Exercícios: Frações algébricas

Simplifique a fração algébrica $\frac{12x^4y}{4x^2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{3x + 6}{3}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + 2x}{x^2}$.

Verifique se as frações algébricas $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ e $\frac{1}{x + 1}$ são equivalentes. Justifique sua resposta.

Calcule e simplifique $\frac{2x}{3} \cdot \frac{6}{x^2}$.

Calcule e simplifique $\frac{x}{x + 1} : \frac{x^2}{x + 1}$.

Uma aluna afirma que $\frac{x + 5}{5} = x + 1$, porque "o $5$ de cima e o de baixo se cancelam". Avalie se a sua afirmação é verdadeira ou falsa verificando-a com um valor concreto de $x$, explique o erro e escreva a simplificação correta.

O Marcos, estudante do 4.º ano do ESO, deve simplificar a fração algébrica $\dfrac{2x + 6}{x^2 - 9}$ para um exercício de aula. No seu caderno faz o seguinte:

«Corto o $+6$ com o $-9$ dividindo ambos por $3$, e simplifico o $x$ do numerador com o $x^2$ do denominador. Fica $\dfrac{2 + 2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$. Portanto, o único valor proibido da expressão é $x = 3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu: um no procedimento algébrico de simplificar e outro relativo ao domínio da fração.
2. b) Realiza a simplificação de forma matematicamente correta e determina todos os valores que devem ser excluídos do domínio original.

Um grupo de estudantes de uma escola de Ensino Médio de Belo Horizonte organiza uma viagem cultural de ônibus para visitar o Museu Inhotim, em Brumadinho. A empresa de transporte cobra uma tarifa fixa de $360$ reais pelo aluguel do veículo, e a entrada no museu custa $4$ reais por estudante.

1. a) Escreva a fração algébrica $C(x)$ que representa o custo médio por estudante em função do número $x$ de participantes na viagem.
2. b) Faz sentido calcular $C(0)$? Justifique sua resposta do ponto de vista da álgebra e do ponto de vista prático. Se o ônibus dispõe de $55$ lugares e a escola exige um mínimo de $15$ participantes para autorizar a saída, indique qual é o domínio realista desta expressão.
3. c) Decomponha a fração na soma de uma quantidade fixa mais outra que depende de $x$. A partir dessa decomposição, deduza o que acontece com o custo médio por estudante se o número de participantes $x$ for muito grande.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Simplifique a fração algébrica $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2}$ fatorando previamente o numerador e o denominador.

Efetue e simplifique $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$.

Efetue e simplifique $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1}$.

Efetue e simplifique $\frac{x^2 - 4}{x + 3} : \frac{x - 2}{x^2 + 3x}$.

Uma torneira leva $x$ minutos para encher um reservatório e outra torneira leva $5$ minutos a menos para encher o mesmo reservatório. a) Expresse, em função de $x$, a fração do reservatório que as duas torneiras enchem juntas em um minuto, simplificando a expressão. b) Que fração do reservatório elas enchem em um minuto se a primeira torneira leva $20$ minutos?

Construa uma fração algébrica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Os seus únicos valores proibidos (aqueles para os quais a fração original não existe) são exatamente $x = 3$ e $x = -2$.

2. Ao simplificá-la cancelando os fatores comuns, obtém-se a fração irredutível $\dfrac{5}{x + 2}$.

3. O numerador original $P(x)$ é um polinômio de grau $1$ cujo termo independente é $-15$.

1. a) Escreva os polinômios $P(x)$ e $Q(x)$ na sua forma desenvolvida (como somas e subtrações de monômios, não fatorados).
2. b) Justifique de forma fundamentada se a fração que você construiu $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ e a fração reduzida $\dfrac{5}{x + 2}$ são exatamente equivalentes para todo valor real de $x$, indicando o que acontece em particular se avaliarmos ambas em $x = 3$.

Um trem urbano da Companhia Paulista de Trens Metropolitanos realiza um trajeto de ida e volta de $60\text{ km}$ por sentido ($120\text{ km}$ no total). Na ida circula a uma velocidade média constante de $x\text{ km/h}$. Na viagem de volta, devido a obras de manutenção na infraestrutura, de acordo com dados da concessionária, deve reduzir a sua velocidade média em $15\text{ km/h}$, circulando a $(x - 15)\text{ km/h}$.

1. a) Sabendo que o tempo se calcula dividindo a distância pela velocidade, escreva a soma de frações algébricas que modela o tempo total gasto (em horas) e some-as para obter uma única fração algébrica reduzida $T(x)$.
2. b) Estime e verifique: imagine que habitualmente o trem circula a $x = 75\text{ km/h}$.

• Antes de substituir na sua fórmula reduzida, faça uma estimativa fundamentada: se na ida demora $60/75 = 0,8\text{ horas}$ ($48\text{ minutos}$) e na volta vai a $60\text{ km/h}$, o tempo total de ida e volta será maior, menor ou igual a $1,7\text{ horas}$? Justifique por que não se pode calcular simplesmente o tempo supondo uma velocidade média global de $(75 + 60)/2 = 67,5\text{ km/h}$.

• Substitua $x = 75$ na sua fração algébrica $T(x)$, obtenha o resultado exato em horas e minutos, e verifique se a sua estimativa prévia foi acertada.

Efetue e simplifique $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{2}{x^2 + 2x}$.

Simplifique a fração complexa $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$.

Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos polinômios $x^2 - 9$ e $x^2 + 6x + 9$.

Resolva a equação $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 4}$. Antes de começar, indique quais valores $x$ não pode assumir e explique por que é necessário descartá-los.

Um ciclista percorre $60$ km a uma velocidade média de $v$ km/h e retorna pelo mesmo caminho a $v + 10$ km/h. a) Expresse o tempo total da viagem em função de $v$, como uma única fração algébrica simplificada. b) Se a viagem completa durou $5$ horas, monte a equação que permitiria determinar $v$ (não é necessário resolvê-la) e indique de que tipo ela é.

1. a) Verifique que $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. b) Use essa identidade para calcular, sem fazer todas as somas uma a uma, o valor de $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$. c) Quanto vale a soma análoga com $n$ parcelas?

Um aluno simplifica assim: "$\frac{x^2 + 4}{x + 2} = x + 2$, porque o numerador é o quadrado do denominador". Explique o erro conceitual cometido (a que é igual na realidade $(x + 2)^2$?), verifique-o substituindo $x = 3$ e raciocine se a fração pode ser simplificada de alguma forma.

Uma loja de frutas secas mistura $x$ kg de nozes a $\text{R\$}\ 9$ o quilo com $y$ kg de uvas-passas a $\text{R\$}\ 5$ o quilo. a) Expresse o preço de um quilograma de mistura em função de $x$ e $y$. b) Quanto vale esse preço se for misturado o dobro de nozes em relação às uvas-passas? c) Que relação deve haver entre $x$ e $y$ para que o quilograma de mistura custe exatamente $\text{R\$}\ 7$?

Para calcular e simplificar a seguinte operação combinada com frações algébricas:

$E(x) = \left( \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} \right) \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$

dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• Método da Júlia: Opera primeiro o interior dos parênteses procurando o denominador comum, reduz o numerador obtido e, por último, realiza o produto fatorando a segunda fração.

• Método do Bruno: Aplica a propriedade distributiva multiplicando diretamente a fração $\dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$ por cada um dos dois termos dos parênteses, simplificando cada multiplicação antes de subtrair.

1. a) Resolva a operação seguindo passo a passo o método da Júlia.
2. b) Resolva a operação seguindo passo a passo o método do Bruno.
3. c) Compare ambos os caminhos: analise qual dos dois evita manipular polinômios de grau superior e minimiza o risco de cometer erros com os sinais. Justifique qual você considera mais vantajoso.
4. d) Embora o resultado final simplificado seja uma constante numérica, indique o domínio de definição da expressão inicial e explique por que essas restrições devem ser mantidas.

Segundo modelos de gestão ambiental utilizados na Espanha, o custo municipal anual $C_1$ (em milhares de reais) para coletar e processar $p\,\%$ dos resíduos plásticos de uma região estima-se por meio da fração algébrica:

$C_1(p) = \dfrac{120p}{100 - p}$, com $0 \le p < 100$.

O município avalia modernizar as instalações com um sistema semiautomatizado financiado por fundos europeus, cujo custo anual estimado seria:

$C_2(p) = 30 + \dfrac{60p}{100 - p}$ (milhares de reais).

1. a) Expresse $C_2(p)$ como uma única fração algébrica reduzida com denominador comum.
2. b) Modele a função de economia $A(p) = C_1(p) - C_2(p)$ como uma única fração algébrica irredutível.
3. c) Analise o domínio destas expressões no contexto real: por que não é possível avaliar nenhuma das duas fórmulas em $p = 100$? Que significado físico tem o fato de o denominador tender a $0$ à medida que a porcentagem de reciclagem $p$ se aproxima de $100\,\%$?
4. d) Estude o sinal do numerador de $A(p)$ para determinar a partir de que porcentagem de reciclagem $p$ a estação automatizada se torna mais econômica em comparação com a tradicional. Se a Lei federal de Resíduos fixa como meta regional atingir pelo menos $60\,\%$ de reciclagem, fundamente qual opção tecnológica o município deve escolher.

Desafio do tema. Otimize a embalagem de um envio postal sustentável.

1. Coleta de dados: Meça um objeto cotidiano de casa e consulte no site dos Correios as tarifas e medidas padrão permitidas. Modele uma caixa com base quadrada de lado $(x+3)\text{ cm}$ e altura $x\text{ cm}$. Aplique produtos notáveis para expressar a área da base.

2. Modelagem: Obtenha, mediante operações com monômios e polinômios, o volume $V(x)$ e a área de superfície total de papelão $S(x)$. Estabeleça a fração algébrica $\frac{S(x)}{V(x)}$ (gasto de material por unidade de capacidade) e analise-a.

3. Cálculo e combinatória: Com o GeoGebra ou uma planilha, determine o volume para $x=10\text{ cm}$ aplicando o teorema do resto (avaliando a divisão por $x-10$). Se você for combinar $4$ itens distintos dentro da embalagem, calcule quantas disposições lineares são possíveis por meio de $4!$. Determine as raízes de $V(x)-1500=0$ para conseguir uma capacidade exata de $1,5\text{ litros}$.

4. Proposta: Redija um relatório breve fundamentando as dimensões ótimas para minimizar custos.

Será avaliado:

• Correção ao operar polinômios, produtos notáveis e frações algébricas.

• Aplicação adequada do teorema do resto, das raízes e do fatorial.

• Manuseio de dados reais e de software digital (GeoGebra ou planilha) no relatório final.