Exercícios: Tendência e periodicidade

Observe o gráfico a seguir, que representa a oscilação de um pêndulo ao longo do tempo $t$ (em segundos), medindo o seu deslocamento $d$ (em centímetros) em relação à posição de equilíbrio.

Determine o período da função periódica representada, a sua amplitude e os valores máximo e mínimo que ela atinge.

Observe o gráfico a seguir que representa o nível de água em um tanque (em metros) ao longo do tempo (em segundos). Determine o período da função representada e calcule qual será o nível da água em $t = 45$ e em $t = 50$.

Uma máquina de embalagem industrial emite um sinal sonoro de aviso a cada $45$ segundos de forma constante. Se o primeiro sinal sonoro ocorre no instante $t = 0$, determine se a máquina emitirá um sinal sonoro em $t = 300$ segundos e em $t = 360$ segundos.

Dada a função racional $f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2}$, calcule os valores de $f(10)$, $f(100)$ e $f(1000)$. A partir desses resultados, deduza para qual valor tende a função quando $x$ se torna infinitamente grande.

Uma função $f(x)$ é estritamente periódica e seu período é $T = 6$. Conhecem-se os seguintes valores em seu primeiro ciclo: $f(2) = 5$, $f(4) = -1$ e $f(6) = 3$. Calcule os valores exatos de $f(26)$ e $f(40)$.

A temperatura de uma xícara de café recém-servida é de $80^\circ\text{C}$. Ao deixá-la repousar em um cômodo, a sua temperatura diminui com o tempo, sendo modelada por meio de uma função $T(t)$ que apresenta uma assíntota horizontal em $y = 22$. Qual significado físico esse valor de $22$ tem no contexto do problema?

Indique qual é o período exato das funções trigonométricas elementares $f(x) = \text{sen}(x)$ e $g(x) = \text{cos}(x)$. Se $\text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, qual será o valor de $\text{sen}(\frac{13\pi}{6})$?

A luz de um farol marítimo gira a uma velocidade constante, dando uma volta completa a cada $12$ segundos. Se no instante $t = 3$ segundos o feixe de luz ilumina diretamente um barco próximo, em quais outros instantes exatos durante o primeiro minuto ($60$ segundos) voltará a iluminá-lo?

Observe o gráfico da função $T(t)$, que representa a evolução da temperatura de um componente eletrônico de um servidor em função do tempo de funcionamento. Para qual valor tende a temperatura a longo prazo?

Um semáforo do centro de Salvador tem um ciclo de fases programado que se repete periodicamente a cada $80\text{ s}$ ($T = 80\text{ s}$). Em cada ciclo, o semáforo permanece verde durante os primeiros $40\text{ s}$ ($0 \le t < 40$), amarelo durante os seguintes $5\text{ s}$ ($40 \le t < 45$) e vermelho durante os últimos $35\text{ s}$ ($45 \le t < 80$). Para descobrir em que cor estará o semáforo exatamente aos $t = 345\text{ s}$ após o início da sequência, o Lucas faz a divisão $345 : 80 = 4,3125$ e afirma: «Como o resultado começa por $4$, o semáforo se encontra no segundo $4$ do seu ciclo, então a luz estará verde». a) Aponte com precisão qual é o erro no raciocínio do Lucas e explique o que representam realmente o número inteiro $4$ e a parte decimal $0,3125$ neste contexto. b) Corrija o cálculo determinando quantos ciclos completos foram realizados e em que segundo exato do ciclo atual o semáforo se encontra em $t = 345\text{ s}$. Que cor ele mostra na realidade?

Nas estações de carregamento rápido para carros elétricos no Brasil, a velocidade de carregamento diminui à medida que a bateria enche para proteger as células de lítio. A porcentagem de carga $C(t)$ da bateria de um veículo após $t$ minutos conectado é dada por: $C(t) = 100 - 85 \cdot 0,96^t$ (para $t \ge 0$). a) Estime: sem fazer operações detalhadas na calculadora, observe a estrutura da função e indique para qual porcentagem tende a carga se o carro ficasse conectado durante muitíssimo tempo ($t \to \infty$). Justifique a sua estimativa analisando o que acontece com a potência $0,96^t$ ao multiplicar sucessivamente um número menor que $1$. b) Comprove: identifique a assíntota horizontal da função ($y = L$) e calcule a porcentagem de carga real para $t = 10\text{ min}$, $t = 30\text{ min}$ e $t = 60\text{ min}$ (arredondando para o número inteiro mais próximo). c) Avalie criticamente se a sua estimativa inicial é coerente com os resultados obtidos e reflita sobre o motivo pelo qual muitos usuários preferem desconectar o carro após meia hora em vez de esperar uma hora completa.

