Exercícios: Divisão proporcional

Divida o número $4500$ de forma diretamente proporcional a $2$, $3$ e $4$.

Divida o número $3900$ de forma inversamente proporcional a $2$, $3$ e $4$.

Três irmãos de $8$, $12$ e $15$ anos recebem um presente de $1400$ reais a ser dividido de forma diretamente proporcional às suas idades. Quanto dinheiro cada um recebe?

Efetue a divisão de $620$ de forma diretamente proporcional às frações $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{5}$.

Em uma competição, divide-se um prêmio de $5700$ reais de forma inversamente proporcional ao número de penalidades cometidas pelos três finalistas: $1$, $2$ e $5$ penalidades. Calcule o prêmio que corresponde a cada um.

Ao dividir uma certa quantidade de forma diretamente proporcional aos números $5$, $7$ e $9$, a segunda parte corresponde a $840$. Calcule a quantidade total dividida e o valor das outras duas partes.

Divida o número $2480$ de forma inversamente proporcional a $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{5}$.

Quatro sócios investem $2000$ reais, $3000$ reais, $4000$ reais e $6000$ reais em uma empresa. Se o lucro anual é de $45000$ reais, que quantidade corresponde a cada um se a divisão dos lucros for diretamente proporcional ao investimento inicial?

Para repartir um incentivo de $950$ reais entre três empregados de uma loja do comércio local de forma inversamente proporcional aos dias em que faltaram ao trabalho neste trimestre ($2$, $4$ e $5$ dias), o Mateus propõe a seguinte solução: «Como a repartição é inversa, atribuímos os dias ao contrário: o que faltou $5$ dias recebe $2$ partes, o que faltou $4$ dias recebe $4$ partes e o que faltou $2$ dias recebe $5$ partes. Somamos $2 + 4 + 5 = 11$ partes e dividimos $950$ por $11$».

1. a) Localize o erro conceitual do Mateus. Explique por que "inverter a lista de números" não representa uma proporcionalidade inversa, prestando atenção à relação que deveria existir entre o empregado que faltou $2$ dias e o que faltou $4$ dias.
2. b) Faça a partilha correta calculando a constante de proporcionalidade por meio das frações inversas correspondentes e verifique se a soma das três atribuições é exatamente $950$ reais.

Três municípios contíguos de uma região rural formam um consórcio de municípios para gerir conjuntamente o serviço de coleta e tratamento de resíduos urbanos. De acordo com o recenseamento municipal do Instituto Nacional de Estatística (INE), as três localidades têm $1200$, $1800$ e $3000$ habitantes, respectivamente. O custo anual do serviço é de $84\,000$ reais e os estatutos do consórcio estabelecem que ele deve ser financiado de forma diretamente proporcional à população de cada município.

1. a) Modele a situação identificando a constante de proporcionalidade direta (custo anual por habitante) e interprete o seu significado prático.
2. b) Calcule a contribuição financeira anual que o município de cada localidade deve assumir.
3. c) Verifique se a soma das três contribuições coincide com o orçamento total e determine que porcentagem do custo global é assumida pelo município com maior população.

Um avô decide dividir $8600$ reais entre seus três netos de forma diretamente proporcional às suas notas médias ($7,5$, $8,0$ e $6,0$) e inversamente proporcional às suas idades ($15$, $16$ e $12$ anos). Quanto corresponde a cada um?

Divide-se uma herança de forma inversamente proporcional às idades de três herdeiros, que são $20$, $24$ e $32$ anos. Se o mais jovem recebe $16000$ reais a mais do que o mais velho, qual era o total da herança e quanto recebe cada um dos herdeiros?

Em uma empresa, divide-se um bônus de produtividade de $12400$ reais entre três funcionários de forma diretamente proporcional aos anos de tempo de serviço ($4$, $5$ e $8$ anos) e inversamente proporcional aos dias de ausência ($2$, $3$ e $4$ dias). Calcule a parte atribuída a cada funcionário.

Divida o número $3420$ em partes diretamente proporcionais a $1,2$, $0,8$ e $2,5$, e inversamente proporcionais a $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$ e $\frac{5}{2}$.

Três agricultores alugam um trator por $1300$ reais. O primeiro o usa durante $3$ dias à razão de $4$ horas diárias; o segundo, $5$ dias a $6$ horas diárias; e o terceiro, $4$ dias a $5$ horas diárias. Quanto cada agricultor deve pagar pelo aluguel?

