Exercícios: Funções contínuas. Descontinuidades

Observe o seguinte gráfico da função $f(x)$ e determine em que pontos do seu domínio ela apresenta alguma descontinuidade. Classifique cada uma delas indicando se é uma descontinuidade removível, de salto finito ou de salto infinito.

Dada a função racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indique seu domínio de definição e o ponto em que apresenta uma descontinuidade. De que tipo de descontinuidade se trata? Justifique sua resposta estudando o comportamento da função ao redor desse ponto.

Uma função definida por partes é dada pela seguinte expressão:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcule o valor da função em $x=1$ e os limites laterais quando $x$ tende a 1. A função é contínua nesse ponto? Se não for, classifique a descontinuidade.

Em um estacionamento de bicicletas de uma cidade, a tarifa é de 2 reais pela primeira hora ou fração, e 1,50 reais por cada hora ou fração adicional. Se representarmos a função que relaciona o tempo de estacionamento contínuo (em horas) com o preço a pagar (em reais), que tipo de descontinuidade o gráfico apresentará nos valores inteiros do tempo ($t=1, 2, 3\dots$)?

Considere a função $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.

Calcule o valor da função em $x=4$ se for possível. Em seguida, simplifique a expressão algébrica e calcule o limite quando $x$ tende a 4. Que tipo de descontinuidade a função apresenta em $x=4$?

Encontre os pontos de descontinuidade da função $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ e indique de que tipo é cada um, analisando se o numerador se anula ou não nesses pontos.

Estude a continuidade em $x=0$ da seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Classifique a descontinuidade existente nesse ponto.

Um reservatório de água de uma fazenda é preenchido em ritmo constante durante 10 minutos até atingir 500 litros. Nesse mesmo instante, abre-se uma válvula de descarga rápida de emergência que esvazia o reservatório por completo de forma quase instantânea. Se desenharmos o gráfico do volume de água em função do tempo, que tipo de descontinuidade matemática é observado no minuto 10?

Os Correios aplicam diferentes tarifas para o envio nacional de cartas e cartões-postais ordinários em função do peso $x$ (em gramas) do envelope: para pesos de até $20\text{ g}$, a franquia custa $\text{R\$}\ 0,85$; para pesos de mais de $20\text{ g}$ e até $50\text{ g}$, custa $\text{R\$}\ 0,95$; e para pesos de mais de $50\text{ g}$ e até $100\text{ g}$, custa $\text{R\$}\ 1,40$.

1. a) Escreva a função por ramos $P(x)$ que determina o preço do envio para qualquer peso no intervalo $(0, 100]$.
2. b) Estude analiticamente a continuidade da função em $x = 20\text{ g}$. Para isso, calcule $P(20)$, o limite à esquerda $\lim_{x \to 20^-} P(x)$ e o limite à direita $\lim_{x \to 20^+} P(x)$.
3. c) Classifique o tipo de descontinuidade que a função apresenta em $x = 20\text{ g}$ e explique que repercussão prática isso tem para duas pessoas que postam cartas cujos conteúdos pesam exatamente $20\text{ g}$ e $20,1\text{ g}$.

O Lucas precisa analisar a continuidade da função $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ no ponto $x = 3$. Na sua prova ele escreve: «Como o denominador se anula em $x = 3$, não se pode dividir por zero; portanto, a função tem obrigatoriamente uma assíntota vertical nesse ponto e apresenta uma descontinuidade de salto infinito».\n\nIdentifique o erro conceitual que o Lucas comete, explique que verificação prévia ele omitiu no numerador, calcule o limite da função quando $x$ tende a $3$ fatorando a expressão e classifique corretamente o tipo de descontinuidade que $f(x)$ apresenta em $x = 3$.

Calcule o valor que o parâmetro $k$ deve ter para que a seguinte função seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Uma empresa de energia elétrica oferece uma tarifa para pequenas e médias empresas: pagam-se 15 reais fixos mais 0,12 reais por cada kWh consumido, até um máximo de 100 kWh. Se o consumo ultrapassar 100 kWh, a tarifa muda e cobram-se 0,10 reais por TODOS os kWh consumidos (eliminando o custo fixo de 15 reais).

Escreva a função definida por partes que determina o custo total em função dos kWh consumidos. A função é contínua em um consumo exato de 100 kWh? Se não for, indique o tipo de descontinuidade e o "salto" no preço.

Observe o gráfico da função $g(x)$ e responda às seguintes questões:

1. Determine o domínio da função.

2. Identifique os pontos de descontinuidade e classifique-os.

3. Escreva o valor dos limites laterais em $x = -1$ e em $x = 3$.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determine seu domínio de definição. Estude analiticamente o tipo de descontinuidade que ela apresenta em $x=1$ e em $x=-1$ calculando os limites laterais correspondentes.

