Exercícios: Problemas de móveis

Um guepardo corre a uma velocidade constante de $108$ km/h perseguindo a sua presa. Quantos segundos ele levará para percorrer uma distância de $300$ m?

Um trem AVE viaja a uma velocidade média de $280$ km/h. Se a viagem do seu ponto de origem até o seu destino dura exatamente $2$ horas e $15$ minutos, qual foi a distância total percorrida pelo trem?

Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de duas cidades separadas por $90$ km, deslocando-se pela mesma estrada e aproximando-se um do outro. O primeiro ciclista viaja a $20$ km/h e o segundo a $25$ km/h. Quanto tempo levarão para se cruzar?

Duas estações de trem, A e B, estão conectadas por uma via reta de $450$ km. Um trem sai de A em direção a B a $120$ km/h e, simultaneamente, outro trem sai de B em direção a A a $80$ km/h. A que distância da estação A eles se encontrarão?

Um carro sai de uma cidade a uma velocidade constante de $90$ km/h. Meia hora mais tarde, sai em sua perseguição uma motocicleta pela mesma estrada a $120$ km/h. Quanto tempo a motocicleta levará para alcançar o carro?

Um entregador de encomendas sai do armazém dirigindo a $100$ km/h. Ao perceber que esqueceu um pacote urgente, um colega sai em sua perseguição a partir do mesmo armazém $15$ minutos depois, circulando a $120$ km/h. A que distância do armazém ele o alcançará?

Dois aviões partem do mesmo aeroporto ao mesmo tempo, mas voando em sentidos diametralmente opostos. Um voa a $800$ km/h e o outro a $950$ km/h. Que distância os separará após $2,5$ horas de voo?

Um furgão de entregas percorre $150$ km em $2$ horas, faz uma pausa obrigatória de $30$ minutos e, em seguida, percorre outros $120$ km em $1,5$ horas. Qual foi a sua velocidade média em todo o trajeto (incluindo a pausa)?

A Lucía faz de carro uma viagem de ida e volta entre Sevilla e Córdoba pela autoestrada A-4, percorrendo uma distância de $140\text{ km}$ em cada trajeto. Na ida, devido a um nevoeiro denso e trânsito lento, mantém uma velocidade média de $70\text{ km/h}$. Na volta, com a estrada completamente desimpedida, circula a uma velocidade média constante de $140\text{ km/h}$. Para calcular a sua velocidade média na totalidade da viagem ($280\text{ km}$), a Lucía faz a seguinte operação: $\frac{70 + 140}{2} = 105\text{ km/h}$.

1. a) Explique de forma fundamentada por que razão o cálculo da Ana está incorreto, sem se limitar a dizer que «essa não é a fórmula» (pense em quanto tempo ela passa em cada uma das duas velocidades durante a viagem).
2. b) Calcule o tempo exato que ela demorou no trajeto de ida e no de volta, e obtenha a partir deles a verdadeira velocidade média da viagem completa.
3. c) Por que razão a velocidade média real está mais próxima de $70\text{ km/h}$ do que de $140\text{ km/h}$?

Vocês vão atravessar São Paulo utilizando o serviço público de bicicletas elétricas, da Avenida Paulista até a Praça da Sé, pelo eixo Consolação-Direita, o que corresponde a uma distância aproximada de $6\text{ km}$. As bicicletas dispõem de assistência ao pedalar, que permite manter uma velocidade média de $15\text{ km/h}$.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo com fórmulas, faça uma estimativa intuitiva: você vai demorar mais ou menos de meia hora para completar o percurso? Justifique sua dedução relacionando mentalmente os $6\text{ km}$ com a distância que você percorreria em $60\text{ minutos}$.
2. b) Aplique a fórmula do movimento uniforme para calcular o tempo exato em horas e converta-o para minutos.
3. c) Verifique se o resultado exato concorda com a sua estimativa inicial e avalie se o tempo obtido é competitivo em comparação com fazer o mesmo trajeto de ônibus urbano no horário de pico.

Um caminhão de entregas sai de São Paulo em direção ao Rio de Janeiro às 08:00 h a uma velocidade constante de $90$ km/h. Às 09:30 h, sai uma van do Rio de Janeiro em direção a São Paulo a $150$ km/h. Se a distância por estrada entre ambas as cidades é de $615$ km, a que horas exatas eles se cruzarão?

Um maratonista avança em um ritmo constante de $15$ km/h. Um ciclista de apoio que vai na mesma direção a $25$ km/h está $4$ km atrás do corredor. Em quantos minutos o ciclista conseguirá alcançar o corredor?