Ao dividir uma quantidade $C$ de forma inversamente proporcional a $2$, $5$ e $8$, observa-se que a soma da maior e da menor das partes obtidas é $2500$. Calcule a quantidade total $C$ e o valor de cada uma das três partes.

Deseja-se dividir $9300$ reais em partes inversamente proporcionais aos números decimais $0,4$, $0,5$ e $0,8$. Calcule a quantidade que corresponde a cada parte.

Uma liga de $420$ gramas é composta por ouro, prata e cobre. As massas desses metais na liga são diretamente proporcionais aos números $3$, $4$ e $5$, e inversamente proporcionais às suas densidades relativas, que são aproximadamente $19$, $10$ e $9$, respectivamente. Monte a divisão e determine quantos gramas de cada metal existem na liga (expresse o resultado arredondando para duas casas decimais).

Durante um período prolongado de seca registrado pela Agência Estatal de Meteorologia, a autoridade de bacia hidrográfica aplica uma sanção conjunta de $12\,600$ reais a três propriedades rurais por superexploração de um aquífero. Fica acordado distribuir o montante da sanção de forma inversamente proporcional ao volume de água da chuva que cada propriedade conseguiu armazenar e reutilizar em suas represas: a fazenda El Olivar armazenou $2000$ $\text{m}^3$, a fazenda La Vega armazenou $3000$ $\text{m}^3$ e a fazenda Los Llanos armazenou $6000$ $\text{m}^3$.

1. a) Antes de realizar cálculos exatos, estime de forma fundamentada qual propriedade deveria pagar exatamente metade da multa total e qual deveria pagar a menor quantia. É razoável esperar que a fazenda El Olivar pague o triplo da fazenda Los Llanos? Fundamente sua conjectura a partir dos dados.
2. b) Calcule a divisão exata da sanção utilizando as frações correspondentes.
3. c) Avalie se as quantias obtidas coincidem com a sua estimativa inicial e verifique se a soma total é exatamente $12\,600$ reais.

Três pessoas empreendedoras (Alba, Bruno e Clara) abrem um negócio cooperativo de entregas sustentáveis de bicicleta e combinam distribuir os lucros do primeiro trimestre de forma diretamente proporcional ao capital inicial investido por cada uma. A Alba investiu $4000$ reais e o Bruno investiu $6000$ reais. Devido a uma falha no registro contábil, não se sabe a contribuição inicial exata da Clara, mas consta em documentos que o lucro total obtido foi de $13\,500$ reais e que à Clara couberam exatamente $4500$ reais.

1. a) Modele uma equação do primeiro grau em que a incógnita $x$ seja o capital investido pela Clara, apoiando-se na definição da constante de proporcionalidade direta da partilha.
2. b) Resolva a equação para descobrir quanto dinheiro a Clara investiu na abertura do negócio.
3. c) Sem necessidade de calcular novamente o capital da Clara, formule e resolva uma proporção que permita calcular diretamente o lucro que corresponde à Alba e o que corresponde ao Bruno, e verifique se a soma dos três lucros é $13\,500$ reais.

Demonstre matematicamente que dividir uma quantidade $S$ de forma diretamente proporcional aos números $a$, $b$ e $c$ é equivalente a dividi-la de forma inversamente proporcional aos números $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ e $\frac{1}{c}$.

Um capital de $30000$ reais é dividido em três partes diretamente proporcionais a $x$, $x+2$ e $x+4$. Se a maior das partes obtidas for $12000$ reais, escreva uma equação para determinar o valor de $x$ e calcule as outras duas partes.

Três sócios, A, B e C, aportam capital para um negócio. O sócio A aporta o dobro do capital de B, e B aporta o triplo de C. O negócio dura $2$ anos, mas A retira o seu capital aos $8$ meses e B o retira aos $18$ meses (C o mantém por $24$ meses). Se o lucro total é de $68000$ reais, como ele deve ser repartido de forma diretamente proporcional ao capital aportado e ao tempo de permanência?

Ao repartir um número $N$ em partes inversamente proporcionais a $2$, $3$ e $6$, a primeira parte supera a segunda em $400$ unidades. Se esse mesmo número $N$ fosse repartido de forma diretamente proporcional a $2$, $3$ e $6$, qual seria a diferença exata entre a maior e a menor das partes?

Uma quantia em dinheiro é dividida de forma diretamente proporcional a $3$, $5$ e $k$. Sabendo que à segunda parte correspondem $1500$ reais e que o total dividido é $4200$ reais, determine o valor do parâmetro $k$ e calcule as quantias da primeira e da terceira parte.

