Exercícios: Ângulo central e inscrito

Numa circunferência de centro $O$, os pontos $A$, $B$ e $C$ estão sobre a circunferência, com $C$ no arco maior determinado por $A$ e $B$. O ângulo central $A\hat{O}B$ e o ângulo inscrito $A\hat{C}B$ subentendem o mesmo arco $AB$. A turma de Beatriz mediu os dois ângulos em várias figuras e quer verificar a conjectura de que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central.

1. a) Numa figura, o ângulo central mede $80^\circ$. Se a conjectura é verdadeira, quanto deve medir o ângulo inscrito?
2. b) Noutra figura, o ângulo central mede $130^\circ$ e o ângulo inscrito medido foi $65^\circ$. A medida confirma a conjectura? Justifique.
3. c) Numa terceira figura, o ângulo inscrito mede $42^\circ$. Quanto deve medir o ângulo central correspondente?
4. d) Um aluno mediu ângulo central $100^\circ$ e ângulo inscrito $60^\circ$. Explique por que essa medição está certamente errada.

Usando a propriedade de que o ângulo inscrito é a metade do ângulo central que subentende o mesmo arco, deduza um resultado clássico: todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

1. a) Seja $\overline{AB}$ um diâmetro de uma circunferência de centro $O$. Quanto mede o ângulo central $A\hat{O}B$? Justifique.
2. b) Seja $C$ um ponto qualquer da circunferência, distinto de $A$ e de $B$. Aplique a relação entre ângulo inscrito e ângulo central para concluir quanto mede o ângulo $A\hat{C}B$.
3. c) Conclua que o triângulo $ABC$ é retângulo e indique qual lado é a hipotenusa.
4. d) Aplique o resultado: um carpinteiro quer verificar se um arco de madeira é uma semicircunferência perfeita. Ele escolhe um ponto do arco e mede o ângulo sob o qual se veem as duas extremidades. Se o arco é uma semicircunferência, quanto deve medir esse ângulo? Justifique.

Numa praça circular de Pelotas, o palco ocupa uma corda $\overline{AB}$ da circunferência que delimita a área do público. Dois espectadores estão nos pontos $P$ e $Q$, ambos sobre o mesmo arco (o arco maior determinado por $A$ e $B$). O organizador afirma que os dois veem o palco sob o mesmo ângulo. Demonstre essa afirmação.

1. a) Escreva, em função do ângulo central $A\hat{O}B$, a medida do ângulo inscrito $A\hat{P}B$, justificando com a relação entre ângulo inscrito e ângulo central sobre o mesmo arco.
2. b) Faça o mesmo para o ângulo inscrito $A\hat{Q}B$.
3. c) Conclua que $A\hat{P}B = A\hat{Q}B$ e enuncie o resultado geral: ângulos inscritos que subentendem o mesmo arco são...
4. d) Se o ângulo central do palco é $A\hat{O}B = 70^\circ$, sob que ângulo cada espectador vê o palco?