Um barco a motor tem uma velocidade de $22$ km/h em águas calmas. Se ele navega por um rio cuja correnteza desce a $4$ km/h, quanto tempo total levará para fazer uma viagem contínua de ida e volta entre dois portos separados por $117$ km?

Um caminhante sobe até o topo de uma montanha a uma velocidade de $4$ km/h e desce pelo mesmo caminho a $6$ km/h. Se no total levou $5$ horas de caminhada na excursão (sem contar os descansos no topo), qual é a distância da base até o topo?

Durante uma forte tempestade de verão, observa-se o clarão de um relâmpago e, $8$ segundos depois, ouve-se o trovão. Sabendo que a velocidade da luz é de aproximadamente $300\,000$ km/s e a do som no ar é de $340$ m/s, a que distância aproximada, em quilômetros, ocorreu o raio?

Dois barcos partem de um mesmo porto ao mesmo tempo. O barco A navega em linha reta em direção ao norte a uma velocidade de $18$ nós, e o barco B navega em direção ao leste a $24$ nós. Que distância, em milhas náuticas, os separará após $3$ horas de travessia? (Nota: $1$ nó equivale a $1$ milha náutica por hora).

Um motorista faz uma viagem intermunicipal de $300$ km. Ele dirige a primeira metade do trajeto a uma velocidade constante de $120$ km/h em uma rodovia, e a segunda metade a $80$ km/h em uma estrada federal. Qual foi a velocidade média dele na viagem completa?

Um trem de alta velocidade que mede $200$ m de comprimento viaja a $252$ km/h. Quantos segundos levará para atravessar completamente um túnel de $1,2$ km de comprimento? (Considera-se que atravessou o túnel desde o instante em que a locomotiva entra até o instante em que o último vagão sai dele).

Dois cicloturistas, o Mario e a Rocío, percorrem a Vía Verde de la Sierra (Cádiz-Sevilla), que tem um comprimento total de $36\text{ km}$. Às $10:00\text{ h}$, partem ao mesmo tempo um em direção ao outro a partir das extremidades opostas do percurso. O Mario pedala a uma velocidade constante de $11\text{ km/h}$ e a Rocío a $13\text{ km/h}$. Para calcular a que horas e a que distância do ponto de partida do Mario eles vão se cruzar, propõem-se dois procedimentos:

• Método A (Aritmético / velocidade de aproximação): Somar as suas velocidades para calcular a que ritmo conjunto diminui a distância entre ambos ($11 + 13 = 24\text{ km/h}$) e dividir a distância total por essa soma.

• Método B (Algébrico): Formular uma equação do primeiro grau somando as distâncias percorridas por cada um e igualando-a à distância total: $e_1 + e_2 = 36$, ou seja, $11 \cdot t + 13 \cdot t = 36$.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos e verifique que você chega à mesma hora exata de encontro.
2. b) Explique por que ambos os métodos são matematicamente equivalentes.
3. c) Imagine que a Rocío fura o pneu antes de sair e parte $30\text{ minutos}$ mais tarde do que o Mario. Justifique qual dos dois métodos se revela mais seguro e direto para adaptar o cálculo a essa nova situação sem se confundir com os dados.

Durante a tradicional Descida do Sella (Astúrias), a água do rio corre de forma contínua com uma velocidade de correnteza de $3\text{ km/h}$. Uma canoísta realiza um treino em um trecho de $12\text{ km}$ entre Arriondas e uma meta intermediária.

1. a) Descendo a favor da correnteza (rio abaixo), completa o trecho de $12\text{ km}$ em exatamente $1\text{ hora}$. Modele a velocidade efetiva de descida em função da velocidade própria de remada da atleta ($v_p$) e calcule a que velocidade avançaria se remasse em um reservatório de águas paradas.
2. b) Se, em seguida, decidir voltar rio acima (contra a correnteza) percorrendo os mesmos $12\text{ km}$ com esse mesmo ritmo próprio de remada, calcule quanto tempo demorará para completar a volta.
3. c) Se, devido a chuvas intensas, a velocidade da correnteza aumentasse temporariamente para $9\text{ km/h}$, o que aconteceria fisicamente ao tentar subir o rio contra a correnteza com o seu ritmo habitual? Justifique a sua resposta com base nos dados.

Em uma pista circular de atletismo de $400$ m de comprimento, dois corredores partem do mesmo ponto ao mesmo tempo. O corredor A corre a $6$ m/s e o corredor B a $8$ m/s. Calcule quanto tempo levarão para se encontrar pela primeira vez se correrem em sentidos opostos, e quanto tempo levarão para se encontrar se correrem no mesmo sentido.

Um remador profissional leva $2$ horas para percorrer $12$ km rio acima remando contra a correnteza e $1$ hora para percorrer a mesma distância rio abaixo a favor da correnteza. Formule um sistema de equações para determinar a velocidade do barco em águas calmas e a velocidade da correnteza do rio.

