Exercícios: Funções lineares. Coeficiente angular

Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(1, 4)$ e $B(3, 10)$.

Dada a função linear $y = -3x + 5$, indique qual é o seu coeficiente angular e o seu coeficiente linear. Trata-se de uma função crescente ou decrescente?

Observe o gráfico a seguir e determine o coeficiente angular da reta representada.

Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular $m = \frac{1}{2}$ e corta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -4)$.

Uma relação linear entre duas variáveis é dada pela seguinte tabela de valores:

Calcule o coeficiente angular dessa função.

Uma torneira enche um reservatório a uma taxa de $3$ litros por minuto. Se inicialmente havia $10$ litros no reservatório, qual é o coeficiente angular da função que relaciona o volume de água com o tempo decorrido?

Dadas as seguintes retas: $y = 2x$, $y = 0,5x$, $y = -x$, $y = -4x$. Ordene-as de menor a maior inclinação (valor absoluto do seu coeficiente angular) e classifique-as em crescentes e decrescentes.

A reta que passa pelos pontos $P(2, 5)$ e $Q(4, y)$ tem um coeficiente angular $m = 3$. Calcule o valor da coordenada desconhecida $y$.

O Marcos precisa calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(2, 3)$ e $B(6, 11)$. Na sua prova ele escreve o seguinte procedimento:

Portanto, conclui que, para cada unidade que a reta sobe verticalmente, avança $0,5$ unidades na horizontal.

1. a) Aponte com precisão qual erro conceitual o Marcos cometeu na aplicação da fórmula do coeficiente angular.
2. b) Explique por que a interpretação verbal posterior dele também está errada, segundo o conceito de coeficiente angular como taxa de variação.
3. c) Corrija o cálculo obtendo o valor correto de $m$ e justifique se a função é crescente ou decrescente a partir do seu sinal.

No serviço de táxi de uma capital brasileira regulada por tarifas urbanas oficiais, a bandeirada custa $2,40$ reais (quantia fixa obrigatória por iniciar o trajeto) e o preço por cada quilômetro percorrido é de $1,25$ reais.

1. a) Escreva a equação da função afim $y = mx + n$ que relaciona o custo final da viagem ($y$, em reais) em função dos quilômetros percorridos ($x$).
2. b) Identifique o valor do coeficiente angular $m$ e redija uma frase explicando que significado físico e econômico tem esse número no contexto da viagem.
3. c) Um usuário afirma: «Se por um percurso de $4$ km paguei $7,40$ reais, por percorrer o dobro ($8$ km) pagarei exatamente o dobro, $14,80$ reais». Use o coeficiente angular e o coeficiente linear para justificar matematicamente por que razão esta afirmação é falsa.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(-2,5; 3,2)$ e $B(1,5; -4,8)$.

Um avião desce a uma velocidade constante para pousar. Aos $10$ minutos de iniciar a manobra, ele se encontra a $8000$ metros de altitude, e aos $25$ minutos está a $3500$ metros. Calcule o coeficiente angular da função que relaciona a altitude com o tempo e interprete o seu significado neste contexto.

Determine o coeficiente angular da reta cuja equação geral é $4x - 5y + 20 = 0$. Em seguida, escreva a sua equação na forma explícita.

Observe as duas retas representadas no gráfico. Calcule o coeficiente angular de cada uma delas e indique qual representa uma maior taxa de crescimento.

Uma empresa de aluguel de bicicletas cobra uma tarifa fixa inicial mais um preço por hora de uso. Se alugar uma bicicleta durante $2$ horas custa $14$ reais e alugá-la durante $5$ horas custa $26$ reais, encontre o coeficiente angular da função de custo e explique o que esse valor representa no contexto do problema.

Encontre o valor do parâmetro $k$ para que a reta que passa pelos pontos $A(k, 3)$ e $B(2k - 1, 7)$ tenha um coeficiente angular $m = -2$.

Duas grandezas $x$ e $y$ mantêm uma relação linear. Sabendo que quando $x$ aumenta $5$ unidades, $y$ diminui $3$ unidades, e que a reta passa pelo ponto $(10, -2)$, escreva a equação explícita da função linear que as relaciona.

Escreva a equação de uma reta paralela a $y = -\frac{3}{4}x + 2$ que passe pelo ponto $(-8, 5)$.

Segundo registros meteorológicos do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) numa zona montanhosa do país, a uma altitude de $500$ m acima do nível do mar registra-se uma temperatura de $19$ ºC, enquanto numa estação situada a $2000$ m a temperatura desce até $10$ ºC.

1. a) Antes de fazer cálculos formais, estime de forma fundamentada o sinal do coeficiente angular e preveja se a temperatura cairá mais ou menos de $1$ ºC a cada $100$ m de subida.
2. b) Supondo uma variação linear, calcule o coeficiente angular $m$ da função que expressa a temperatura ($y$, em ºC) em função da altitude ($x$, em metros).
3. c) Verifique se a sua estimativa prévia estava correta, expresse o coeficiente angular como variação a cada $100$ m e interprete o que significaria fisicamente na atmosfera se o coeficiente angular fosse $m = 0$.

Deseja-se desenhar no plano cartesiano uma reta $r$ cujo coeficiente angular fixo seja $m = -1,5$, mas vários dos seus elementos de partida são desconhecidos.

