Exercícios: Raízes de polinômios

Avalie o polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analiticamente se os valores $x = 2$ e $x = -1$ são suas raízes.

Utilize a regra de Briot-Ruffini para verificar se $x = 3$ é uma raiz do polinômio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Escreva todos os números inteiros que são candidatos a raízes do polinômio mônico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, com base em seu termo independente.

Determine as raízes do polinômio que já se encontra fatorado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando quais são simples e quais são múltiplas.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que $x = -2$ seja uma raiz exata do polinômio $T(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 10$.

Construa um polinômio de terceiro grau, desenvolvido e ordenado, que tenha como raízes exatas $x = 1$, $x = -3$ e $x = 4$, e cujo coeficiente principal seja $1$.

Observe o gráfico da função polinomial $y = P(x)$ e escreva quais são suas raízes reais com base nos pontos de interseção com os eixos.

Justifique, sem realizar nenhum cálculo complexo nem usar o dispositivo de Briot-Ruffini, por que $x = 0$ é obrigatoriamente uma raiz do polinômio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

Na aula de Matemática, a Lucía está à procura das raízes inteiras do polinômio $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ e escreve no quadro a seguinte conclusão: «Como o termo independente é $12$, as únicas possíveis raízes inteiras são os seus divisores positivos: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$. Verifiquei que ao substituir $x = 2$ se obtém $P(2) = 0$, pelo que concluo que o binômio $(x + 2)$ é um fator que divide exatamente $P(x)$». Identifique os dois erros conceituais cometidos pela Lucía, explique detalhadamente por que contradizem a relação entre raízes, divisores e fatores, e redija as duas afirmações corrigidas.

Em uma estação meteorológica do INMET em Teresina, a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante uma manhã de inverno é modelada em função do tempo decorrido $t$ (em horas decorridas desde as 8:00 h, no intervalo $t \in [0, 6]$) por meio do polinômio $T(t) = -t^2 + 5t - 6$.

1. a) Encontre analiticamente as raízes de $T(t)$ e explique que significado físico elas têm nos termômetros da estação.
2. b) A que horas exatas do relógio a temperatura foi de $0\text{ }^\circ\text{C}$?
3. c) Sabendo que, entre as duas raízes, o gráfico não volta a cruzar o eixo horizontal, avalie o polinômio em um valor de hora intermediário para determinar, de forma fundamentada, se nesse intervalo de tempo a temperatura esteve acima de zero ou abaixo de zero.

Determine todas as raízes inteiras do polinômio de quarto grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando a regra de Ruffini de forma iterativa.

O lucro de uma empresa tecnológica, em milhares de reais, é dado pelo polinômio $B(x) = -x^3 + 6x^2 - 5x$, onde $x$ representa os meses decorridos desde o início do ano fiscal. Determine em quais meses exatos o lucro da empresa é nulo.

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o polinômio $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ tenha como raízes exatas $x = 1$ e $x = -2$.

Um engenheiro projeta uma peça metálica cujo volume, em centímetros cúbicos, depende de uma medida de ajuste $x$ segundo a expressão $V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Determine quais valores de $x$ fazem com que o volume seja nulo (ou seja, determine todas as raízes do polinômio).

Escreva um polinômio de quarto grau, em sua forma desenvolvida, que tenha $x = 2$ como raiz dupla, $x = -1$ como raiz simples, que não tenha termo independente e cujo coeficiente do termo de maior grau seja $3$.

Determine todas as raízes racionais do polinômio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para isso, indique primeiro a lista completa de frações candidatas e, em seguida, verifique quais anulam o polinômio.

A trajetória vertical de um drone submarino em fase de testes segue a curva dada por $A(t) = t^4 - 10t^3 + 35t^2 - 50t + 24$, onde $A$ é a profundidade em metros e $t$ o tempo em minutos desde o início do mergulho. Encontre em quais instantes $t$ o drone se encontra exatamente na superfície da água ($A(t) = 0$).

Demonstre de forma fundamentada que o polinômio $P(x) = x^4 + 3x^2 + 5$ não tem nenhuma raiz real, analisando o sinal que seus diferentes termos assumem para qualquer valor de $x \in \mathbb{R}$.

Uma cooperativa de azeite em Ribeirão Preto analisa a sua margem de lucro diária $B(x)$ (em centenas de reais) ao processar $x$ toneladas de azeitona através da função $B(x) = -x^3 + 8x^2 - 11x - 20$, com $x \ge 0$. O limiar de rentabilidade (ponto de equilíbrio onde não se ganha nem se perde dinheiro) é alcançado precisamente nas raízes de $B(x)$.

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, justifique por que razão os divisores negativos do termo independente não têm sentido econômico neste contexto. Se a capacidade técnica do lagar não ultrapassa as $6$ toneladas diárias, estime que possíveis candidatos inteiros positivos a raiz faz sentido avaliar.
2. b) Escolha de forma justificada o candidato que você considerar mais promissor e verifique por substituição ou pela regra de Ruffini se é raiz de $B(x)$.
3. c) Fatore o polinômio para encontrar todas as raízes com significado econômico e interprete com que volume diário de processamento o lagar opera no ponto de equilíbrio sem perdas.

Um programador de videogames em Valência está desenhando o relevo de uma tela de plataformas em duas dimensões, em que o nível do solo é dado pelo eixo horizontal $X$. O desenho requer um polinômio mônico $P(x)$ (com coeficiente principal $1$) que cumpra as seguintes condições:

1. O personagem cruza o nível do solo atravessando-o em $x = -1$ e em $x = 3$.

2. Em $x = 2$, o terreno toca a cota do solo ricocheteando para cima sem afundar (ou seja, $x = 2$ é uma raiz de multiplicidade $2$).

