Exercícios: Equação de uma reta na forma ponto-coeficiente angular

Escreva a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular que passa pelo ponto $A(3, -2)$ e tem coeficiente angular $m = 4$.

Dada a reta de equação $y - 5 = -2(x + 1)$, indique um ponto exato pelo qual ela passa e o valor do seu coeficiente angular. Em seguida, desenvolva a expressão para escrevê-la na forma explícita.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $P(-1, 4)$ e $Q(2, 10)$ e escreva sua equação na forma ponto-coeficiente angular utilizando as coordenadas do ponto $P$.

Observe a reta representada no plano cartesiano. Identifique seu coeficiente angular e um ponto exato de coordenadas inteiras pelo qual ela passe, e escreva sua equação na forma ponto-coeficiente angular.

Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta paralela a $y = 3x - 7$ que passa pelo ponto $B(-4, 1)$.

Uma reta tem como equação na forma ponto-coeficiente angular $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Verifique matematicamente se o ponto $C(8, -2)$ pertence a essa reta.

Determine a equação na forma ponto-coeficiente angular da bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, tomando como ponto de referência a origem dos eixos coordenados.

O nível de água de uma represa aumenta de forma constante à razão de $15$ cm por dia. Se no dia $10$ de medição o nível era de $420$ cm, escreva a equação ponto-coeficiente angular que relaciona o nível da água $y$ com o número de dias decorridos $x$.

Para calcular a equação de uma rampa acessível que começa no ponto $A(-3, 1)$ com uma inclinação descendente de $5\,\%$ ($m = -0,05$), o Davi escreve no seu caderno:

1. a) Identifique os dois erros conceituais que o Davi cometeu ao substituir as coordenadas do ponto na fórmula ponto-coeficiente angular $y - y_1 = m(x - x_1)$.
2. b) Escreva a equação correta na forma ponto-coeficiente angular.
3. c) Transforme a equação para a forma reduzida ($y = mx + n$) e verifique analiticamente que as coordenadas do ponto de partida $A(-3, 1)$ satisfazem a igualdade.

No serviço de táxi urbano de São Paulo (tarifa diurna de dias úteis), o taxímetro aplica um custo fixo por quilômetro percorrido de $m = 1,10$ reais/km. Ao terminar um trajeto de $9$ km desde a Avenida Paulista até um parque industrial, o taxímetro marca um valor total de $13,05$ reais.

1. a) Identifique as variáveis independente ($x$) e dependente ($y$) indicando suas unidades. Expresse os dados da viagem sob a forma de um ponto conhecido $P(x_1, y_1)$ e o coeficiente angular $m$.
2. b) Escreva a equação que modela o custo total do trajeto na forma ponto-coeficiente angular.
3. c) Transforme a equação para a sua forma reduzida ($y = mx + n$) e interprete o significado econômico real do coeficiente linear $n$ no serviço de táxi.

Um técnico de climatização anota que, após $2$ horas de ligar um sistema industrial, a temperatura da sala é de $18^\circ$C, e após $5$ horas é de $10,5^\circ$C. Supondo que a diminuição da temperatura siga um modelo linear, escreva a equação ponto-coeficiente angular que determina a temperatura $y$ em função do tempo $x$.

Encontre a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que é perpendicular a $y = -\frac{1}{3}x + 5$ e que passa pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 1$ e $y = x + 3$.

Uma empresa de aluguel de furgões cobra uma quantia fixa mais um preço constante por quilômetro percorrido. Se por realizar um trajeto de $50$ km cobram $65$ reais e por um de $120$ km cobram $107$ reais, determine o coeficiente angular da função custo e escreva sua equação na forma ponto-coeficiente angular.

Dada a reta $y - k = 3(x + 2)$, encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta passe exatamente pelo ponto $A(1, 4)$.

Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular da mediatriz do segmento de extremidades $A(-2, 5)$ e $B(4, 1)$. Lembre-se de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Um ciclista mantém uma velocidade constante durante seu treinamento. No minuto $15$ do seu percurso, ele se encontra no marco do quilômetro $6$ da estrada e, no minuto $40$, atinge o quilômetro $16$. Expresse a posição do ciclista na forma ponto-coeficiente angular e calcule em que marco quilométrico ele se encontrará no minuto $60$.

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta que corta o eixo das abscissas em $x = -3$ e o eixo das ordenadas em $y = 6$. Expresse o resultado utilizando exclusivamente o ponto de interseção com o eixo das abscissas como referência.

Determine a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta paralela a $2x - 5y + 10 = 0$ que passa pelo ponto médio do segmento de extremidades $P(-1, -4)$ e $Q(7, 2)$.

