Exercícios: Domínio, conjunto imagem e imagem de uma função

Um aluno afirma que o domínio da função racional $f(x) = \frac{3x}{x^2+9}$ é $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$. Explique qual é o erro em seu raciocínio ao avaliar o denominador e escreva o domínio correto da função.

Em um exame, um aluno indica que o domínio da função radical $g(x) = \sqrt{12 - 3x}$ é o intervalo $[4, +\infty)$. Demonstre matematicamente por que este resultado é um erro comum ao resolver inequações e calcule o domínio correto.

Determine o domínio da seguinte função polinomial:

$f(x) = -4x^5 + 7x^3 - x + 12$

Determine o domínio da seguinte função racional:

$f(x) = \frac{3x - 1}{2x - 8}$

Calcule o domínio da função com radical:

$f(x) = \sqrt{3x + 12}$

A partir da seguinte representação gráfica da função $f(x)$, determine seu domínio e sua imagem.

Determine o domínio da seguinte função racional com denominador do segundo grau:

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

Determine o domínio da seguinte função logarítmica:

$f(x) = \log_2(5 - x)$

Um estacionamento cobra $2$ reais por cada hora ou fração de hora que um veículo permanece estacionado, com um limite máximo de $12$ horas por dia. Escreva a função que relaciona o tempo de estacionamento $x$ (em horas) com o valor a pagar $f(x)$ e determine seu domínio e sua imagem no contexto deste problema.

Calcule o domínio da seguinte função que contém um radical de índice ímpar:

$f(x) = \sqrt[3]{2x - 7}$

O serviço público de aluguel de bicicletas elétricas de uma cidade (como o Bike Itaú em São Paulo) aplica aos usuários ocasionais uma tarifa composta por $0,50$ reais fixos de desbloqueio mais $0,15$ reais por cada minuto de trajeto. Por regulamentação de segurança viária e legislação municipal, o tempo máximo autorizado para um único trajeto ininterrupto é de 2 horas ($120$ minutos). A função que descreve o custo final em reais em função dos minutos utilizados é $C(t) = 0,50 + 0,15 \cdot t$.

1. a) Se você considerar unicamente a fórmula algébrica sem levar em conta a situação real, qual é o seu domínio matemático e por quê?
2. b) Levando em conta as restrições regulamentares do serviço, determine o domínio real e o conjunto imagem da função, expressando ambos os conjuntos na forma de intervalos.
3. c) Um usuário afirma que no aplicativo lhe cobraram $22$ reais por um único trajeto contínuo dentro da norma. Justifique, apoiando-se no conceito de conjunto imagem, por que essa cobrança não é possível.

Ao resolver uma tarefa sobre o domínio da função racional $f(x) = \frac{x + 5}{x - 3}$, o Pedro escreve o seguinte no caderno:

«Para que a função possa ser calculada, o numerador não pode ser zero, logo $x + 5 \ne 0$, de onde $x \ne -5$. Além disso, a variável $x$ nunca pode ser um número negativo, de modo que o domínio é o intervalo $[0, +\infty) \setminus \{5\}$».

1. a) Aponte os dois erros de raciocínio conceitual cometidos pelo Pedro na justificativa dele.
2. b) Explique por que, em uma função matemática, o numerador de uma fração pode se anular e que valor numérico $f(-5)$ assume exatamente.
3. c) Corrija o exercício determinando o domínio correto de $f(x)$ e expresse-o de duas maneiras distintas: como exclusão de valores em $\mathbb{R}$ e por meio da união de intervalos.

Determine o domínio da seguinte função com um radical quadrático:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Determine o domínio da função que combina uma fração e uma raiz:

$f(x) = \frac{5x}{\sqrt{2x + 6}}$

Observe o gráfico da função definida por partes $g(x)$. Determine seu domínio e sua imagem, prestando especial atenção à assíntota vertical e aos pontos onde os intervalos são abertos ou fechados.

Com um arame de $40$ cm de comprimento quer-se construir um retângulo. Se chamarmos de $x$ o comprimento da base do retângulo, determine a expressão da função área $A(x)$ e encontre seu domínio de definição levando em conta as limitações geométricas do problema.

Um pequeno foguete de brinquedo é lançado verticalmente para cima a partir do solo. A altura $h$ (em metros) que ele atinge em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = 20t - 5t^2$. Determine o domínio e o conjunto imagem desta função sabendo que o movimento termina quando o foguete atinge o solo novamente.

Calcule o domínio da seguinte função logarítmica com argumento quadrático:

$f(x) = \ln(9 - x^2)$

Determine o domínio da função que inclui uma raiz no numerador e um polinômio no denominador:

$f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$

Uma empresa que fabrica componentes eletrônicos determinou que a receita diária ao vender $x$ componentes é dada por $I(x) = 150x - x^2$, e os custos totais de produção por $C(x) = 2000 + 10x$. Sabendo que a fábrica tem uma capacidade máxima de produção de $100$ componentes por dia, determine a função lucro $B(x)$ e seu domínio válido neste contexto econômico.

Em uma estação do INMET localizada no Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros, a $2500$ m de altitude, a temperatura externa $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) registrada durante um dia de primavera ajusta-se ao modelo $T(t) = -0,2 \cdot (t - 14)^2 + 8$, em que $t$ representa a hora do dia medida de forma contínua a partir da meia-noite ($t \in [0, 24]$).