Um atleta de 100 metros rasos acelera uniformemente a partir do repouso até atingir uma velocidade de 8 m/s em 4 segundos. Ele mantém essa velocidade constante durante 10 segundos. Justo nesse momento, sofre uma distensão muscular e sua velocidade cai instantaneamente para 0 m/s.

Expresse a função velocidade $v(t)$ definida por partes em relação ao tempo $t$ e classifique a descontinuidade que ocorre no instante da lesão.

Estude a continuidade da função $f(x) = \frac{3}{x-2} + \frac{x}{x+1}$. Identifique os pontos em que ela não é contínua e justifique analiticamente de que tipo de descontinuidade se trata em cada caso.

Determine o valor de $a$ para que a função $f(x) = \frac{x^2+ax-10}{x-2}$ tenha uma descontinuidade removível em $x=2$. Qual seria o valor do limite da função quando $x$ tende a 2 nesse caso concreto?

Considere a função definida por $f(x) = \frac{|x+3|}{x+3}$.

Reescreva a função como uma função definida por partes (sem usar o valor absoluto). Em seguida, estude sua continuidade em $x=-3$ e classifique a descontinuidade.

Uma equipe técnica precisa elaborar uma função analítica $f(x)$ que modele a calibração de um sensor térmico que apresenta comportamentos singulares em duas temperaturas-chave:

1. Em $x = -2$, o sensor emite uma leitura pontual fixada em $f(-2) = 1$, mas a tendência das leituras tanto pela esquerda quanto pela direita converge para o valor $-5$ (descontinuidade removível).

2. Em $x = 3$, o valor das leituras dispara sem controle para o infinito ao se aproximar desse ponto (descontinuidade infinita).

3. Para qualquer outro valor real de $x$, o sensor responde de forma contínua.

Construa a expressão algébrica de uma função (você pode utilizar uma função definida por partes ou uma expressão racional) que cumpra simultaneamente estas três condições. Justifique a sua proposta verificando o valor da função e os limites laterais em $x = -2$ e em $x = 3$.

Um município debate dois modelos alternativos para faturar o fornecimento doméstico de água em função do volume mensal consumido $x$ (em $\text{m}^3$):

• Modelo A (faixa contínua): se você consome até $10\text{ m}^3$, paga uma taxa fixa de $\text{R\$}\ 12$. Se ultrapassa os $10\text{ m}^3$, paga esses $\text{R\$}\ 12$ mais $\text{R\$}\ 1,50$ por cada metro cúbico que exceda os $10\text{ m}^3$.

• Modelo B (bloco brusco): se você consome até $10\text{ m}^3$, paga uma tarifa plana de $\text{R\$}\ 12$. No entanto, se consome mais de $10\text{ m}^3$, cobra-se a totalidade do volume consumido à razão de $\text{R\$}\ 1,80/\text{m}^3$ desde o primeiro metro cúbico.

1. a) Escreva a fórmula da função por partes que define o custo mensal em cada modelo: $C_A(x)$ e $C_B(x)$.
2. b) Antes de operar formalmente, estime qual dos dois modelos gerará reclamações dos moradores por provocar um aumento desproporcional entre dois consumos quase idênticos de $9,9\text{ m}^3$ e $10,1\text{ m}^3$.
3. c) Comprove analiticamente a sua estimativa estudando a continuidade de $C_A(x)$ e de $C_B(x)$ no ponto crítico $x = 10\text{ m}^3$ por meio do cálculo dos seus limites laterais e dos seus valores no ponto. Classifique a descontinuidade que surgir e conclua qual dos dois modelos é mais equitativo.

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja contínua em todo o conjunto dos números reais:

$f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x < -1 \\ x^2 + b & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Em um país fictício, o imposto sobre a renda anual é calculado da seguinte forma progressiva:

• As rendas de até 20 000 reais pagam 10% sobre o total.

• A faixa de renda que excede os 20 000 reais e atinge até 50 000 reais paga 20% (somado ao que já foi pago pelos primeiros 20 000 reais).

• A faixa de renda que excede os 50 000 reais paga 30% (somado ao anterior).

Escreva a função definida por partes $T(x)$ que calcula o imposto total a pagar para uma renda $x$. Demonstre analiticamente que a função $T(x)$ é matematicamente contínua em $x=20\,000$ e em $x=50\,000$.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 4x + 3}$, fatore os polinômios do numerador e do denominador por meio da regra de Ruffini e da resolução de equações para encontrar o domínio da função. Estude e classifique detalhadamente as descontinuidades que ela apresenta nos pontos excluídos do domínio.

A velocidade de uma reação química $R(T)$ em função da temperatura $T$ (em °C) é dada por um modelo matemático definido por partes. Para temperaturas até o ponto de ebulição ($T \le 100$), $R(T) = 3T + k$. Para temperaturas superiores ($T > 100$), o modelo muda para $R(T) = a \cdot 2^{T-100}$.

