Exercícios: Equações do segundo grau

Para cada uma das seguintes equações do segundo grau, identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$ e indique se é uma equação completa ou incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Verifique, sem resolver a equação, se os valores de $x$ propostos são solução da igualdade $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + c = 0$. Lembre-se de que, se o resultado da raiz quadrada não for um número real, você deve indicá-lo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas do tipo $ax^2 + bx = 0$ colocando o fator comum em evidência:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Aplique a fórmula de Bhaskara $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para encontrar as soluções das seguintes equações completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

A área da base quadrada de uma caixa de armazenamento de jogos eletrônicos é de $144\text{ cm}^2$. Calcule quanto mede o lado da base formulando uma equação do segundo grau.

Calcule o valor do discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada equação e indique se ela tem duas soluções, uma solução dupla ou nenhuma solução real (não é necessário calcular as soluções):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Se ao quadrado de um número inteiro somarmos o seu triplo, obtemos como resultado zero. De quais números poderia se tratar? Formule a equação e encontre as possíveis soluções.

A Ana precisa resolver na aula a equação incompleta $3x^2 - 12x = 0$. O desenvolvimento dela no quadro foi o seguinte:

1º) Como o $x$ se repete em ambos os termos, divida os dois membros por $x$: $\frac{3x^2}{x} - \frac{12x}{x} = \frac{0}{x}$, de onde escreve $3x - 12 = 0$.

2º) Isole a incógnita: $3x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4$.

A Ana conclui que a equação tem uma única solução: $x = 4$. Localize e explique detalhadamente o erro conceitual que ela cometeu, argumente por que não é matematicamente válido dividir por uma incógnita sem tomar precauções e resolva corretamente a equação encontrando todas as suas soluções.

Construa, em cada caso, uma equação do segundo grau que cumpra as condições requeridas (com todos os termos agrupados no primeiro membro e igualada a zero):

1. a) Uma equação incompleta sem termo linear ($b = 0$) cujo coeficiente quadrático seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 3$ e $x = -3$.
2. b) Uma equação incompleta sem termo independente ($c = 0$) cujo coeficiente quadrático seja $a = 2$ e cujas soluções sejam $x = 0$ e $x = -5$.

Verifique em ambos os casos a validade das suas equações resolvendo-as pelo método específico adequado para cada tipo de equação incompleta.

Resolva a seguinte equação do segundo grau simplificando primeiro as expressões algébricas por meio do desenvolvimento dos produtos notáveis:

Lembre-se de que, para aplicar a fórmula de Bhaskara, primeiro você deve reduzir a equação à forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Estude o discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) das seguintes equações e determine, sem resolvê-las, quantas soluções reais cada uma possui. Justifique sua resposta em cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

Qual valor o termo independente da equação a) deveria assumir para que ela não tivesse solução real?

Um programador de jogos eletrônicos está projetando uma interface para um novo aplicativo. Ele precisa criar um botão retangular cuja base seja $5\text{ cm}$ mais longa que sua altura. Se a área total que o botão deve ocupar na tela é de $84\text{ cm}^2$, quais devem ser as dimensões (base e altura) do botão?

Formule uma equação do segundo grau e resolva-a.

O produto de dois números naturais consecutivos é igual à sua soma aumentada em $19$ unidades. De quais números estamos falando?

Resolva as seguintes equações do segundo grau incompletas utilizando o método mais rápido (fatoração por fator comum ou isolamento direto da raiz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

As equações biquadradas podem ser resolvidas fazendo uma mudança de variável $t = x^2$. Utilize essa técnica para encontrar as quatro soluções reais da seguinte equação:

Dada a equação do segundo grau $x^2 + kx + 12 = 0$, calcule o valor do coeficiente $k$ sabendo que uma das soluções da equação é $x = 3$. Uma vez encontrado $k$, encontre a outra solução da equação.

Queremos colocar uma moldura de madeira de largura constante $x$ ao redor de uma fotografia retangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Se sabemos que a área total (foto mais moldura) deve ser de $300\text{ cm}^2$, qual deve ser a largura $x$ da moldura?

Observe a seguinte equação do segundo grau: $(2x - 1)^2 - 25 = 0$.