Uma função $f(x)$ é periódica de período $T = 8$. No intervalo $[0, 8)$, a função está definida por partes da seguinte maneira: $f(x) = 2x$ se $0 \le x < 4$, e $f(x) = 12 - x$ se $4 \le x < 8$. Calcule os valores exatos de $f(45)$ e $f(100)$.

A população de uma espécie de ave introduzida em uma ilha segue o modelo matemático $P(t) = \frac{1500t + 200}{3t + 1}$, onde $t$ representa o tempo decorrido em anos desde a sua introdução. Determine qual foi a população inicial de aves e calcule para qual valor tende a população a longo prazo quando $t$ se torna muito grande.

Um eletrocardiograma registra a atividade elétrica do coração humano, mostrando um padrão que se repete de forma cíclica. Se o intervalo de tempo entre dois picos R consecutivos (um ciclo cardíaco completo) é de $0,8$ segundos, quantas pulsações por minuto o paciente tem em repouso? Se for registrado um pico exato em $t = 1,2$ segundos, em qual instante será registrado o pico número $50$ a partir desse momento?

O nível da água em um porto marítimo varia devido às marés seguindo uma função periódica. Sabendo que ao longo de um dia o nível máximo de água (preamar) é atingido exatamente às 02:00 h e às 14:30 h, determine o período exato das marés neste porto. Se esse padrão se mantiver inalterado, a que horas será atingido o primeiro nível máximo do dia seguinte?

O valor econômico de uma máquina industrial se deprecia com o passar do tempo segundo a função exponencial $V(t) = 50000 \cdot 0,85^t + 2000$, onde $t$ são os anos de uso e $V(t)$ o valor em reais. Qual é o valor da máquina quando é comprada nova ($t=0$)? Qual é a tendência do valor da máquina quando o tempo de uso se torna infinitamente grande? Explique o significado econômico desse limite.

Determine o período exato das seguintes funções trigonométricas combinadas, justificando sua resposta a partir das propriedades das funções seno e cosseno: $f(x) = \text{sen}(4x)$ e $g(x) = \text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$.

Uma roda-gigante de um parque de diversões tem um diâmetro de $40$ metros e seu eixo central está a $22$ metros de altura em relação ao solo. A roda-gigante gira com velocidade constante e leva exatamente $4$ minutos para dar uma volta completa. Se uma pessoa entra na cabine na parte mais baixa no instante $t = 0$, determine a que altura exata em relação ao solo ela estará após $t = 11$ minutos.

Uma função $f(x)$ é estritamente periódica de período $T = 5$ e também apresenta simetria ímpar. Sabendo que $f(1) = 4$ e $f(2) = -3$, determine de forma justificada os valores de $f(-4)$ e $f(13)$.

As tabelas de marés da Marinha do Brasil em Salvador (Bahia) mostram que a altura da água segue uma função periódica de período aproximado $T = 12\text{ horas}$. Durante as primeiras $12$ horas de um dia de marés vivas, a altura $h(t)$ (em metros) em relação ao fundo de referência evolui assim: desce até atingir uma maré baixa de $1,2\text{ m}$ às $t = 3\text{ h}$ e sobe até uma maré alta de $4,6\text{ m}$ às $t = 9\text{ h}$. Para calcular a altura da maré que haverá às $t = 195\text{ horas}$ do início do mês, dois técnicos do porto propõem métodos diferentes: o Método 1 (Subtração iterativa) consiste em subtrair sucessivamente $12$ de $195$ tantas vezes quantas necessárias ($195 - 12 = 183$; $183 - 12 = 171$; ...) até obter um número dentro do intervalo $[0, 12)$; o Método 2 (Divisão euclidiana) consiste em dividir $195$ por $12$, tomar o resto inteiro da divisão e localizar esse resto na tabela do ciclo inicial. a) Explique por que ambos os métodos são matematicamente válidos, baseando-se na propriedade das funções periódicas: $f(t) = f(t + k \cdot T)$ com $k \in \mathbb{Z}$. b) Avalie as vantagens e desvantagens de cada método. Qual você escolheria se precisasse prever a maré daqui a um ano ($t = 8\,760\text{ h}$)? Justifique sua resposta em termos de rapidez e prevenção de erros. c) Aplique o método mais eficiente para determinar a que momento do ciclo base corresponde $t = 195\text{ h}$. A partir desse resultado, indique se coincide com a maré baixa ou com a maré alta e qual é a altura da maré.