Em um torneio, um prêmio de $P$ reais é repartido entre os três primeiros colocados de forma inversamente proporcional aos tempos que levaram para completar a prova: $t_1$, $t_2$ e $t_3$. Sabendo que $t_1 = \frac{t_2}{2}$ e $t_3 = \frac{4t_2}{3}$, e que a diferença entre o primeiro e o terceiro prêmio é de $4500$ reais, determine o valor total do prêmio $P$.

Um pai reparte uma quantia $N$ entre os seus três filhos de forma diretamente proporcional às idades deles $a$, $b$ e $c$. Sabe-se que a soma das idades é de $36$ anos. O filho de $a$ anos recebe $1200$ reais, o de $b$ anos recebe $1600$ reais e o de $c$ anos recebe $2000$ reais. Formule um sistema de equações para determinar a quantia total repartida $N$ e a idade de cada um dos filhos.

Duas populações A e B decidem construir um hospital conjunto. O custo de $15$ milhões de reais será repartido de forma diretamente proporcional às suas populações e inversamente proporcional à distância até o hospital. A população A tem $12000$ habitantes e está a $4$ km do hospital, enquanto a população B tem $18000$ habitantes e está a $9$ km. Calcule quanto pagará cada população pela construção do hospital.

O Ministério da Agricultura e Pecuária (MAPA) lança um apoio extraordinário de $77\,000$ reais para modernizar o parque de máquinas de três cooperativas agrícolas ($A$, $B$ e $C$) situadas em municípios em risco demográfico. Os regulamentos estabelecem uma divisão com duplo critério: diretamente proporcional à superfície agrícola cultivada (em hectares, ha) e inversamente proporcional aos rendimentos médios declarados por hectare (em milhares de reais por ha) durante o último triênio:

• Cooperativa $A$: administra $120$ ha com rendimentos de $4$ mil reais/ha.

• Cooperativa $B$: administra $200$ ha com rendimentos de $5$ mil reais/ha.

• Cooperativa $C$: administra $80$ ha com rendimentos de $2$ mil reais/ha.

1. a) Modele a atribuição calculando o coeficiente ponderado combinado de cada cooperativa (multiplicando o fator direto pelo fator inverso) e simplifique os resultados para números inteiros.
2. b) Calcule o montante do apoio que corresponde a cada cooperativa a partir do orçamento disponível de $77\,000$ reais.
3. c) Justifique matematicamente por que as cooperativas $B$ e $C$ recebem exatamente o mesmo montante, apesar de a cooperativa $B$ cultivar mais $120$ hectares do que a cooperativa $C$ (mais $150\,\%$ de superfície). Explique a justificativa socioeconômica que a administração busca com esse tipo de divisão.

Uma empresa de tecnologia distribui um bônus de $6300$ reais entre três técnicas de suporte de informática de forma inversamente proporcional ao número de reclamações de usuários recebidas nos seus projetos: a Rafaela teve $3$ reclamações, o Sérgio teve $4$ reclamações e a Alice teve $6$ reclamações. Três colegas de turma propõem métodos diferentes para calcular a divisão:

• Método da Eva: Reduz as frações inversas $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ e $\frac{1}{6}$ ao mesmo denominador comum ($12$) para transformar a situação numa divisão diretamente proporcional aos numeradores inteiros ($4$, $3$ e $2$).

• Método do Marcos: Define a constante de proporcionalidade inversa $k$ formulando a equação $\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{6} = 6300$, determina o valor global de $k$ e depois calcula a atribuição de cada pessoa dividindo $k$ pelas suas reclamações.

• Método da Laura: Transforma cada inverso em número decimal arredondando para duas casas decimais ($\frac{1}{3} \approx 0,33$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{6} \approx 0,17$) e realiza a divisão diretamente proporcional com esses decimais.

1. a) Aplique o método da Eva e calcule o dinheiro que cada técnica recebe, verificando se a soma resulta em $6300$ reais.
2. b) Aplique o método do Marcos e verifique se se obtêm exatamente os mesmos valores que com o método da Eva.
3. c) Analise criticamente o método da Laura: efetue o cálculo com os decimais arredondados dela e explique que inconveniente numérico e injustiça econômica ocorrem nos montantes recebidos por cada técnica.
4. d) Compare os métodos da Eva e do Marcos: justifique qual lhe parece mais conveniente quando não é permitido o uso de calculadora e qual facilita mais a tarefa caso tivéssemos de acrescentar uma quarta pessoa à divisão depois de determinada a constante.