Num dia ensolarado de primavera em Salvador, a estação meteorológica registra às 14:00 h uma temperatura de $22,4^\circ$C a uma altitude de $680$ m. De acordo com o gradiente térmico vertical habitual na troposfera, a temperatura diminui de forma linear a um ritmo constante de $0,65^\circ$C para cada $100$ m de altitude ganha (ou seja, com um coeficiente angular $m = -0,0065^\circ$C/m). Um grupo de praticantes de caminhada sobe até o refúgio de Poqueira, situado a $2500$ m de altitude.

1. a) Estime mentalmente antes de calcular: sabendo que a subida é de cerca de $1800$ m e a temperatura diminui cerca de $0,65^\circ$C a cada $100$ m, você espera que a temperatura no refúgio fique perto de $20^\circ$C, de $10^\circ$C ou de $0^\circ$C? Justifique brevemente a sua estimativa.
2. b) Considere o ponto de referência $A(680; 22,4)$ e escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular que expressa a temperatura $y$ (em $^\circ$C) em função da altitude $x$ (em metros).
3. c) Calcule, por meio da equação, a temperatura exata a $2500$ m e compare o resultado com a sua estimativa inicial para avaliar se ela era razoável.

No mapa de ordenamento de uma zona logística, uma via de serviço retilínea deve ser perpendicular à estrada principal que une os pontos $A(1, 2)$ e $B(5, 4)$. Além disso, a via auxiliar deve cumprir duas condições técnicas adicionais: deve passar por um ponto de acesso $P(3, y_1)$ e deve interseccionar o eixo das abscissas (eixo $X$, onde $y = 0$) em um ponto com coordenada horizontal $x \ge 4$.

1. a) Determine o coeficiente angular $m_{AB}$ da estrada principal e calcule o coeficiente angular exato $m$ que a via de serviço perpendicular deve ter.
2. b) Escreva a equação da via de serviço na forma ponto-coeficiente angular, mantendo a ordenada $y_1$ do ponto $P$ como incógnita.
3. c) Deduza algebricamente que valores a ordenada $y_1$ pode tomar para que o ponto de interseção com o eixo $X$ cumpra a condição $x \ge 4$. Escolha um valor concreto de $y_1$ que sirva e escreva a equação definitiva da via.

Uma rampa de acesso deve ter um coeficiente angular exato de $8\%$ para cumprir as normas de acessibilidade arquitetônica. Se a rampa começa ao nível do solo no ponto $A(0, 0)$ e deve vencer um desnível até chegar a uma plataforma situada no ponto $B(x_0; 1,2)$ (com coordenadas medidas em metros), escreva a equação da reta da rampa na forma ponto-coeficiente angular e determine a coordenada horizontal $x_0$.

No triângulo de vértices $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$, encontre a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que contém a altura correspondente ao vértice $C$.

Dadas as retas $r_1: y - 2 = a(x + 1)$ e $r_2: y - b = 3(x - 2)$, encontre analiticamente os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que ambas as expressões representem retas coincidentes.

Um modelo econômico linear de oferta indica que a um preço de $10$ reais são ofertadas $1000$ unidades de um produto e, para cada reais de aumento no preço, a oferta aumenta em $150$ unidades. Por outro lado, a demanda do mesmo produto é dada pela equação ponto-coeficiente angular $y - 1200 = -100(x - 15)$, onde $y$ representa a quantidade de unidades e $x$ é o preço em reais. Escreva a equação ponto-coeficiente angular da oferta e encontre o ponto de equilíbrio do mercado (preço e quantidade).

Um raio de luz laser parte do ponto $P(-4, 5)$, incide sobre um espelho plano perfeitamente alinhado com o eixo das abscissas e se reflete passando pelo ponto $Q(6, 3)$. Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que descreve o raio refletido.

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $(a, 0)$ e $(0, b)$ (com $a \neq 0$ e $b \neq 0$). A seguir, transforme-a algebricamente passo a passo até obter a equação segmentária da reta $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Determine a equação na forma ponto-coeficiente angular da reta que faz um ângulo de $135^\circ$ com o semieixo positivo das abscissas e que, juntamente com os eixos coordenados, determina um triângulo de área $8\text{ u}^2$ situado inteiramente no primeiro quadrante.

Um reservatório industrial contém inicialmente $500$ litros de um composto químico líquido. Abre-se uma válvula que esvazia o reservatório a uma velocidade constante. Sabendo que a equação que modela o volume $V$ (em litros) em função do tempo $t$ (em minutos) pode ser expressa na forma ponto-coeficiente angular como $V - 200 = m(t - 15)$, calcule o coeficiente angular $m$ e determine quanto tempo levará para o reservatório esvaziar por completo.

