Exercícios: Aproximações

Arredonde o número $\pi \approx 3,14159265...$ para os décimos, os centésimos e os milésimos.

Arredonde o número irracional $\sqrt{7} \approx 2,645751...$ às centésimas e calcule o erro absoluto cometido com essa aproximação.

Ao medir o comprimento de uma mesa de $2,5 \text{ m}$ exatos, uma fita métrica marcou um valor de $2,46 \text{ m}$. Calcule o erro absoluto e o erro relativo desta medição.

Indique o número de algarismos significativos das seguintes medições experimentais: $0,0045 \text{ kg}$, $30,020 \text{ s}$, $1500 \text{ m}$ (supondo que seja exata até as unidades) e $2,0 \cdot 10^5 \text{ A}$.

Expresse o número $45678,9$ com três algarismos significativos, utilizando a notação científica.

Uma balança de banheiro marca $54,2 \text{ kg}$ ao pesar uma pessoa. Se sabemos, por meio de uma balança de precisão, que o valor exato é $54,25 \text{ kg}$, determine o erro relativo expresso em porcentagem.

Ao arredondar um número desconhecido para os centésimos, obteve-se $4,38$. Indique o intervalo em que se encontra o valor exato do número e determine o limite do erro absoluto.

Aproxime por excesso e por falta às milésimas a fração $\frac{17}{7}$.

O Marcos está analisando os resultados de uma análise da qualidade da água da torneira do seu município e lê que a concentração de nitratos é de $0{,}040\text{ mg/l}$. Ao preparar uma apresentação para a aula, o Marcos afirma: «Este valor tem quatro algarismos significativos porque há quatro dígitos no total e, como foi medido até os milésimos, o limite de erro absoluto é de $0{,}005\text{ mg/l}$». Localize os dois erros cometidos pelo Marcos, explique detalhadamente por que o raciocínio dele está errado em cada caso e escreva os valores corrigidos tanto para o número de algarismos significativos como para o limite de erro absoluto real da medição.

Segundo os dados do Padrón Continuo do Instituto Nacional de Estadística (INE), a cidade de Teruel conta com uma população oficial de $36\,267$ habitantes. Nos meios de comunicação observam-se duas aproximações distintas: um jornal generalista intitula «Teruel ronda os $36\,000$ habitantes», enquanto um relatório técnico municipal prefere utilizar o valor de $36\,300$ habitantes.

1. a) Identifique a que ordem de grandeza (dezenas, centenas ou milhares) cada uma das duas fontes arredondou.
2. b) Escreva o valor do relatório técnico ($36\,300$) em notação científica, de forma a expressar com clareza que tem três algarismos significativos.
3. c) Calcule o erro absoluto cometido por cada publicação em relação ao dado oficial do INE e determine qual das duas aproximações garante um limite de erro absoluto menor do que $50$ habitantes.

Em um supermercado, o preço exato pelo peso de um pedaço de queijo é $\text{R\$}\ 14,53$ e no caixa cobram-se $\text{R\$}\ 14,50$. Por outro lado, um pão custa exatamente $\text{R\$}\ 0,83$ e cobram-se $\text{R\$}\ 0,80$. Calcule o erro relativo em ambas as compras e indique em qual delas o erro afeta mais o consumidor em proporção ao que gasta.

O diâmetro de um glóbulo vermelho humano é de aproximadamente $7,8 \cdot 10^{-6} \text{ m}$. O software de um microscópio eletrônico aproxima esta medição e mostra na tela $0,000008 \text{ m}$. Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometido pelo software. Quantos algarismos significativos tem o valor mostrado na tela?

Para construir uma moldura quadrada perfeita, é necessário que a área interior seja exatamente de $12 \text{ m}^2$. O carpinteiro calcula o lado necessário e o arredonda às centésimas para poder cortar a ripa de madeira. Qual será o erro absoluto no perímetro total da moldura construída em relação ao perímetro ideal?

A distância por estrada entre duas cidades é publicada como $340 \text{ km}$, indicando-se que tem dois algarismos significativos. Determine o intervalo de valores em que se encontra a distância real e calcule o limite do erro absoluto e o limite do erro relativo máximo possível.

Um arquivo de texto tem um tamanho exato de $1456783 \text{ bytes}$. O sistema operacional mostra o seu tamanho na pasta como $1,4 \text{ MB}$ (considerando para este exercício que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos pela aproximação do sistema operacional.