1. a) Descreva duas estratégias algébricas distintas para resolvê-la: a primeira, desenvolvendo o produto notável, reduzindo à forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ e aplicando a fórmula de Bhaskara; a segunda, isolando a potência quadrática $(2x - 1)^2$ e aplicando a raiz quadrada a ambos os membros da igualdade.
2. b) Resolva a equação utilizando a estratégia que você considerar mais direta e com menor risco de erro operatório, justificando a sua escolha com argumentos matemáticos.

A Prefeitura de São Paulo projeta um terreno retangular destinado a hortas urbanas comunitárias. As especificações técnicas determinam que o comprimento do terreno deve medir $6\text{ m}$ a mais do que a sua largura e que a área cultivável total tem de ser de $160\text{ m}^2$.

1. a) Atribua a incógnita $x$ à largura do terreno, escreva a expressão algébrica da sua área e formule a equação do segundo grau na sua forma canônica $ax^2 + bx + c = 0$.
2. b) Resolva a equação para determinar as dimensões (comprimento e largura) da horta. Explique detalhadamente qual interpretação geométrica cada uma das duas soluções matemáticas obtidas tem e por que razão você descarta ou conserva cada uma delas.

Resolva a seguinte equação efetuando previamente as operações para simplificar os membros e utilizando os produtos notáveis onde for necessário:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Uma empresa de paisagismo quer cercar uma piscina retangular de $8 \text{ m}$ de comprimento por $6 \text{ m}$ de largura com uma borda de grama artificial de largura uniforme $x$. Se a área total do recinto (piscina mais borda de grama) deve ser exatamente de $80 \text{ m}^2$, calcule quanto deve medir a largura $x$ da borda.

Dada a equação do segundo grau $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determine quais valores o parâmetro $k$ deve assumir para que a equação tenha uma única solução real (solução dupla).

Um drone de vigilância decola e segue uma trajetória cuja altura em metros com relação ao tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcule em quais instantes de tempo o drone se encontra exatamente a $53 \text{ metros}$ de altura.

Duas impressoras 3D trabalhando juntas levam $2$ horas para concluir uma maquete complexa. Se trabalhassem separadamente, a impressora mais antiga levaria $3$ horas a mais que a impressora nova. Quanto tempo cada uma levaria para fazer a maquete sozinha? (Dica: lembre-se de que o trabalho realizado em uma hora é o inverso do tempo total).

Calcule as dimensões de um triângulo retângulo sabendo que seus lados são três números inteiros consecutivos.

Resolva a seguinte equação. Para isso, busque o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar as incógnitas dos mesmos e verifique se as soluções obtidas não anulam nenhum denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Dispõe-se de um cabo de $40 \text{ cm}$ de comprimento que é cortado em dois pedaços para formar dois quadrados diferentes. Se a soma das áreas dos dois quadrados é de $58 \text{ cm}^2$, quanto mede o lado de cada um desses quadrados?

Durante as festas juninas de uma cidade do interior, lança-se verticalmente um foguete pirotécnico. A altura $h$ (em metros) acima do solo após decorridos $t$ segundos é descrita pela fórmula $h = -5t^2 + 40t$. O detonador do dispositivo está programado para explodir em plena fase de subida ao atingir exatamente $60\text{ m}$ de altura.

1. a) Antes de operar formalmente, estime se o foguete demorará mais ou menos de $3\text{ segundos}$ para atingir essa altura. Para apoiar a sua estimativa, avalie mentalmente ou por meio de cálculos simples a altura do foguete aos $t = 1\text{ s}$ e aos $t = 2\text{ s}$.
2. b) Formule a equação quadrática $h = 60$, reduza-a à sua forma geral e resolva-a por meio da fórmula de Bhaskara. Justifique o significado físico dos dois valores de $t$ obtidos, verifique se a sua estimativa prévia foi acertada e indique em que segundo exato ocorre a explosão programada.

Considere a família de equações do segundo grau $(k - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$, onde $k$ é um número real constante.

1. a) Analise o que acontece se $k = 1$. Justifique se a equação resultante continua sendo do segundo grau e determine a sua solução nesse caso particular.
2. b) Supondo que $k \neq 1$, calcule a expressão do discriminante $\Delta$ em função de $k$. A partir dela, deduza de forma fundamentada para que valores de $k$ a equação terá duas soluções reais distintas, para que valor terá uma única solução real dupla e para quais não terá nenhuma solução real.
3. c) Escolha um valor concreto de $k$ que não tenha solução real de acordo com o seu estudo prévio, substitua-o na equação original e tente resolvê-la por meio da fórmula de Bhaskara para verificar que obstáculo aritmético surge.