e explique brevemente em que você se baseia.
2. b) Verifique: Aplique a regra do produto para eventos independentes e calcule o valor exato da probabilidade de acertar as 4 perguntas seguidas. Apresente o resultado na forma de fração irredutível, em número decimal e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa prévia e avalie se é razoável confiar na sorte numa prova de múltipla escolha.

A partir das séries climatológicas históricas da Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) para o mês de novembro numa localidade do norte peninsular como Santander, a probabilidade de um dia qualquer amanhecer chovendo é de $0,45$ ($45\,\%$). Para organizar uma saída de fim de semana (sábado e domingo), um grupo de escoteiros modela o tempo considerando que o clima de sábado e o de domingo se comportam como eventos independentes.

1. a) Modele a situação e calcule a probabilidade de o grupo de escoteiros poder realizar as suas atividades ao ar livre sem chuva em nenhum dos dois dias.
2. b) Calcule a probabilidade de chover pelo menos em um dos dois dias do fim de semana.
3. c) Raciocine criticamente: na meteorologia real, se no sábado entrar uma frente fria sobre a serra, é realista assumir que o tempo de domingo é matematicamente independente do de sábado? Explique como isso influencia a confiabilidade do modelo matemático.

Um avião quadrimotor de carga tem 4 motores que operam de forma completamente independente. A probabilidade de um motor falhar durante um voo transoceânico é $p = 0,01$. O avião pode completar seu voo de forma segura se pelo menos 2 dos seus motores funcionarem corretamente. Qual é a probabilidade de o avião sofrer um acidente devido a uma falha múltipla nos motores?

Dois eventos $A$ e $B$ são independentes. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer pelo menos um deles é $P(A \cup B) = 0,76$ e a probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente é $P(A \cap B) = 0,24$. Encontre os valores exatos de $P(A)$ e $P(B)$, sabendo que o evento $A$ é mais provável do que o evento $B$.

Demonstre matematicamente que, se dois eventos $A$ e $B$ são independentes, então os seus eventos complementares $\overline{A}$ e $\overline{B}$ também são independentes. Utilize as propriedades fundamentais da probabilidade e a definição formal de independência.

Dois amigos, Santiago e Diana, lançam um dado equilibrado alternadamente. O primeiro que tirar um "6" ganha a partida e o jogo termina. Se Santiago lançar primeiro, calcule a probabilidade exata de Santiago ganhar a partida. (Dica: considere os turnos como uma série geométrica infinita).

Sejam $A$, $B$ e $C$ três eventos mutuamente independentes em um experimento de laboratório. As probabilidades de sucesso deles são $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(C) = 0,6$. Calcule a probabilidade de ocorrerem exatamente dois dos três eventos.

Um atirador olímpico com arco acerta o centro absoluto do alvo com uma probabilidade $p = 0,2$ em cada disparo. Os disparos são eventos independentes entre si. Qual é o número mínimo de flechas que ele deve disparar para que a probabilidade de acertar o centro pelo menos uma vez seja maior que $0,99$?

A urna A contém $x$ bolas brancas e $4$ bolas pretas. A urna B contém $3$ bolas brancas e $y$ bolas pretas. Retira-se uma bola de cada urna de forma independente. Sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é $\frac{1}{8}$ e a probabilidade de ambas serem pretas é $\frac{5}{12}$, determine o número de bolas brancas na urna A ($x$) e o número de bolas pretas na urna B ($y$).

Um circuito eletrônico é formado por três componentes, $A$, $B$ e $C$, que funcionam de maneira independente. O componente $A$ está conectado em série com um bloco formado por $B$ e $C$ em paralelo. As probabilidades de cada componente funcionar corretamente sem falhar são $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,7$. Calcule a probabilidade de a corrente elétrica poder passar de uma extremidade à outra do circuito.

Uma pequena empresa de comércio eletrônico de Salvador guarda as cópias de segurança das suas encomendas em três discos rígidos externos idênticos e independentes. Por desgaste e uso contínuo, a probabilidade de um disco rígido apresentar defeito durante a noite é de $0,05$ (e de $0,95$ de funcionar corretamente). Para que a empresa possa operar no dia seguinte sem perder informação, basta que funcione pelo menos um dos três discos.

Para calcular a probabilidade de o sistema manter os dados a salvo, dois técnicos propõem caminhos distintos:

• Método da Laura (direto): Calcular e somar separadamente a probabilidade de funcionar exatamente um disco (3 casos possíveis), exatamente dois discos (3 casos possíveis) e os três discos (1 caso).

• Método do Carlos (evento complementar): Calcular a probabilidade de os três discos apresentarem defeito simultaneamente e subtrair esse valor de 1.

1. a) Compare ambos os métodos e justifique qual dos dois é preferível neste problema e por quê.
2. b) Aplique o método mais eficiente para calcular a probabilidade exata de a empresa manter as suas cópias de segurança nessa noite.
3. c) Se a empresa crescesse e passasse a ter 8 discos rígidos independentes em vez de 3, qual dos dois métodos manteria uma dificuldade de cálculo semelhante e qual se tornaria praticamente inviável à mão? Justifique a sua resposta.

Em uma casa de repouso para idosos da Bahia, a regulamentação de segurança exige a instalação de detectores de fumaça independentes nos corredores dos quartos. Os detectores funcionam a pilha de forma totalmente independente entre si. As especificações técnicas do fabricante indicam que cada detector individual tem uma probabilidade de ativação correta de $0,80$ diante da presença real de fumaça (ou seja, uma probabilidade de falha de $0,20$).

A direção do centro exige uma garantia de segurança global: a probabilidade de pelo menos um dos detectores colocados em um corredor soar o alarme diante de um princípio de incêndio deve ser de, no mínimo, $99\,\%$ ($0,99$).

1. a) Se forem colocados $n$ detectores independentes no corredor, escreva a expressão algébrica (em função de $n$) que representa a probabilidade de nenhum dos detectores funcionar diante da fumaça.
2. b) Formule a inequação correspondente à condição de segurança: $P(\text{pelo menos um funcione}) \ge 0,99$.
3. c) Por meio de verificação sucessiva para $n = 1, 2, 3, \dots$, determine qual é o número mínimo de detectores independentes que devem ser colocados em cada corredor para cumprir a exigência de segurança e interprete o resultado.