Exercícios: Crescimento, máximos e mínimos

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = 4x - 7$ nos intervalos $[-2, 1]$ e $[1, 5]$. Em vista dos resultados, que relação existe entre a taxa de variação média e o coeficiente angular de uma função afim?

Dada a função quadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, encontre sua taxa de variação média no intervalo $[2, 4]$. O que o resultado obtido indica sobre o valor da função nos extremos do intervalo?

Observe o gráfico da função $f(x)$ e determine seus intervalos de crescimento e decrescimento. Escreva também as coordenadas de seus máximos e mínimos relativos.

A seguinte tabela mostra os lucros diários (em centenas de reais) de um pequeno comércio durante uma semana:

Identifique em quais dias se alcançam os máximos e mínimos relativos dos lucros durante essa semana, justificando sua resposta com base no crescimento e decrescimento.

Encontre as coordenadas do vértice da parábola de equação $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indique se esse vértice corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto da função.

Sem necessidade de representá-la graficamente, determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função quadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.

A temperatura $T$ (em $^\circ\text{C}$) de um paciente desde que dá entrada na emergência é dada pela fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas. Calcule a taxa de variação média da temperatura nas duas primeiras horas ($t \in [0, 2]$).

Se sabemos que a taxa de variação média de uma função contínua no intervalo $[1, 4]$ é negativa, podemos garantir com total certeza que a função é estritamente decrescente em todo esse intervalo? Justifique sua resposta de forma teórica ou por meio de um exemplo gráfico.

O Marcos analisa o rendimento de uma máquina aparadora de grama municipal ao longo de uma jornada de $8$ horas. A quantidade de combustível consumido por hora (em litros) é modelada pela função $C(t) = -t^2 + 8t + 5$, onde $t$ é o tempo em horas decorrido desde o início da jornada ($t \in [0, 8]$). Ao estudar o intervalo $[2, 6]$, o Marcos calcula:

A partir desse resultado, conclui em seu relatório: «Dado que a taxa de variação média é zero, o consumo horário não variou absolutamente nada entre a hora $2$ e a hora $6$, tendo se mantido estritamente constante em $17\text{ l/h}$ durante essas quatro horas».

1. a) Identifique o erro conceitual cometido pelo Marcos ao interpretar a TVM.
2. b) Calcule o consumo na hora intermediária $t = 4$ e use-o para refutar numericamente a afirmação dele.
3. c) Explique o que significa realmente a TVM ser igual a $0$ nesse intervalo e o que aconteceu na realidade com o consumo entre $t = 2$ e $t = 6$.

A Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) registra a evolução da temperatura $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) em uma estação de Córdova durante um dia quente de maio, entre as $8:00$ ($t = 0$) e as $20:00$ ($t = 12$). Essa evolução se ajusta à função quadrática:

1. a) Calcule a taxa de variação média da temperatura no intervalo da manhã $[0, 4]$ (das $8:00$ às $12:00$) e no intervalo da tarde $[8, 12]$ (das $16:00$ às $20:00$). Expresse as unidades e interprete o significado do sinal obtido em cada intervalo.
2. b) Determine a que hora do dia se atingiu a temperatura máxima e qual foi esse valor.

Um projétil é lançado verticalmente para cima de modo que sua altura em metros é dada pela função $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, onde $t$ é o tempo em segundos. Calcule a taxa de variação média da altura nos intervalos $[0, 2]$ e $[6, 8]$. Interprete fisicamente o significado e o sinal dos resultados obtidos.

Uma fábrica de bicicletas estima que seus lucros mensais, em milhares de reais, seguem a função $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, onde $x$ é a quantidade de bicicletas produzidas em dezenas de unidades. Quantas bicicletas devem fabricar para obter o maior lucro possível? A quanto chegará esse lucro?

O gráfico em anexo mostra a concentração de um medicamento no sangue de um paciente (em mg/L) em função do tempo decorrido (em horas) desde a sua administração. Determine os intervalos em que a concentração aumenta e diminui, e indique o momento em que se atinge a concentração máxima e seu valor aproximado.

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ atinja um máximo relativo no ponto $(2, 11)$.

O custo médio de produção de $x$ decâmetros de um cabo especial é dado pela função $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (em reais). Calcule a taxa de variação média do custo entre $x = 10$ e $x = 20$. O custo médio cresce ou decresce nesse intervalo de produção?

