Exercícios: Média, mediana e moda

Em um experimento de botânica, foi medido o número de folhas de $8$ plantas de uma mesma espécie após duas semanas de crescimento. Os resultados obtidos são: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcule a média aritmética, a mediana e a moda destes dados.

As idades dos participantes de uma oficina de robótica estão resumidas na seguinte tabela de frequências:

• $14$ anos: $5$ pessoas

• $15$ anos: $8$ pessoas

• $16$ anos: $4$ pessoas

• $17$ anos: $3$ pessoas

Determine a idade média, a idade mediana e a moda.

Em um teste de controle de qualidade, mede-se o tempo em segundos que um computador leva para inicializar. Obtêm-se os seguintes tempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcule a média e a mediana. Qual das duas medidas representa melhor a tendência central destes dados? Justifique sua resposta.

Um estudante do 10º ano realizou cinco provas de matemática ao longo do trimestre. Suas notas nas quatro primeiras são: $6, 7, 5$ e $8$.

Se ele quer que sua nota média exata seja $7$, qual nota deve obter na quinta prova?

Perguntou-se a $20$ pessoas qual era a sua cor favorita para o design da interface de um novo aplicativo para celular. Os resultados são:

• Azul: $8$ pessoas

• Verde: $5$ pessoas

• Vermelho: $4$ pessoas

• Amarelo: $3$ pessoas

Indique qual é a moda. Faz sentido calcular a média ou a mediana neste caso? Justifique a sua resposta.

Dadas as seguintes duas séries de dados referentes ao número de livros lidos em um ano por dois grupos de jovens:

• Série A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Série B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Determine a mediana de cada uma das séries e explique a diferença no procedimento de cálculo quando há um número par ou ímpar de dados.

O seguinte gráfico de barras mostra o número de irmãos que os alunos de uma turma têm.

A partir do gráfico, construa a tabela de frequências e calcule a moda e a média aritmética.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A média das alturas de um time de basquete de $10$ jogadores é de $192 \text{ cm}$.

Se todos os jogadores decidirem usar um modelo de tênis especiais que aumentam sua altura em $4 \text{ cm}$, qual será a nova altura média do time? A moda mudará se existia uma altura mais frequente?

Na disciplina de Matemática Aplicada do 4.º ano do ESO, os critérios de avaliação de um período letivo fixam os seguintes pesos: o trabalho diário e os trabalhos de casa contam $20\,\%$, os testes escritos $50\,\%$, e o projeto trimestral $30\,\%$. O Lucas obteve uma classificação de $8$ nos trabalhos, um $4$ nos testes escritos e um $6$ no projeto. Para calcular a sua nota final, o Lucas faz a seguinte operação:

$$\bar{x} = \frac{8 + 4 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

E afirma convicto: «Passei a avaliação com um 6 de nota média!».

1. a) Explica de forma fundamentada que erro conceptual comete o Lucas ao aplicar a média aritmética simples em vez da média ponderada.
2. b) Realiza o cálculo correto da classificação final do Lucas e indica se ele realmente passa a avaliação (lembra-te de que a nota mínima de aprovação é $5$).

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as seguintes temperaturas máximas diárias ($^\circ\text{C}$) durante uma semana de julho na estação do aeroporto de Cuiabá:

$$39,\quad 41,\quad 42,\quad 40,\quad 44,\quad 41,\quad 41$$

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo por escrito, estime à primeira vista entre quais dois valores inteiros estará a temperatura média semanal e qual você acha que será o valor da mediana. Escreva a sua estimativa e fundamente a intuição visual ou a eliminação rápida que você utilizou.
2. b) Calcule com precisão a média aritmética, a mediana e a moda deste conjunto de registros.
3. c) Verifique: a sua estimativa inicial coincidiu com os resultados calculados? Se durante o fim de semana o registro mais quente ($44\,^\circ\text{C}$) tivesse atingido um valor recorde de $47\,^\circ\text{C}$, a mediana teria variado? E a média? Justifique a resposta sem necessidade de recalcular toda a soma.