Numa competição de atletismo escolar, o tempo exato de um corredor ao cruzar a linha de chegada é $10,458 \text{ s}$. O cronômetro do juiz A funciona truncando nos centésimos, enquanto o cronômetro do juiz B arredonda nos centésimos. Calcule o erro absoluto de cada cronômetro e explique qual dos dois juízes dá um tempo mais próximo do real.

A constante de gravitação universal tem um valor aproximado de $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Arredonde esse valor para que tenha apenas três algarismos significativos e encontre o limite do erro relativo dessa nova aproximação.

Um termômetro digital de farmácia marca $37,5^\circ\text{C}$. O manual do fabricante garante que o erro relativo máximo do sensor é de $0,4\%$. Calcule o intervalo de temperaturas em que se encontra com segurança a temperatura real do paciente.

Numa etapa de contrarrelógio da La Vuelta Ciclista a España de $25\text{ km}$, o cronômetro oficial da organização registra para a vencedora um tempo de $34\text{ min e } 18{,}4\text{ s}$, valor arredondado às décimas de segundo.

1. a) Expresse o tempo oficial unicamente em segundos. Qual é o limite de erro absoluto associado a essa medição de tempo? Escreva o intervalo $[t_{\min}, t_{\max}]$ em segundos no qual se encontra com certeza o tempo real da ciclista.
2. b) Durante a transmissão televisiva, um comentarista arredonda o tempo total para minutos inteiros dizendo que a corredora demorou «$34\text{ minutos}$». Calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometidos pelo comentarista ao usar essa aproximação em relação ao dado oficial em segundos. Avalie se a aproximação dele é razoável para o público da televisão.

Vocês vão fazer compras em um supermercado para preparar uma refeição em família com um orçamento apertado. Na sua lista constam três produtos:

• $1{,}8\text{ kg}$ de frango a $6{,}95\text{ \text{R\$}\ /kg}$.

• $0{,}85\text{ kg}$ de queijo a $11{,}20\text{ \text{R\$}\ /kg}$.

• $2{,}1\text{ kg}$ de maçãs a $1{,}89\text{ \text{R\$}\ /kg}$.

Na carteira você leva apenas uma nota de $\text{R\$}\ 30$.

1. a) Antes de efetuar as operações de forma exata, faça uma estimativa rápida do valor total arredondando cada quantidade em quilogramas para a unidade inteira mais próxima e cada preço unitário para o reais inteiro mais próximo. A partir dessa estimativa mental, determine se parece que você terá dinheiro suficiente para pagar.
2. b) Realize agora o cálculo exato do custo total somando os preços de cada artigo arredondados ao cêntimo de reais (como faz o leitor do caixa).
3. c) Calcule o erro absoluto cometido entre a sua estimativa inicial e o preço final do caixa. À luz do resultado, reflita: a sua estimativa foi por excesso ou por falta? Por que motivo, ao fazer compras com orçamento fixo, costuma ser conveniente estimar deliberadamente por excesso?

Na construção de uma ponte, um engenheiro mede as dimensões da seção transversal de uma viga retangular obtendo $L = 15,4 \text{ m}$ e $A = 0,85 \text{ m}$. Ambas as medições foram arredondadas na última casa decimal que mostram. Determine o intervalo em que se encontra a área real da seção da viga. Qual é o limite do erro absoluto que se assume ao calcular a área multiplicando diretamente os valores aproximados?

Pretende-se cercar uma praça circular. O topógrafo mede o raio e obtém $R = 45,2 \text{ m}$ (valor arredondado às décimas). Calcule o perímetro nominal da praça usando $\pi \approx 3,1416$ e encontre o erro absoluto máximo (cota de erro) que se pode cometer no cálculo desse perímetro devido à incerteza da medição do raio.

A densidade de um material é calculada mediante a fórmula $d = \frac{m}{V}$. Se a massa é aproximada por $m = 45 \text{ kg}$ com uma cota de erro absoluto de $0,5 \text{ kg}$, e o volume é aproximado por $V = 2,5 \text{ m}^3$ com uma cota de erro absoluto de $0,1 \text{ m}^3$, calcule os valores máximo e mínimo possíveis para a densidade exata do material.

