Exercícios: Eventos dependentes

Em uma caixa há $8$ lâmpadas LED, das quais $3$ estão queimadas. Se forem retiradas duas lâmpadas ao acaso, uma após a outra e sem reposição, calcule a probabilidade de ambas funcionarem corretamente.

De um baralho espanhol de $40$ cartas, são retiradas duas cartas consecutivamente e sem reposição. Determine a probabilidade de a primeira ser um rei e a segunda ser um ás.

Em uma turma de $30$ estudantes, $18$ são meninas. Sabe-se que $12$ meninas e $5$ meninos estudam francês. Se um estudante desta turma for selecionado ao acaso e for menina, calcule a probabilidade de que estude francês.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,25$. Verifique matematicamente se os eventos $A$ e $B$ são dependentes ou independentes.

Em uma gaveta, há $5$ meias pretas e $3$ meias azuis, todas misturadas. Se forem retiradas duas meias no escuro, uma após a outra, calcule a probabilidade de as duas serem azuis.

O diagrama de árvore a seguir mostra as probabilidades de um jogador de basquete acertar ($E$) ou errar ($F$) o seu primeiro e segundo lances livres. Observe as probabilidades condicionais e calcule a probabilidade de o jogador errar o primeiro lance e acertar o segundo.

Em um abrigo de animais, há cães e gatos. A probabilidade de escolher um cão ao acaso é $0,6$. Se sabemos que o animal escolhido é um cão, a probabilidade de ele ter coleira é $0,8$. Qual é a probabilidade de escolher ao acaso um animal que seja cão e também tenha coleira?

De uma urna que contém $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas verdes, extraem-se três bolas consecutivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de que as três bolas extraídas sejam vermelhas.

A Ana está resolvendo um problema de aula: «Em um baralho espanhol de $40$ cartas, extraem-se duas cartas consecutivas sem reposição. Qual é a probabilidade de ambas serem de copas?». A Ana escreve no seu caderno:

«Há $10$ copas no baralho, por isso a probabilidade de tirar copas na primeira vez é $\frac{10}{40}$. Como o evento não muda de tipo na segunda extração, a probabilidade de tirar copas outra vez volta a ser $\frac{10}{40}$. Portanto, a probabilidade de tirar duas copas é $\frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16} = 0,0625$».

1. a) Aponte com precisão que erro conceitual a Ana cometeu ao considerar que os dois eventos são independentes.
2. b) Explique como o fato de não repor a primeira carta afeta tanto o número de casos favoráveis quanto o de casos possíveis na segunda extração.
3. c) Realize o cálculo correto da probabilidade na forma de fração irredutível e em número decimal.

Numa inspeção de transporte da Polícia Rodoviária Federal (PRF) numa região do interior de Minas Gerais, os agentes mandam parar um grupo de $15$ vans de distribuição de mercadorias. Após reverem a documentação no arquivo central, verifica-se que exatamente $3$ delas circulam com o licenciamento anual vencido. Se os agentes selecionarem ao acaso $2$ vans desse grupo, uma após a outra e sem repetir:

1. a) Modele a situação identificando os eventos de cada etapa e indique por que razão a probabilidade da segunda van depende do que ocorreu com a primeira.
2. b) Calcule a probabilidade de ambas as vans selecionadas estarem com o licenciamento completamente em dia. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e em porcentagem arredondada a duas casas decimais.

Um lote de $50$ telefones celulares contém $4$ unidades com defeitos de fabricação. Um inspetor de qualidade seleciona ao acaso $3$ telefones do lote, um a um e sem reposição. Calcule a probabilidade de nenhum dos telefones selecionados ser defeituoso.

Em uma pesquisa realizada com $200$ pessoas sobre a preferência entre chá e café, foram obtidos os seguintes dados: $120$ preferem café, das quais $70$ são mulheres. Se no total há $110$ mulheres na pesquisa, calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso preferir chá, sabendo que é homem.

Temos duas urnas e um dado honesto de seis faces. Lançamos o dado: se sair um número menor que $3$, retiramos uma bola da urna $A$; caso contrário, retiramos uma bola da urna $B$. Observe a composição das urnas na imagem e calcule a probabilidade de a bola retirada ser vermelha.

Um estudante tem um chaveiro com $5$ chaves muito parecidas, das quais apenas uma abre a porta de sua casa. Se ele chega de noite e testa as chaves ao acaso, descartando as que não funcionam, qual é a probabilidade de conseguir abrir a porta exatamente na terceira tentativa?

A probabilidade de chover em uma cidade em um determinado dia depende do tempo que fez no dia anterior. Se hoje chove, a probabilidade de chover amanhã é $0,7$. Se hoje não chove, a probabilidade de chover amanhã é $0,2$. Sabendo que hoje é segunda-feira e está chovendo, calcule a probabilidade de na quarta-feira não chover.