Um relatório demográfico analisa a evolução de um município rural de Minas Gerais afetado pelo despovoamento. A população $P(t)$ (em número de habitantes) decorridos $t$ anos desde o ano 2010 aproxima-se através do modelo: $P(t) = 640 \cdot 0,85^t + 180$. a) Determine a população que o município tinha no ano 2010 ($t = 0$) e calcule-a para o ano 2020 ($t = 10$). b) Analise matematicamente a tendência a longo prazo ($t \to \infty$): qual é a reta assíntota horizontal da função? Justifique detalhadamente por que razão o termo $640 \cdot 0,85^t$ tende a 0 à medida que os anos passam. c) Um título de jornal local afirma: «No ritmo atual, este município mineiro ficará completamente desabitado (0 habitantes) antes de cinquenta anos». Utilizando a assíntota calculada e o conceito de valor de repouso ou estabilização, argumente de forma fundamentada por que razão o título comete um erro de interpretação matemática. d) Se os serviços médicos municipais exigirem que haja pelo menos $200$ habitantes recenseados para manter aberto o posto de saúde local, calcule se no ano 2025 ($t = 15$) o posto de saúde corre risco imediato de fechamento e o que acontecerá a muito longo prazo de acordo com este modelo.

A concentração de um medicamento na corrente sanguínea (medida em mg/L) $t$ horas após a sua administração intravenosa é dada pela função $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 9}$. Analise a tendência dessa concentração a longo prazo. Existe algum momento no futuro em que a concentração se estabilize em um valor constante diferente de zero, ou terminará desaparecendo por completo do organismo? Justifique a sua resposta matematicamente.

Dois faróis costeiros, A e B, emitem flashes luminosos para guiar os barcos. O farol A emite um flash a cada $15$ segundos e o farol B emite a cada $24$ segundos. Se às 22:00:00 ambos os faróis emitirem um flash de forma totalmente simultânea, quantas vezes os flashes deles voltarão a coincidir na hora seguinte? A que horas exatamente (horas, minutos e segundos) ocorrerá a décima coincidência depois das 22:00:00?

A posição de uma massa presa a uma mola que oscila com atrito é modelada pela função amortecida $x(t) = 10 \cdot 0,9^t \cdot \text{cos}(\pi t)$, com $t$ medido em segundos e $x(t)$ em centímetros. Observe o seu gráfico. Essa função é estritamente periódica? Para qual valor tende a posição $x(t)$ quando $t$ se torna muito grande e o que esse limite significa fisicamente?

Seja uma função periódica $f(x)$ de período $T = 4$, que no intervalo $[0, 4)$ está definida pela expressão quadrática $f(x) = -x^2 + 4x$. Demonstre analiticamente se $f(x)$ é ou não simétrica em relação à reta vertical $x = 2$ dentro do seu primeiro período. Em seguida, calcule o valor exato de $f(2023)$.

Determine o valor exato do parâmetro $k$ para que a função racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ tenda a $4$ quando $x$ se torna infinitamente grande. Uma vez encontrado esse valor de $k$, calcule qual é o coeficiente linear da função.

Considere a função matemática $f(x) = x - [x]$, onde o símbolo $[x]$ representa a "parte inteira" de $x$ (ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a $x$). Demonstre de forma fundamentada que $f(x)$ é uma função periódica e encontre o seu período. Por fim, calcule $f(14,75)$ e $f(-3,2)$.

Um satélite de observação orbita a Terra a baixa altitude, passando exatamente sobre a linha do equador a cada $90$ minutos. Toda vez que completa uma órbita, a Terra girou sob ele. Sabendo que a Terra leva $24$ horas para dar uma volta completa em torno do seu próprio eixo, qual é o tempo mínimo que deve decorrer para que o satélite volte a passar exatamente sobre as mesmas coordenadas geográficas do equador?

As funções trigonométricas $f(x) = \text{sen}(ax)$ e $g(x) = \text{cos}(bx)$ têm como período fundamental $T_1 = 4\pi$ e $T_2 = 6\pi$, respectivamente, sendo $a$ e $b$ números reais positivos. Determine o período da função soma $h(x) = f(x) + g(x)$ e encontre os valores numéricos dos parâmetros $a$ e $b$.