Estude de forma analítica o crescimento, o decrescimento e os extremos relativos da seguinte função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x \le -1 \\ -x^2 + 2x + 7 & \text{si } x > -1 \end{cases}$

O número de usuários conectados a uma nova rede social cresce segundo a função $U(t) = 100 \cdot 2^t$, onde $t$ é o tempo em meses. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[0, 2]$ e $[2, 4]$. Compare os resultados e explique o que acontece com o ritmo de crescimento da rede social à medida que o tempo passa.

O perfil altimétrico de uma etapa ciclística de montanha é aproximado pelo gráfico em anexo. Identifique a que distância da largada se encontram os picos de montanha (máximos relativos) e os vales (mínimos relativos), indicando a altitude aproximada em cada caso.

Durante a passagem de uma depressão atlântica pelo Sul do Brasil, monitora-se o volume de água $V(t)$ (em hectômetros cúbicos, $\text{hm}^3$) acumulado em um reservatório ao longo de $6$ dias ($t \in [0, 6]$). A evolução responde à função:

1. a) Estime: Sem calcular ainda a taxa de variação média, observe a concavidade da parábola e indique de maneira fundamentada se você espera que a TVM seja maior no intervalo inicial $[0, 2]$ ou no intervalo intermediário $[2, 4]$. Você espera que ambas as taxas sejam positivas ou que alguma seja negativa? Justifique a sua previsão qualitativa.
2. b) Verifique: Calcule algebricamente a TVM em $[0, 2]$ e em $[2, 4]$ com as respectivas unidades e confirme se a sua estimativa estava correta.
3. c) Determine em que dia ($t$) o reservatório atinge o seu nível máximo neste episódio e quantos $\text{hm}^3$ ele armazena. A partir desse dia, a água retida cresce ou decresce? Justifique a partir do gráfico teórico da função.

Uma pequena cooperativa de azeite em Jaén calcula o custo médio de processamento $C(x)$ por cada litro de azeite de oliva extravirgem (em reais) em função do volume total produzido $x$ (expresso em milhares de litros, com $x \in [1, 10]$). O modelo corresponde a uma parábola da forma:

onde $a$ e $b$ são coeficientes desconhecidos.

Da safra anterior conhecem-se dois dados:

1) A taxa de variação média do custo no intervalo $[1, 3]$ foi de $-1,20$ reais por cada mil litros adicionais produzidos.

2) O custo mínimo de processamento por litro foi atingido exatamente quando a cooperativa produziu $4000$ litros ($x = 4$).

1. a) A partir da abscissa do mínimo, escreva uma relação matemática entre os coeficientes $a$ e $b$.
2. b) Utilizando a definição algébrica da taxa de variação média em $[1, 3]$, estabeleça uma equação e determine os valores numéricos exatos de $a$ e $b$.
3. c) Escreva a função completa e calcule qual é o custo mínimo por litro atingível, bem como o custo por litro se fossem produzidos $10\,000$ litros ($x = 10$).

Um agricultor dispõe de $240$ metros de cerca para cercar um terreno retangular que faz divisa com um rio reto. Se o lado voltado para o rio não precisa ser cercado, expresse a área do terreno em função de sua largura $x$. Quais devem ser as dimensões do terreno para que a área cercada seja a máxima possível?

Uma empresa de ônibus cobra $30$ reais por passagem e, a esse preço, consegue vender $400$ passagens diárias. Um estudo de mercado indica que, para cada reais que o preço da passagem aumentar, serão vendidas $10$ passagens a menos. Expresse a receita diária da empresa em função do aumento do preço em reais, $x$. Qual preço da passagem maximiza a receita e quantas passagens serão vendidas a esse preço?

Deseja-se construir uma janela com a forma de um retângulo coroado por um semicírculo. Se o perímetro total da janela (incluindo a base, os lados verticais e o arco semicircular) deve ser exatamente de $8$ metros, determine a largura da base que permite que a área da janela seja máxima, permitindo assim a maior entrada de luz.

A taxa de variação média de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ no intervalo $[-1, 1]$ é $2$, e no mesmo tipo de cálculo para o intervalo $[1, 3]$ resulta em $10$. Sabendo que a função passa pelo ponto $(0, -3)$, determine sua expressão algébrica completa e encontre as coordenadas exatas do seu vértice.