Em um jogo de tabuleiro, um baú contém $6$ moedas de ouro e $4$ moedas de prata. Um jogador extrai duas moedas sem olhar, uma após a outra e sem reposição. Com base no esquema do diagrama de árvore, calcule a probabilidade de as duas moedas extraídas serem de materiais diferentes.

Em um hospital, $40\%$ dos pacientes estão internados por doenças respiratórias. Deles, $15\%$ são fumantes. Entre os pacientes internados por outras causas, $20\%$ são fumantes. Se um paciente for escolhido ao acaso e for fumante, qual é a probabilidade de estar internado por uma doença respiratória?

De um baralho espanhol de $40$ cartas, são extraídas duas cartas ao acaso e sem reposição. Calcule a probabilidade de pelo menos uma das cartas extraídas ser um cavalo.

Segundo séries climáticas históricas de um órgão oficial de meteorologia para o mês de novembro em uma cidade do litoral, o tempo apresenta uma forte persistência: se em um dia chove, a probabilidade de chover no dia seguinte é de $0,70$; enquanto se em um dia não chove, a probabilidade de chover no dia seguinte desce para $0,30$. Sabemos com certeza que na terça-feira choveu intensamente.

1. a) Antes de fazer cálculos numéricos, estime de forma justificada se a probabilidade de chover na quinta-feira (dois dias depois de terça-feira) será superior ou inferior a $50\,\%$ ($0,50$).
2. b) Represente por meio de um diagrama de árvore os caminhos possíveis para quarta-feira e quinta-feira, calcule a probabilidade exata de que na quinta-feira chova e verifique se a sua estimativa inicial estava correta, explicando a razão do resultado obtido.

Num posto de saúde de uma capital de estado, analisam-se os registros de $1000$ pacientes que procuraram o serviço com febre durante uma campanha de inverno. Do total de pacientes, $200$ tinham realmente o vírus da gripe e $800$ sofriam de outras infecções virais comuns. O teste rápido aplicado na triagem detecta corretamente a presença do vírus em $90\,\%$ das pessoas que têm gripe, mas gera um falso positivo em $10\,\%$ das pessoas que não a têm. Deseja-se descobrir a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso ter resultado positivo no teste.

Para resolver, dois estudantes propõem métodos distintos:

• Método 1 (Diagrama de árvore e probabilidade total): Atribuir probabilidades a cada ramo ($P(\text{Gripe})$, $P(\text{Positivo}\mid\text{Gripe})$, etc.) e somar os caminhos que levam a um teste positivo.

• Método 2 (Tabela de contingência com frequências absolutas): Preencher uma tabela $2\times 2$ com o número exato de pessoas em cada categoria e dividir o total de positivos por $1000$.

1. a) Aplique ambos os métodos para calcular a referida probabilidade e verifique que se chega exatamente ao mesmo valor.
2. b) Compare ambos os caminhos: qual você considera mais claro e com menor risco de erro para explicar a pessoas não especialistas em matemática? Justifique sua resposta avaliando os prós e os contras de cada um.

Uma urna contém $x$ bolas brancas e $5$ bolas pretas. Se duas bolas forem retiradas ao acaso e sem reposição, a probabilidade de ambas serem brancas é $\frac{1}{6}$. Escreva a equação correspondente e determine o número inicial de bolas brancas que há na urna.

Um teste de diagnóstico para uma doença tem uma confiabilidade de $95\%$ para detectar os doentes e de $90\%$ para dar negativo em pessoas saudáveis. Sabe-se que $2\%$ da população padece dessa doença. Se uma pessoa se submete ao teste e o resultado é positivo, calcule a probabilidade de ela estar realmente doente.

Há duas urnas com a composição mostrada na figura. Retira-se uma bola ao acaso da urna $I$ e, sem olhar a sua cor, coloca-se na urna $II$. Em seguida, retira-se uma bola da urna $II$. Calcule a probabilidade de a bola retirada da urna $II$ ser branca.

Em um torneio de xadrez, um jogador enfrenta um mesmo adversário em uma série à melhor de três partidas (ganha o primeiro a obter duas vitórias). A probabilidade de ganhar a primeira partida é $0,5$. Se ganhar uma partida, sua confiança aumenta e a probabilidade de ganhar a seguinte é $0,6$. Se perder, sua probabilidade de ganhar a seguinte diminui para $0,4$. Supondo que não haja empates, calcule a probabilidade de esse jogador ganhar o torneio.

Há três caixas idênticas por fora. A caixa $A$ contém $2$ moedas de ouro, a caixa $B$ contém $2$ moedas de prata, e a caixa $C$ contém $1$ moeda de ouro e $1$ de prata. Escolhe-se uma caixa ao acaso e dela retira-se uma moeda ao acaso, que se revela ser de ouro. Qual é a probabilidade de a outra moeda restante nessa mesma caixa também ser de ouro?