1. a) Antes de fazer cálculos numéricos, estime de forma fundamentada a que hora do dia você esperaria registrar a temperatura mais alta e se considera provável que de madrugada a temperatura desça abaixo de $0\,^{\circ}\text{C}$.
2. b) Por meio da análise algébrica da expressão (ou calculando o vértice da parábola), determine a temperatura máxima atingida e avalie as temperaturas previstas às $00:00$ ($t = 0$) e às $24:00$ ($t = 24$).
3. c) Determine com precisão o conjunto imagem da função para esse dia completo e verifique se a sua estimativa inicial era coerente com os limites obtidos.

Imagine que você está programando os parâmetros de segurança em uma tela de controle para uma estufa industrial:

1. a) Escreva a fórmula algébrica de uma função racional $f(x) = \frac{1}{Q(x)}$ cujo domínio de definição seja exatamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$. Explique passo a passo como você constrói o denominador $Q(x)$ para obrigar a função a falhar unicamente nesses dois valores.
2. b) Elabore a expressão de uma função com radical quadrático $g(x) = \sqrt{P(x)}$ cujo domínio de existência comece em $6$ e se estenda a valores maiores, isto é, $[6, +\infty)$. Justifique a sua escolha resolvendo a inequação correspondente.
3. c) Seria possível inventar uma função polinomial cujo domínio fosse exatamente o intervalo $[6, +\infty)$? Justifique a sua resposta com base nas propriedades do domínio dos polinômios.

Determine o domínio da seguinte função, que requer resolver uma inequação racional dentro de uma raiz quadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Determine analiticamente a imagem da seguinte função quadrática (lembre-se de calcular as coordenadas do seu vértice):

$f(x) = -3x^2 + 12x - 5$

Calcule os valores que o parâmetro $k$ deve assumir para que o domínio da seguinte função seja todo o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$:

$f(x) = \frac{2x - 7}{x^2 + kx + 16}$

A partir de uma folha retangular de papelão de $40 \text{ cm} \times 25 \text{ cm}$ deseja-se construir uma caixa sem tampa. Para isso, recorta-se um quadrado de lado $x$ em cada um dos quatro cantos e dobram-se as bordas para cima. Determine a expressão da função volume $V(x)$ da caixa e encontre seu domínio de definição válido.

Dadas as funções $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 5x + 4$, encontre a expressão analítica da função composta $(f \circ g)(x)$ e determine rigorosamente seu domínio.

Analise o seguinte gráfico da função $h(x)$. Determine seu domínio, sua imagem e os pontos onde a função não está definida ou apresenta alguma descontinuidade, indicando de que tipo ela é.

Determine o domínio da seguinte função logarítmica cujo argumento é uma expressão racional:

$f(x) = \log_2\left(\frac{x^2 - 4}{x}\right)$

Calcule o domínio da seguinte função racional que inclui um valor absoluto em seu denominador:

$f(x) = \frac{3x + 1}{|x - 3| - 5}$

O Ministério do Meio Ambiente registra as reservas hídricas de um reservatório do semiárido nordestino durante um período de estiagem de $90$ dias. Os técnicos estimam que o volume armazenado $V(t)$, expresso em hectômetros cúbicos ($\text{hm}^3$), segue o modelo com radical $V(t) = \sqrt{3600 - 40 \cdot t}$, em que $t$ representa o número de dias decorridos desde o início do verão ($t = 0$).

1. a) Determine o domínio puramente algébrico da função $V(t)$ resolvendo a inequação imposta pela raiz de índice par.
2. b) Explique o significado físico do valor de $t$ que anula o radicando ($V(t) = 0$). Teria sentido prático ampliar o domínio para além desse ponto? Defina qual deve ser o domínio contextualizado do modelo para o acompanhamento durante os $90$ dias da campanha de verão.
3. c) Determine o conjunto imagem da função no intervalo de tempo de $90$ dias ($t \in [0, 90]$) e interprete que informação os valores extremos do conjunto imagem fornecem aos gestores da bacia hidrográfica.

Para calcular o domínio da função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Estratégia 1 (Marcos): Aplica as regras separadamente. Primeiro resolve $10 - 2x \ge 0$ por ser uma raiz quadrada, depois procura quando o denominador se anula resolvendo $\sqrt{10 - 2x} = 0$ e, finalmente, exclui essa solução do conjunto anterior.

• Estratégia 2 (Sara): Reúne as duas condições em uma única inequação. Argumenta que, como o radical está no denominador, o radicando não pode ser nem negativo nem zero, e por isso propõe diretamente $10 - 2x > 0$.

1. a) Desenvolva detalhadamente os dois métodos e verifique se com ambos se obtém o mesmo domínio.
2. b) Avalie as duas estratégias: qual você considera mais direta e com menor risco de erro no uso de parênteses ou colchetes ao escrever os intervalos? Justifique sua escolha.
3. c) Se a função fosse $g(x) = \frac{\sqrt{10 - 2x}}{x - 3}$, reflita e fundamente se a estratégia simplificada da Sara continuaria a servir em um único passo ou se seria obrigatório recorrer ao método de análise por partes do Marcos.