Um centro de distribuição farmacêutica em Salvador armazena vacinas que requerem conservação contínua a frio. Devido a uma pane elétrica no verão, a câmara frigorífica perde potência e a temperatura interior $T(t)$ (em $^\circ\text{C}$) começa a subir em função das horas decorridas $t$ segundo um modelo do tipo $T(t) = A \cdot b^t + C$ (com $0 < b < 1$). A equipe técnica não dispõe da fórmula completa, mas conta com os seguintes dados do protocolo de segurança: 1) A temperatura externa do armazém é de $35\,^\circ\text{C}$ constantes; por transferência térmica, se a pane não for reparada, a câmara tende a se estabilizar nessa temperatura externa a longo prazo ($t \to \infty$). 2) No instante exato em que a eletricidade falhou ($t = 0\text{ h}$), a câmara estava na sua temperatura ótima de $3\,^\circ\text{C}$. 3) Às $t = 2\text{ horas}$ do apagão, o termômetro digital registrou $19\,^\circ\text{C}$. a) Deduza o valor da assíntota horizontal e utilize-a para justificar o valor do parâmetro $C$. b) A partir do dado em $t = 0\text{ h}$, formule a equação correspondente e obtenha o valor de $A$. c) Utilizando o registro de temperatura às $t = 2\text{ h}$, formule a equação para determinar a base $b$ e escreva a expressão analítica definitiva de $T(t)$. d) Se as vacinas perderem as suas propriedades biológicas caso a temperatura ultrapasse os $25\,^\circ\text{C}$, calcule de forma fundamentada qual será a temperatura às $t = 4\text{ horas}$ do corte de energia e decida se o lote de vacinas ainda pode ser salvo ou se foi perdido.

Num parque eólico de Bom Jesus da Lapa, as pás de um aerogerador giram a velocidade constante empurradas pelo vento. A altura $h(t)$ (em metros acima do solo) da ponta de uma das suas pás aos $t$ segundos de observação é descrita pela função periódica: $h(t) = 45 \cdot \text{sen}(k \cdot t) + 80$. Sabe-se que a pá demora exatamente $6\text{ segundos}$ para completar uma rotação completa ($T = 6\text{ s}$). a) Lembre-se de que a função periódica $\text{sen}(kx)$ tem um período $T = \dfrac{2\pi}{k}$. Calcule o valor exato da constante $k$ para este aerogerador e escreva a expressão final de $h(t)$. b) Tendo em conta que os valores da função seno oscilam sempre entre $-1$ e $1$, calcule a altura mínima e a altura máxima que a ponta da pá atinge durante a rotação. A partir desses resultados, deduza a altura do cubo (eixo central de rotação no topo da torre) e o comprimento da pá. c) Para verificar o desgaste por fadiga de materiais, um sensor telemétrico registra a posição da ponta da pá no instante $t = 249\text{ segundos}$. Sem necessidade de simular todas as rotações anteriores, explique como usar as propriedades da periodicidade para determinar a que segundo do ciclo base $[0, 6)$ corresponde esse instante. d) Calcule a altura exata $h(249)$ sabendo que $\text{sen}\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1$ e $\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$. A pá se encontra no seu ponto mais alto, no seu ponto mais baixo ou numa posição intermediária?

Desafio do tema. Como o nosso país consome eletricidade? Torne-se um analista energético investigando a curva de demanda elétrica no site da Red Eléctrica de España (REE).

1. Coleta de dados: Entre em demanda.ree.es e registre em uma planilha a demanda peninsular real ($y$, em milhares de MW, por exemplo $26,4$) a cada duas horas durante dois dias consecutivos ($x \in [0, 48]$ h).

2. Representação: Gere o gráfico unindo os pontos com o GeoGebra ou a planilha. Descreva como a informação é apresentada (tabela, gráfico e enunciado verbal).

3. Relatório analítico: Analise matematicamente a função, deduzindo seu domínio, contradomínio e imagem de horas-chave; continuidade; intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento); extremos relativos e absolutos (máximos e mínimos em horários de pico e de baixo consumo); simetria; periodicidade diária (ciclos de $24$ h) e tendência geral.

4. Proposta fundamentada: Elabore uma recomendação de consumo eficiente para a sua casa, indicando em quais intervalos de horário convém usar os eletrodomésticos, segundo os dados analisados.

Será valorizado:

• Coleta rigorosa de dados reais da fonte oficial e representação gráfica adequada por meio de ferramentas digitais.

• Identificação e justificativa correta das propriedades funcionais (domínio, extremos, continuidade e periodicidade).

• Coerência e utilidade prática das propostas de economia a partir da análise matemática realizada.