3. O polinômio tem o menor grau possível que permita essas características.

1. a) Escreva a forma fatorada de $P(x)$ e deduza qual é o seu grau.
2. b) Sem necessidade de multiplicar todos os fatores, calcule de forma fundamentada o termo independente de $P(x)$, explicando como ele se relaciona com as raízes dadas.
3. c) Se o desenhista decidir multiplicar todo o polinômio por $3$ para triplicar a altura das colinas, os pontos em que o terreno toca o solo mudariam? Justifique a sua resposta utilizando a definição de raiz.

Sabendo que um polinômio de terceiro grau mônico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem como raízes $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ e $x_3 = 4$, determine o valor numérico do seu termo independente $c$ e do seu coeficiente de grau dois $a$. Justifique sua resposta deduzindo-o a partir da forma fatorada, sem a necessidade de realizar toda a multiplicação dos três binômios.

Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma folha retangular de papelão de $40\text{ cm}$ por $30\text{ cm}$, recortando quadrados idênticos de lado $x$ nos quatro cantos e dobrando as abas para cima. Determine o polinômio $V(x)$ que define o volume da caixa e determine todas as suas raízes matemáticas (inclusive aquelas que não fazem sentido físico para a construção da caixa).

Encontre a expressão de um polinômio $Q(x)$ de grau 5 que satisfaça simultaneamente todas as seguintes condições:

• $x = \sqrt{2}$ e $x = -\sqrt{2}$ são raízes simples.

• $x = 3$ é uma raiz dupla.

• O gráfico do polinômio passa pela origem das coordenadas.

• O valor numérico do polinômio em $x = 1$ é $Q(1) = 8$.

Sabe-se que o polinômio $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ tem uma raiz em $x = 2$. Determine primeiro o valor do parâmetro $k$. Em seguida, verifique por meio da regra de Ruffini se $x = 2$ é uma raiz múltipla (dupla, tripla...) e encontre as demais raízes reais do polinômio.

Em um estudo de dinâmica de populações, o crescimento de uma colônia de bactérias é dado pelo modelo $C(t) = t^4 - 8t^3 + 22t^2 - 24t + 9$. Um biólogo afirma que a população se anula em exatamente dois instantes de tempo diferentes e, em ambos os casos, com multiplicidade par. Fatore o polinômio para verificar se o biólogo tem razão e indique os instantes nos quais $C(t) = 0$.

Demonstre analiticamente que se um polinômio $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ tem todos os seus coeficientes inteiros e tanto $P(0)$ como $P(1)$ resultam em números ímpares, então $P(x)$ não pode ter nenhuma raiz que seja um número inteiro. (Dica: raciocine sobre a paridade de $x$ quando ele é par e quando é ímpar).

O custo de produção de um componente tecnológico segue a função polinomial $C(x) = 8x^3 - 36x^2 + 46x - 15$. Sabendo que $x = \frac{3}{2}$ é uma das raízes exatas deste polinômio, determine as outras duas raízes resolvendo a equação resultante após a divisão.

Um designer 3D cria uma superfície curva cujo perfil de corte transversal é modelado pelo polinômio $P(x) = x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 5x - 6$. Determine todas as raízes deste perfil para saber em quais pontos exatos ele intersecta o eixo horizontal de referência.

Para averiguar quais dos números $x = -1$, $x = 2$ e $x = 5$ são raízes do polinômio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• O Sergio sugere aplicar diretamente a regra de Ruffini de forma sucessiva com cada um dos três números.

• A Marta propõe prestar atenção primeiro nos divisores do termo independente e, para os valores que não sejam descartados, calcular o valor numérico $P(a)$.

1. a) Compare criticamente ambos os métodos: que vantagens e desvantagens cada um apresenta, conforme se procure apenas verificar as raízes ou também fatorar o polinômio?
2. b) Aplicando a propriedade das raízes inteiras sobre o termo independente, justifique por que um dos três valores propostos pode ser descartado imediatamente, sem efetuar nenhuma operação aritmética longa.
3. c) Selecione e aplique a estratégia mais conveniente para verificar quais dos valores restantes são de fato raízes de $P(x)$ e obtenha o polinômio quociente resultante após extrair esses fatores, para encontrar as raízes que faltam.

A Dirección General de Tráfico (DGT) e o IDAE estudam o consumo de combustível de vans de distribuição em trechos interurbanos. Para um veículo típico, o desvio no consumo de combustível em relação ao nível ótimo de referência (em litros por $100\text{ km}$) é descrito pelo polinômio $C(v) = v^3 - 27v^2 + 236v - 660$, onde $v$ representa a velocidade de circulação em dezenas de quilômetros por hora (ou seja, $v = 6$ corresponde a $60\text{ km/h}$, $v = 10$ a $100\text{ km/h}$, etc.).

1. a) Sabendo que a $100\text{ km/h}$ ($v = 10$) o veículo atinge exatamente um dos seus regimes de consumo de referência ($C(10) = 0$), verifique, por meio do dispositivo de Briot-Ruffini, que $v = 10$ é raiz e decomponha $C(v)$ em produto de três fatores de primeiro grau.
2. b) Encontre todas as raízes reais do polinômio e interprete quais delas são aplicáveis à condução real de acordo com os limites legais de velocidade em rodovias e vias expressas ($60\text{ km/h}$ de velocidade mínima e $120\text{ km/h}$ de velocidade máxima).
3. c) Sem calcular o valor numérico desenvolvido de $C(8)$, use o sinal individual de cada um dos três fatores obtidos no item a) para justificar se, ao circular a $80\text{ km/h}$ ($v = 8$), o consumo do veículo fica acima ou abaixo do nível ótimo de referência.