Em um estudo sobre o consumo de água em uma comunidade, foi registrado o gasto mensal em metros cúbicos ($m^3$) de várias residências, agrupado nos seguintes intervalos:

• $[0, 10)$: $12$ residências

• $[10, 20)$: $25$ residências

• $[20, 30)$: $18$ residências

• $[30, 40)$: $5$ residências

Calcule o consumo médio de água e indique qual é a classe modal.

A nota final da disciplina de Física é calculada por meio de uma média ponderada. As aulas práticas de laboratório valem $20\%$, os trabalhos de pesquisa valem $30\%$ e a prova final vale $50\%$.

Se uma aluna tem $8$ nas práticas, $6$ nos trabalhos e $7,5$ na prova final, calcule sua nota média final.

Em uma sapataria foi registrado o número de pares vendidos segundo o tamanho durante um fim de semana. O tamanho médio vendido foi $39,5$. Conhecendo os seguintes dados, determine o número de pares vendidos do tamanho $40$ (representado por $f$).

• Tamanho $38$: $4$ pares

• Tamanho $39$: $8$ pares

• Tamanho $40$: $f$ pares

• Tamanho $41$: $5$ pares

Mediu-se a massa em quilogramas de um grupo de $40$ pacotes em uma agência dos correios, obtendo-se a seguinte distribuição:

• $[0, 5)$: $6$ pacotes

• $[5, 10)$: $14$ pacotes

• $[10, 15)$: $12$ pacotes

• $[15, 20)$: $8$ pacotes

Encontre o intervalo onde se situa a mediana e estime seu valor exato utilizando a fórmula de interpolação linear.

Uma empresa de logística tem dois galpões industriais. No galpão de São Paulo trabalham $45$ operários com um salário médio de $1800 \text{ \text{R\$}\ }$. No galpão de Belo Horizonte trabalham $30$ operários com um salário médio de $2100 \text{ \text{R\$}\ }$.

Calcule o salário médio de todos os operários da empresa em seu conjunto.

O seguinte histograma representa o tempo (em minutos) que um grupo de pessoas dedica por dia para praticar esporte.

Calcule o tempo médio dedicado ao esporte a partir das marcas de classe extraídas do gráfico.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Ao calcular a média das notas de $25$ alunos, o professor obteve $6,4$. Posteriormente, revisando as provas, percebeu que tinha anotado por erro $3$ a um aluno cuja nota real era $8$.

Calcule a nova média correta sem necessidade de conhecer todas as notas individuais.

Em uma pequena empresa de tecnologia, os salários mensais de seus $7$ funcionários são:

$1200 \text{ \text{R\$}\ }, 1250 \text{ \text{R\$}\ }, 1300 \text{ \text{R\$}\ }, 1200 \text{ \text{R\$}\ }, 1400 \text{ \text{R\$}\ }, 1350 \text{ \text{R\$}\ }, 8500 \text{ \text{R\$}\ }$.

Calcule a média e a mediana. Escreva um breve texto explicando aos futuros funcionários qual das duas medidas representa de forma mais realista o salário habitual que vão receber e por quê.

Numa pequena cooperativa de calçados em Campina Grande trabalham $5$ pessoas. Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre os seus salários brutos mensais:

• A mediana dos salários é exatamente de $1\,300$ reais.

• O salário médio dos cinco trabalhadores é de $1\,450$ reais.

• A distribuição é unimodal (há uma única moda) e o seu valor é de $1\,150$ reais.

• O artesão com maior experiência, que é quem recebe mais do quadro de pessoal, recebe $2\,100$ reais.

1. a) Deduza de forma fundamentada, passo a passo, o salário mensal exato de cada um dos $5$ empregados da cooperativa.
2. b) Se no mês seguinte entrar uma sexta pessoa com um contrato de estágio e um salário de $950$ reais, qual passará a ser a nova mediana salarial da cooperativa? A moda será afetada? Justifique a sua resposta sem fazer cálculos desnecessários.