Em um laboratório, um instrumento de medição A tem um erro absoluto constante de $0,05 \text{ cm}$ independentemente do que meça. Um instrumento B mede com um erro relativo constante de $0,2\%$. Determine algebricamente o intervalo de comprimentos exatos para os quais o instrumento A é mais preciso (comete menor erro absoluto) do que o instrumento B.

Demonstre fundamentadamente que, se um número real $x \in [10, 100]$ for arredondado ao número inteiro mais próximo para obter uma aproximação $x'$, o erro relativo máximo possível ocorre quando $x = 10,5$. Qual é o valor desse erro relativo máximo expresso em porcentagem?

A velocidade de um projétil é medida como $v = 345 \text{ m/s}$ (com três algarismos significativos). Sua massa é estimada em $m = 12,4 \text{ kg}$ (também com três algarismos significativos). Sabendo que a energia cinética é calculada como $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, calcule o valor aproximado da energia, determine o número adequado de algarismos significativos para expressar o resultado final e estime a cota de erro relativo da energia cinética.

Um computador armazena os números reais utilizando um padrão de ponto flutuante que trunca a mantissa para guardar o equivalente a $7$ algarismos decimais significativos. Se o computador deve realizar e armazenar o resultado da operação $10^8 + 1$, que erro absoluto e que erro relativo o sistema comete ao guardar o número final?

Um investidor compra um lote de ações por um valor exato de $\text{R\$}\ 15000$. O sistema da corretora arredonda as porcentagens diárias de lucro para um número inteiro antes de aplicá-las. Se o lucro real diário foi exatamente de $1,49\%$ durante $5$ dias consecutivos, calcule a diferença em reais entre o saldo final calculado com a porcentagem exata e o saldo final calculado com a porcentagem arredondada. Qual é o erro relativo final sobre o saldo total?

Uma estação meteorológica automática do INMET situada num desfiladeiro de montanha registra a velocidade do vento por meio de um sensor digital. A tela informativa mostra que a rajada máxima registrada foi de $120\text{ km/h}$, especificando que se trata de uma aproximação obtida ao arredondar a medição para dois algarismos significativos.

1. a) Determine o intervalo numérico $[v_{\min}, v_{\max})$ no qual deve estar a velocidade real do vento para que, ao arredondá-la para dois algarismos significativos, resulte exatamente $120\text{ km/h}$. Qual é o limite de erro absoluto assumido por qualquer usuário que consulte esse dado?
2. b) Ao verificar o registro interno do anemômetro, observa-se que o aparelho grava os dados com uma casa decimal. Sabe-se que o erro absoluto cometido em relação a $120\text{ km/h}$ foi estritamente menor do que $2\text{ km/h}$ e que, ao arredondar essa medição original para unidades inteiras, o resultado terminava no algarismo $9$. Reconstrua de forma fundamentada o intervalo de valores no qual a leitura original do sensor teve de estar e proponha três valores numéricos concretos com uma casa decimal que verifiquem todas as condições.

Uma associação de irrigantes de uma região agrícola do Vale do São Francisco precisa emitir a cobrança do consumo trimestral de água de uma propriedade rural. O hidrômetro geral registrou um consumo exato de $12\,640\text{ m}^3$ e o preço fixado pela associação de irrigantes é de $0{,}276\text{ \text{R\$}\ /m}^3$. Para emitir a fatura, debatem-se três métodos:

• Método 1: Arredondar previamente tanto o volume quanto o preço a 2 algarismos significativos e multiplicar depois ambos os valores arredondados.

• Método 2: Truncar o volume aos milhares ($12\,000\text{ m}^3$) e multiplicar pelo preço exato, deixando a diferença de metros cúbicos para um acerto anual.

• Método 3: Multiplicar o volume exato pelo preço unitário exato e arredondar unicamente o valor final resultante ao centavo de reais mais próximo.

1. a) Calcule a quantia a pagar que resultaria ao aplicar cada um dos três métodos.
2. b) Tomando o resultado do Método 3 como referência exata de cobrança, calcule o erro absoluto e o erro relativo percentual cometidos com o Método 1 e com o Método 2.
3. c) Compare os métodos e argumente: por que razão, do ponto de vista matemático e de propagação de erros, não é aconselhável o Método 1? Que consequências econômicas sofreriam os irrigantes ou a associação se se generalizasse o uso do Método 1 em relação ao Método 3?