Um veículo A parte de uma cidade a uma velocidade de $v$ km/h. Um tempo de $h$ horas depois, um veículo B parte em sua perseguição a partir do mesmo ponto a uma velocidade de $v + k$ km/h. Expresse algebricamente o tempo que o veículo B leva para alcançar o veículo A em função dos parâmetros $v$, $h$ e $k$.

Duas cidades A e B estão separadas por $300$ km. Um carro sai de A em direção a B a $100$ km/h e outro carro sai de B em direção a A a $80$ km/h exatamente ao mesmo tempo. Em que dois instantes de tempo a distância que os separa será exatamente de $30$ km?

Em um aeroporto, uma esteira rolante horizontal de $120$ m de comprimento se move a $1$ m/s. Uma pessoa caminha sobre a esteira a uma velocidade constante $v$ em relação à própria esteira. Se leva $40$ segundos para percorrer a esteira caminhando a favor do movimento, quanto levaria para percorrê-la caminhando no sentido contrário ao movimento da esteira?

Um desfile de $3$ km de comprimento avança por uma avenida a uma velocidade constante de $5$ km/h. Um fotógrafo de bicicleta parte do final do desfile, avança até a frente para tirar algumas fotos e retorna imediatamente ao final. Se a velocidade da bicicleta é de $15$ km/h, qual foi a distância total percorrida pelo fotógrafo em relação ao solo?

Em uma corrida de revezamento de $100$ km por etapas de montanha, o primeiro atleta corre a $12$ km/h e entrega o bastão ao segundo atleta, que corre a $16$ km/h até alcançar a linha de chegada. Se o tempo total da corrida foi de $7$ horas ininterruptas, qual distância em quilômetros foi percorrida por cada um dos dois atletas?

Dois móveis se deslocam com velocidade constante sobre um circuito. Se eles se movem na mesma direção e sentido, o mais rápido alcança o mais lento a cada $20$ segundos. Se eles se movem em sentidos opostos, cruzam-se a cada $4$ segundos. Sabendo que a pista é circular e mede $100$ m, calcule a velocidade em m/s de cada um dos móveis.

Na sala técnica de supervisão da ferrovia, monitora-se o cruzamento de dois trens que circulam numa linha ferroviária de $450\text{ km}$ entre Zaragoza e Madrid. O sistema informático de controle apresenta a seguinte equação para determinar o momento do cruzamento:

$v \cdot 2 + (v + 25) \cdot 2 = 450$

1. a) Interprete matematicamente cada um dos elementos da equação e redija um enunciado de problema coerente e completo que dê origem exatamente a essa expressão (você deve definir com clareza que grandeza representa a incógnita $v$, o que significa o termo $(v + 25)$, o que representa o número $2$ e o que significa a soma igualada a $450$).
2. b) Resolva a equação, calcule a velocidade média de cada um dos dois trens e determine a que distância de Zaragoza ocorre o encontro se o trem que viaja à velocidade $v$ tiver partido dessa cidade.
3. c) Modifique a equação original para representar uma situação diferente: ambos os trens mantêm as velocidades calculadas, mas o segundo trem se atrasa e parte $20\text{ minutos}$ depois do primeiro.

A Direção-Geral de Trânsito (DGT) tem instalado um radar de troço na autoestrada AP-6 na serra de Guadarrama. O troço vigiado mede exatamente $8\text{ km}$ e a velocidade máxima legal permitida é de $100\text{ km/h}$. Um veículo entra no referido troço às $15:00:00\text{ h}$ e percorre os primeiros $5\text{ km}$ a uma velocidade constante de $125\text{ km/h}$. Nesse ponto, o condutor repara na presença do controlo e reduz imediatamente a sua velocidade, mantendo-a constante durante os $3\text{ km}$ restantes.

1. a) Determine o tempo mínimo que a lei exige para percorrer os $8\text{ km}$ completos do trecho sem ser multado (expresse-o em minutos e segundos) e calcule quanto tempo o motorista já gastou nos primeiros $5\text{ km}$.
2. b) Modele e calcule qual é a velocidade máxima constante em que ele pode percorrer os $3\text{ km}$ restantes para que a velocidade média em todo o trecho não ultrapasse os $100\text{ km/h}$. Bastaria ele reduzir a sua velocidade exatamente para $100\text{ km/h}$? Justifique a sua resposta.
3. c) Se durante esses últimos $3\text{ km}$ ele circular a $75\text{ km/h}$, a que hora exata (horas, minutos e segundos) a câmera de saída registrará a sua passagem? Conclua, comparando os tempos, se ele receberá ou não uma multa.