1. a) Sabendo que a reta $r$ deve passar obrigatoriamente pelo ponto $A(2, 4)$, faça o procedimento inverso para determinar o seu coeficiente linear $n$ e escreva a sua equação reduzida $y = mx + n$.
2. b) Formule e resolva uma equação baseada na definição de coeficiente angular para encontrar a coordenada horizontal desconhecida de um ponto $B(x_B, -2)$ que pertença a essa reta.
3. c) Escreva a equação geral de outra reta $s$ que seja paralela a $r$ e cujo coeficiente linear seja o triplo do de $r$, justificando como você utiliza a condição de paralelismo.

Uma mola se estica proporcionalmente à força aplicada (Lei de Hooke). Ao pendurar um peso de $2$ kg, o comprimento total da mola é de $15$ cm. Ao pendurar um peso de $5$ kg, seu comprimento total é de $21$ cm. Calcule o coeficiente angular da função que relaciona o comprimento com o peso, escreva sua equação geral e indique qual é o comprimento da mola em repouso (sem peso).

Verifique analiticamente se os pontos $A(-2, 5)$, $B(1, -1)$ e $C(5, -9)$ estão alinhados calculando e comparando os coeficientes angulares dos segmentos que os unem.

No gráfico a seguir é mostrada a viagem de um trem de carga que faz um trajeto de ida, realiza uma parada e volta ao seu ponto de origem. Calcule o coeficiente angular em cada um dos três trechos e interprete o resultado como velocidade (em km/h).

O valor de uma máquina industrial se deprecia linearmente com o tempo. Ela foi comprada nova por um valor de $45000$ reais e, após $6$ anos, foi avaliada em $18000$ reais. Calcule o coeficiente angular da função valor-tempo, determine em que ano a máquina perderá teoricamente todo o seu valor e escreva a representação analítica da função.

Dadas as retas $r: ax + 3y - 6 = 0$ e $s: 2x - by + 4 = 0$, determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ sabendo que a reta $r$ tem um coeficiente angular $m = 2$ e que ambas as retas são estritamente paralelas.

Demonstre algebricamente que a Taxa de Variação Média (T.V.M.) da função linear $f(x) = mx + n$ em qualquer intervalo genérico $[a, b]$ é sempre constante e igual ao seu coeficiente angular $m$.

Uma reta com coeficiente angular $m = -\frac{2}{3}$ forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo no primeiro quadrante. Se a área desse triângulo é de $27$ unidades quadradas, encontre a equação explícita da reta.

Um reservatório industrial contém $1200$ litros de água e começa a esvaziar em um ritmo constante. Se o coeficiente angular da função que relaciona o volume de água restante (em litros) com o tempo decorrido (em horas) é $m = -40$, encontre quanto tempo levará para o reservatório ficar exatamente com um quarto de sua capacidade máxima inicial.

Para verificar se três parcelas agrícolas cujos acessos estão situados num mapa cadastral nos pontos $A(-2, -5)$, $B(2, 1)$ e $C(6, 7)$ ficam perfeitamente alinhadas ao longo de um canal de irrigação retilíneo, dois técnicos propõem métodos distintos:

• Método da Laura: Calcula o coeficiente angular do segmento entre $A$ e $B$, depois o coeficiente angular do segmento entre $B$ e $C$, e verifica se ambos coincidem.

• Método do Carlos: Determina a equação reduzida da reta que une $A$ e $B$ ($y = mx + n$) e depois verifica se as coordenadas de $C$ satisfazem essa igualdade.

1. a) Resolva o problema aplicando passo a passo o método da Laura e determine se os pontos estão alinhados.
2. b) Resolva o mesmo problema aplicando o método do Carlos para confirmar o resultado.
3. c) Analise ambos os procedimentos: qual dos dois métodos é mais eficiente e conveniente se um topógrafo precisasse verificar o alinhamento de uma série de dez parcelas consecutivas? Justifique a sua escolha avaliando a carga de cálculo de cada opção.

De acordo com os relatórios da Direção-Geral da Água do Ministério para a Transição Ecológica e o Desafio Demográfico (MITECO), no início do verão (semana $0$) um reservatório de uma bacia hidrográfica do sul da península acumulava $360$ hm³ de água. Após $15$ semanas consecutivas de calor e sem chuva, o volume desceu de forma constante até os $210$ hm³ devido ao consumo e à evaporação.

1. a) Modele a evolução da reserva de água ($y$, em hm³) em função das semanas decorridas ($x$) por meio de uma função afim. Calcule o coeficiente angular $m$ e interprete o seu sinal e as suas unidades em termos de taxa de variação semanal.
2. b) O protocolo de seca declara a fase de emergência quando o reservatório desce abaixo dos $100$ hm³. Determine, justificando, em que semana essa fase seria atingida se as condições não se alterassem.
3. c) Na mesma bacia, um segundo reservatório vizinho tinha na semana $0$ um volume de $270$ hm³. Sabendo que a reta que descreve o seu esvaziamento é paralela à do primeiro reservatório, explique que significado prático tem esse paralelismo em relação ao seu ritmo de perda de água e justifique, sem necessidade de calcular a equação completa do segundo reservatório, qual dos dois entrará primeiro em fase de emergência.