Sabe-se que no ponto de ebulição ($T=100$) ocorre uma descontinuidade de salto finito, de modo que a velocidade aumenta repentinamente em 50 unidades em relação ao limite pela esquerda. Se a velocidade no exato instante de ebulição ($T=100$) for de 320 unidades, calcule os valores exatos dos parâmetros $k$ e $a$.

Estude a continuidade da função $f(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ no ponto $x=0$. Para isso, multiplique numerador e denominador pela expressão conjugada do numerador, calcule o limite quando $x$ tende a 0 e classifique a descontinuidade resultante.

Encontre os valores de $m$ e $n$ para que a função racional $f(x) = \frac{mx^2 + nx - 6}{x^2 - 4}$ tenha uma descontinuidade removível em $x=2$ e uma descontinuidade de salto infinito em $x=-2$.

Considere a função $f(x) = \frac{x^2-4}{|x-2|}$.

Escreva-a como uma função definida por partes eliminando o valor absoluto de forma rigorosa. Estude sua continuidade em $x=2$ calculando os limites laterais e classifique a descontinuidade.

Um drone de exploração submarina de massa $m$ move-se em um meio viscoso. Sua velocidade vertical $v(t)$ experimenta uma descontinuidade de salto infinito no instante $t=5$ devido a uma corrente extrema, e uma descontinuidade removível em $t=2$ por uma falha transitória no sensor de medição.

Proponha uma expressão algébrica racional para $v(t)$ que cumpra simultaneamente estas duas condições e que, além disso, parta do repouso na origem dos tempos ($v(0)=0$). Justifique sua resposta analisando os limites da função proposta.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} & \text{se } x < 1 \\ 4 & \text{se } x = 1 \\ 3x + 1 & \text{se } x > 1 \end{cases}$

Para verificar se $f(x)$ é contínua em $x = 1$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Método 1 (Aproximação numérica da Alba): calcular o valor de $f(x)$ em vários números muito próximos de $1$, como $x = 0,99$, $x = 0,999$, $x = 1,001$ e $x = 1,01$, e observar visualmente se as imagens se aproximam do valor $f(1) = 4$.

• Método 2 (Resolução analítica do Bruno): simplificar a indeterminação do ramo esquerdo fatorando o polinômio, calcular algebricamente $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, e verificar se ambos coincidem com $f(1)$.

1. a) Aplique o Método 2 passo a passo: calcule os limites laterais, compare-os com $f(1)$ e classifique formalmente a continuidade ou descontinuidade da função em $x = 1$.
2. b) Compare criticamente ambos os métodos: explique por que o Método 1 não garante uma certeza matemática rigorosa embora seja útil intuitivamente, e justifique em que situação real (por exemplo, na coleta de dados experimentais em que não existe fórmula algébrica) o Método 1 seria a única alternativa viável.

Na Espanha, o Imposto Especial sobre Determinados Meios de Transporte (imposto de matrícula) tributa as emissões oficiais de $\text{CO}_2$ de cada veículo novo segundo as faixas fixadas pela legislação fiscal:

• Faixa 0: emissões $x \le 120\text{ g/km} \rightarrow 0\,\%$ sobre a base de cálculo.

• Faixa 1: emissões $120 < x < 160\text{ g/km} \rightarrow 4,75\,\%$ sobre a base de cálculo.

• Faixa 2: emissões $160 \le x < 200\text{ g/km} \rightarrow 9,75\,\%$ sobre a base de cálculo.

• Faixa 3: emissões $x \ge 200\text{ g/km} \rightarrow 14,75\,\%$ sobre a base de cálculo.

Um automóvel tem uma base de cálculo (preço do veículo antes de impostos) de $\text{R\$}\ 24.000$.

1. a) Expresse a função $I(x)$ que determina o valor do imposto em reais em função das emissões $x$ para o intervalo $[100, 180]\text{ g/km}$.
2. b) Estude de forma fundamentada a continuidade de $I(x)$ nas fronteiras de faixa $x = 120$ e $x = 160$. Calcule os limites laterais e o valor da função em cada fronteira, e classifique as descontinuidades encontradas indicando a magnitude exata de cada salto em reais.
3. c) Uma marca de automóveis consegue reduzir, por meio de melhorias aerodinâmicas, as emissões homologadas de um veículo de $120,4\text{ g/km}$ para $119,7\text{ g/km}$. Apoiando-se em seus resultados matemáticos, quantifique a economia fiscal que representa essa redução de apenas $0,7\text{ g/km}$ e explique por que razão, em economia e tributação, esse fenômeno é conhecido como «efeito degrau». Relacione esse conceito com as descontinuidades de salto finito.