A partir dos dados da Pesquisa de Orçamentos Familiares do Instituto Nacional de Estatística (INE), analisou-se o gasto mensal em transportes públicos (passes, metrô e ônibus) de uma amostra de $100$ jovens entre os $18$ e os $24$ anos em uma área metropolitana espanhola:

• Intervalo $[0, 10)\text{R\$}\ $: $15$ jovens.

• Intervalo $[10, 20)\text{R\$}\ $: $25$ jovens.

• Intervalo $[20, 30)\text{R\$}\ $: $40$ jovens.

• Intervalo $[30, 50)\text{R\$}\ $: $20$ jovens.

1. a) Identifique o ponto médio de cada intervalo e calcule o gasto médio mensal estimado por jovem.
2. b) Determine de forma fundamentada qual é a classe modal, tendo em conta que nem todos os intervalos têm a mesma amplitude. Por que razão, em distribuições com intervalos de amplitudes diferentes, não basta olhar apenas para qual intervalo tem a frequência absoluta mais alta?
3. c) Se a administração dos transportes implementar um desconto geral de $50\,\%$ em todas as tarifas a partir do mês seguinte, qual será o novo gasto médio mensal estimado desse grupo de jovens? Justifique sua resposta aplicando as propriedades da média, sem reconstruir a tabela de frequências.

Em um centro médico foi registrado o nível de colesterol de $50$ pacientes. A média aritmética da distribuição é $194 \text{ mg/dL}$. Na tabela foram apagadas acidentalmente duas frequências, $f_1$ e $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacientes

• $[180, 200)$: $f_1$ pacientes

• $[200, 220)$: $f_2$ pacientes

• $[220, 240)$: $8$ pacientes

Elabore e resolva um sistema de equações para encontrar as frequências absolutas $f_1$ e $f_2$.

Seja uma variável estatística $X$ com média $\bar{x} = 15$. Define-se uma nova variável $Y$ por meio da transformação linear $y_i = 3x_i - 4$.

Demonstre algebricamente, aplicando as propriedades do somatório e da média aritmética, que a média da nova variável é $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, e calcule seu valor numérico.

Um investidor compra ações de uma empresa durante três meses consecutivos. No primeiro mês, compra $n$ ações a um preço médio de $12 \text{ \text{R\$}\ }$. No segundo mês, compra o dobro de ações do primeiro mês a um preço médio de $15 \text{ \text{R\$}\ }$. No terceiro mês, compra $50$ ações a $10 \text{ \text{R\$}\ }$.

Se o preço médio global de todas as ações compradas nos três meses é de $13 \text{ \text{R\$}\ }$, quantas ações ele comprou no primeiro mês?

Na avaliação de uma disciplina, a nota final é calculada com três componentes:

• Prova parcial (peso $30\%$)

• Trabalho de pesquisa (peso $20\%$)

• Prova final (peso $50\%$)

Um estudante tem $4,5$ na parcial e $6$ no trabalho. A nota da prova final deve ser um número inteiro ou com apenas uma casa decimal. Qual é a nota mínima que ele deve tirar na prova final para que sua média ponderada seja de pelo menos $5,0$? Se a nota máxima é $10$, é possível que alcance uma média de $8,0$?

Considere um conjunto de cinco números inteiros positivos ordenados do menor para o maior: $a, b, c, d, e$.

Sabe-se que eles cumprem simultaneamente as seguintes condições:

• A moda é $4$.

• A mediana é $5$.

• A média aritmética é $6$.

• A amplitude (diferença entre o maior e o menor) é $7$.

Determine o valor exato dos cinco números, justificando passo a passo sua resposta.

O seguinte polígono de frequências acumuladas (ogiva) mostra a distribuição das marcas obtidas por um grupo de $100$ atletas na prova de salto em distância.

A partir do gráfico, estime o valor da mediana. Se os dados fossem agrupados em uma tabela de frequências com os intervalos do eixo horizontal, qual seria a classe modal? Justifique suas respostas com base nas inclinações do gráfico.