O gráfico mostra o crescimento em altura de duas espécies de plantas, A e B, ao longo de $8$ semanas em uma estufa. Observando as curvas, determine em que intervalo de tempo a planta A cresceu mais rápido que a B (comparando suas taxas de variação média) e em que semana a diferença de altura entre ambas foi nula.

O custo total diário de produção de $x$ decâmetros de um tecido especial em uma fábrica é dado pela função $C(x) = 2x^2 - 120x + 2500$ (em reais). Por outro lado, a receita diária obtida pela venda desses $x$ decâmetros segue a função $I(x) = 80x$ (em reais). Escreva a função que representa o lucro diário $B(x)$ e determine quantos decâmetros devem ser fabricados e vendidos para que o lucro seja máximo. De quanto será esse lucro máximo?

Dada a função $f(x) = \frac{k}{x^2 + 4}$, determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que o valor máximo absoluto da função é $5$. Para esse valor de $k$, calcule a taxa de variação média no intervalo $[0, 2]$ e no intervalo $[-2, 0]$. Que propriedade geométrica da função justifica que os resultados tenham sinais opostos?

Demonstre de forma algébrica, calculando a taxa de variação média em um intervalo genérico $[x_1, x_2]$ (onde $x_1 < x_2 < 0$), que a função de proporcionalidade inversa $f(x) = -\frac{4}{x}$ é estritamente crescente no intervalo $(-\infty, 0)$.

Uma empresa de entregas urgentes em Porto Alegre estuda o gasto de combustível $G(v)$ (em reais por cada $100\text{ km}$) das suas vans de distribuição de acordo com a sua velocidade média de circulação $v$ (em $\text{km/h}$). O consumo segue o modelo:

Devido aos limites de trânsito e ao tipo de via do itinerário atribuído, a velocidade média só pode oscilar no intervalo fechado $[30, 50]\text{ km/h}$.

Para determinar a que velocidade média se obtém o gasto mínimo e a qual o gasto máximo, dois analistas propõem estratégias distintas:

• Estratégia A (Hugo): «Como a parábola tem a concavidade voltada para cima ($a > 0$), o gasto mínimo situa-se sempre no vértice $v_v = -\dfrac{b}{2a}$. Calculamos o vértice para o mínimo, e para o máximo avaliamos os extremos $v = 30$ e $v = 50$, ficando com o maior».

• Estratégia B (Sara): «Primeiro devemos verificar se o vértice pertence ou não ao intervalo permitido $[30, 50]$. Se ficar de fora, a função não muda de sentido de crescimento no nosso trajeto, pelo que tanto o mínimo como o máximo absolutos do intervalo estarão obrigatoriamente nos extremos $v = 30$ e $v = 50$».

1. a) Calcule a abscissa do vértice e analise qual dos dois analistas tem razão, explicando com rigor matemático o erro do outro.
2. b) Justifique qual é o método geral correto para otimizar qualquer função quadrática quando o seu domínio está restrito a um intervalo fechado $[a, b]$.
3. c) Aplique o método correto para determinar a velocidade de gasto mínimo, a de gasto máximo e o gasto em reais correspondente a cada uma delas dentro do intervalo permitido.

Numa residência unifamiliar de Goiânia com painéis solares para autoconsumo, a potência instantânea gerada $P(t)$ (em quilowatts, $\text{kW}$) durante um dia limpo de primavera é modelada pela função:

onde $t$ representa a hora do dia em horário solar, para o período diurno $t \in [8, 18]$.

Durante essas mesmas horas, a residência mantém um consumo elétrico basal constante de $C = 1,6\text{ kW}$. A potência líquida de excedentes injetada na rede elétrica para efeitos de compensação é dada por $E(t) = P(t) - C$.

1. a) Escreva a expressão analítica simplificada da função de excedentes $E(t)$ e calcule, de forma fundamentada, o intervalo de horário no qual a residência injeta excedentes na rede (ou seja, quando $E(t) \ge 0$).
2. b) Determine a que hora solar se atinge a injeção máxima na rede e o valor dessa potência de pico em $\text{kW}$. Justifique, sem calcular de novo o vértice de $P(t)$, por que a hora de máxima produção solar dos painéis coincide exatamente com a hora de máxima injeção.
3. c) Calcule e interprete a taxa de variação média dos excedentes no intervalo $[10, 13]$ e no intervalo $[13, 16]$. A partir dos resultados e dos seus sinais, explique como varia o ritmo de geração de excedentes antes e depois do meio-dia solar.