Um sistema de alarme consiste em dois sensores, $A$ e $B$. Em condições normais, o sensor $A$ falha $5\%$ das vezes e o sensor $B$ falha $8\%$ das vezes. No entanto, devido a interferências elétricas conjuntas, a probabilidade de o sensor $B$ falhar sabendo que o sensor $A$ falhou aumenta para $30\%$. Calcule a probabilidade de, diante de uma intrusão, o sistema completo falhar (ou seja, que ambos os sensores falhem).

De um baralho espanhol de $40$ cartas, extraem-se três cartas consecutivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de tirar exatamente dois reis e um cavalo, considerando que podem aparecer em qualquer ordem.

Em uma empresa de tecnologia, $60\%$ dos funcionários são programadores, $30\%$ são designers e $10\%$ são gerentes. $80\%$ dos programadores, $40\%$ dos designers e $90\%$ dos gerentes falam inglês fluente. Um funcionário é selecionado ao acaso e descobre-se que ele não fala inglês fluente. Calcule a probabilidade de esse funcionário ser designer.

Numa fábrica de conservas de uma cidade do litoral de Santa Catarina, o embalamento de mexilhão se divide entre duas linhas automatizadas, $L_1$ e $L_2$. A linha $L_1$ assume $60\,\%$ da produção diária e a linha $L_2$ os restantes $40\,\%$. As auditorias de qualidade indicam que a probabilidade de uma lata proveniente de $L_1$ apresentar uma vedação defeituosa é de $0,01$ ($1\,\%$). A direção técnica exige que a probabilidade global de encontrar uma lata defeituosa no conjunto de toda a produção do dia não ultrapasse os $0,018$ ($1,8\,\%$).

1. a) Formule uma inequação baseada no teorema da probabilidade total que permita determinar a taxa máxima de latas defeituosas permitida na linha $L_2$ para cumprir o padrão da fábrica.
2. b) Supondo que a linha $L_2$ opera exatamente nesse limite máximo admissível, se um inspetor retirar ao acaso uma lata da produção final e verificar que está defeituosa, calcule a probabilidade condicional de ela provir da linha $L_2$ e interprete qual linha contribui com mais latas defeituosas para o lote final.

Segundo estimativas de segurança viária da DGT para noites festivas em áreas urbanas, aproximadamente $4\,\%$ dos motoristas em circulação consumiu álcool acima do limite legal. A polícia local utiliza nas operações de fiscalização um dispositivo portátil de triagem: se um motorista ultrapassa a taxa, o dispositivo dá positivo $95\,\%$ das vezes; se não a ultrapassa, o dispositivo apresenta um falso positivo em $5\,\%$ dos testes.

1. a) Modele a situação por meio de um diagrama de árvore com todas as probabilidades associadas e calcule a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso nessa operação de fiscalização dar positivo no teste portátil.
2. b) Se o teste de triagem der positivo para um motorista selecionado ao acaso, calcule a probabilidade real de ele ultrapassar verdadeiramente a taxa legal de álcool.
3. c) Diante da porcentagem obtida no item b), justifique matematicamente por que a legislação espanhola proíbe punir apenas com este teste e exige obrigatoriamente realizar uma segunda medição com um bafômetro quantitativo homologado após $10$ minutos de espera.

Desafio do tema. Vamos arriscar organizar um festival ao ar livre? Você vai avaliar o risco meteorológico da sua cidade tomando decisões baseadas em dados reais.

1. Coleta de dados e eventos: Consulte no site do INMET o registro dos últimos $30$ dias no seu município. Registre em uma planilha os dias com chuva ($A$) e os dias com rajadas de vento forte ($B$). Defina o espaço amostral e calcule a probabilidade de cada evento aplicando a regra de Laplace (por exemplo, $P(A) = 6/30 = 0,20$).

2. Independência e dependência: Analise se chover dois dias seguidos são eventos independentes ou dependentes. Calcule na sua planilha a probabilidade empírica condicional de chover em um dia sabendo que choveu no anterior, $P(L_2 | L_1)$, e compare-a com $P(L_2)$ para determinar se o estado do tempo anterior influencia.

3. Relatório de decisão: Elabore um relatório de uma página com uma tabela comparativa calculando a probabilidade de chover durante todo um fim de semana sob a hipótese de eventos independentes em comparação com eventos dependentes. Acrescente uma proposta fundamentada sobre se a organização deveria contratar uma tenda ou um seguro de cancelamento.

Será avaliado:

• Identificação precisa de eventos e cálculo correto de probabilidades por meio da regra de Laplace.

• Distinção matemática fundamentada entre eventos dependentes e independentes a partir dos dados.

• Organização dos dados em planilha e clareza argumentativa na proposta final.