Em uma rede de abastecimento de água, projeta-se instalar uma tubulação secundária perpendicular à adutora geral que passa pelos pontos $A(1, 3)$ e $B(7, 6)$. A nova tubulação deve partir obrigatoriamente de uma caixa de inspeção situada em $C(3, 8)$. Dois engenheiros avaliam dois métodos para obter a sua equação:

• Método 1 (Equação ponto-coeficiente angular): Calcular o coeficiente angular $m_1$ da adutora geral, deduzir o coeficiente angular perpendicular $m_2 = -1/m_1$ e substituir diretamente as coordenadas da caixa de inspeção $C(3, 8)$ na fórmula $y - y_1 = m_2(x - x_1)$.

• Método 2 (Ajuste do coeficiente linear): Calcular $m_2$, escrever a forma reduzida teórica $y = m_2 x + n$, substituir $x = 3$ e $y = 8$ para formular e resolver uma equação do primeiro grau em $n$, e reconstruir a equação final.

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo e verifique que ambos conduzem exatamente à mesma equação na forma reduzida.
2. b) Se durante a obra a caixa de inspeção for deslocada $2$ metros para o norte (passando a estar em $C'(3, 10)$) mas mantendo o mesmo coeficiente angular perpendicular, justifique qual dos dois métodos permite atualizar o modelo matemático de forma mais ágil e direta.
3. c) Em uma vistoria de rotina, é localizada uma ligação clandestina no ponto $D(5, 4)$. Justifique analiticamente se a referida ligação está conectada à tubulação secundária calculada ou não.

Na linha ferroviária de alta velocidade Madrid-Valencia, um trem AVE circula em velocidade de cruzeiro constante em plena via. O sistema de telemetria registra que às 12:15 h ($x_1 = 15$ minutos decorridos desde as 12:00 h) a composição passa pelo quilômetro $65$ da linha ($y_1 = 65$ km), e às 12:45 h ($x_2 = 45$ minutos) cruza o ponto quilométrico $185$ ($y_2 = 185$ km).

1. a) Escreva a equação na forma ponto-coeficiente angular que modela a posição quilométrica $y$ em função do tempo decorrido $x$ (em minutos a partir das 12:00 h), tomando como referência o primeiro registro de telemetria.
2. b) Interprete o significado físico do coeficiente angular $m$ do modelo: calcule o seu valor em km/min, converta-o para km/h multiplicando por $60$ e avalie se é uma velocidade coerente com os limites comerciais do AVE na Espanha (máximo legal de $300$ km/h).
3. c) Transforme a equação para a forma reduzida ($y = mx + n$) e calcule o valor de $y$ para $x = 0$ (às 12:00 h). Explique por que razão este valor matemático não descreve a posição real do trem na estação de origem e o que isso significa em relação ao domínio de validade de um modelo linear.
4. d) Sabendo que a estação terminal de Valencia Joaquín Sorolla se encontra no ponto quilométrico $385$, calcule a que horas a composição chegará se mantiver ininterruptamente esta velocidade de cruzeiro até a aproximação final.

Desafio do tema. Quanto você paga realmente pela eletricidade? Analise a fatura da sua família.

1. Coleta de dados: Pegue uma fatura de eletricidade real da sua casa (ou consulte a tarifa de potência e o preço médio do $kWh$ no site da ANEEL). Identifique o custo fixo em reais ($n$) e o preço variável por cada $kWh$ consumido ($m$, o coeficiente angular). Justifique se se trata de uma função afim, linear ou constante.

2. Modelagem ponto-coeficiente angular: Considere o consumo real do mês para fixar um ponto de trabalho $P(x_0, y_0)$, onde $x_0$ são os $kWh$ gastos e $y_0$ o custo total resultante. Escreva a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Use-a para prever a fatura se na sua casa conseguirem reduzir o consumo em $20\,\%$.

3. Representação e relatório: Insira a função no GeoGebra ou em uma planilha para traçar o gráfico. Elabore um relatório breve (uma página) explicando o significado real do coeficiente angular e propondo duas medidas fundamentadas para diminuir o valor da fatura.

Será valorizado:

• Identificação correta dos dados reais ($m$ e $n$) e classificação do tipo de função.

• Aplicação adequada da forma ponto-coeficiente angular e correção nos cálculos.

• Destreza na representação gráfica digital (GeoGebra ou planilha) e uso de unidades ( reais e $kWh$).

• Clareza e realismo das conclusões e propostas do relatório.