A média de um conjunto de $n$ dados é $\bar{x}$. Se adicionarmos um novo dado de valor $D$, a nova média aumenta em $2$ unidades. Se, em vez de $D$, adicionarmos um dado de valor $D - 15$, a nova média diminui em $1$ unidade em relação à média original $\bar{x}$.

Elabore as equações correspondentes e calcule o número de dados original $n$.

Uma liga metálica é composta por dois metais $A$ e $B$. A densidade do metal $A$ é de $3 \text{ g/cm}^3$ e a do metal $B$ é de $8 \text{ g/cm}^3$.

Se a densidade média da liga resultante é de $6 \text{ g/cm}^3$, qual porcentagem do volume total da liga corresponde ao metal $B$? (Leve em consideração que a densidade média de uma liga se comporta como a média ponderada das densidades de seus componentes em relação às suas frações de volume).

Em uma empresa de logística de encomendas trabalham $25$ funcionários. Para a negociação do acordo coletivo de trabalho da empresa, a administração e a comissão de trabalhadores analisam a relação de salários brutos mensais:

• $18$ operadores de armazém recebem $1\,200$ reais cada um.

• $4$ administrativos recebem $1\,600$ reais cada um.

• $2$ chefes de turno recebem $2\,800$ reais cada um.

• $1$ diretora de operações recebe $9\,500$ reais.

1. a) Calcule a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição salarial da empresa.
2. b) No boletim da empresa, a administração afirma: «O salário médio dos nossos colaboradores ultrapassa os $1\,700$ reais, pelo que os salários estão muito acima da média do setor». Pelo contrário, o sindicato declara: «Esse valor distorce a realidade; o salário que melhor representa o trabalhador comum da empresa é de $1\,200$ reais». Analise qual medida de tendência central apoia cada uma das duas posições. Justifique de forma crítica qual das duas medidas (média ou mediana) é mais adequada para descrever o salário do trabalhador representativo, explicando o impacto do salário da diretora como valor discrepante (outlier).
3. c) Se a diretora aumentar o seu salário para $12\,000$ reais e os demais salários permanecerem congelados, indique de forma fundamentada como variarão a média e a mediana. Que propriedade fundamental da mediana fica demonstrada com esse fato?

Uma plataforma cívica de estudo sobre o acesso à moradia para aluguel coleta dados de $40$ jovens de uma cidade que moram em casas alugadas. Os dados são inicialmente agrupados nas seguintes faixas de despesa mensal:

• Faixa A $[400, 600)\text{R\$}\ $: $12$ pessoas.

• Faixa B $[600, 800)\text{R\$}\ $: $16$ pessoas.

• Faixa C $[800, 1\,000)\text{R\$}\ $: $8$ pessoas.

• Faixa D $[1\,000, 1\,400)\text{R\$}\ $: $4$ pessoas.

1. a) Calcule o aluguel médio mensal estimado para esta amostra usando os pontos médios dos intervalos e determine qual é a classe modal analisando a densidade de frequência das faixas.
2. b) Ao rever os contratos originais das $4$ pessoas da faixa D, verifica-se que seus aluguéis reais exatos são: $1\,050$ reais, $1\,100$ reais, $1\,150$ reais e $1\,300$ reais. Calcule a média real exata desses quatro aluguéis e compare-a com o ponto médio que você atribuiu a esse intervalo. O gasto médio foi superestimado ou subestimado ao usar o ponto médio do intervalo? Explique que limitação conceitual os pontos médios de classe têm ao estimar parâmetros em distribuições agrupadas.
3. c) A prefeitura concede um auxílio direto de $100$ reais mensais a todas as pessoas do estudo que paguem $700$ reais ou mais de aluguel. Sabe-se que têm acesso ao auxílio exatamente metade das pessoas da faixa B ($8$ jovens) e todas as das faixas C e D ($12$ jovens). Qual será o novo aluguel médio mensal líquido pago pela amostra de $40$ jovens? Deduza e calcule o resultado refletindo sobre o montante total subsidiado e o conceito de média como repartição equitativa, sem refazer os cálculos intervalo a intervalo.