Longueurs et orthogonalité dans l'espace
Tu déménages et tu veux faire entrer une barre de rideau de $1{,}05$ m dans un carton de $80 \times 60 \times 40$ cm. Elle ne rentre pas à plat dans le sens de la longueur, mais peut-elle passer en diagonale ? Pour le savoir, il faut calculer une longueur dans l'espace. Bonne nouvelle : tout ce que tu connais dans le plan (norme, produit scalaire, orthogonalité, angle) fonctionne de la même façon, avec une coordonnée de plus.
Coordonnées, norme et distance
Dans l'espace, on travaille dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ : trois axes deux à deux perpendiculaires, avec la même unité de longueur. Un point s'écrit $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et un vecteur $\vec u\,(x\,;y\,;z)$.
Pourquoi ? On applique deux fois le théorème de Pythagore : d'abord dans le plan horizontal pour obtenir $\sqrt{x^2+y^2}$, puis dans un triangle rectangle vertical avec la hauteur $z$. D'où $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Réponse à la barre de rideau : $105 < 107{,}7$, elle entre en diagonale ; $110 > 107{,}7$, elle n'entre pas.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;2)$ et $B(4\,;4\,;2)$. a) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$. b) Calculer la distance $AB$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;2)$ et $B(4\,;4\,;2)$.
- a) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
- b) Calculer la distance $AB$.
Produit scalaire et orthogonalité
Le produit scalaire se calcule dans l'espace comme dans le plan : il suffit d'ajouter une coordonnée.
Pourquoi ? Avec la formule $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$, le produit est nul quand $\cos\theta=0$, donc quand l'angle est droit (ou qu'un des vecteurs est nul).
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec{u}(1\,;2\,;-2)$ et $\vec{v}(3\,;-1\,;2)$. a) Calculer $\|\vec{u}\|$. b) Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec{u}(1\,;2\,;-2)$ et $\vec{v}(3\,;-1\,;2)$.
- a) Calculer $\|\vec{u}\|$.
- b) Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, les vecteurs $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}(1\,;5\,;1)$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Dans un repère orthonormé de l'espace, les vecteurs $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}(1\,;5\,;1)$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Calculer un angle dans l'espace
Trois points non alignés $A$, $B$, $C$ sont toujours dans un même plan : on peut y calculer l'angle $\widehat{BAC}$ avec le produit scalaire.
Pourquoi ? C'est la formule $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$, que l'on divise par les normes (non nulles).
Pour montrer qu'un triangle est rectangle en $A$, on peut calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ; pour montrer qu'il ne l'est pas, il faut le faire pour chaque sommet (ou utiliser la réciproque de Pythagore avec les trois longueurs).
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;1\,;0)$, $B(3\,;2\,;1)$ et $C(2\,;4\,;-1)$. a) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. b) Calculer…
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;1\,;0)$, $B(3\,;2\,;1)$ et $C(2\,;4\,;-1)$.
- a) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
- b) Calculer $AB$ et $AC$.
- c) En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(0\,;0\,;0)$, $B(2\,;0\,;0)$, $C(0\,;3\,;0)$ et $D(0\,;0\,;6)$. a) Montrer que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont…
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(0\,;0\,;0)$, $B(2\,;0\,;0)$, $C(0\,;3\,;0)$ et $D(0\,;0\,;6)$.
- a) Montrer que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont orthogonales.
- b) Calculer les longueurs $BC$, $BD$ et $CD$.
- c) Montrer que le triangle $BCD$ n'est pas rectangle.
Se repérer dans un cube
Beaucoup de problèmes se placent dans un cube $ABCDEFGH$. On choisit le repère $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, qui est orthonormé si l'arête vaut 1 (voir la figure de la première section).
Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, avec $A$ l'origine du repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$. a) Donner les coordonnées…
Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, avec $A$ l'origine du repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.
- a) Donner les coordonnées de $C$, $F$ et $H$.
- b) Montrer que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD} = 0$ puis que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE} = 0$.
- c) Calculer la longueur de la diagonale $AG$.
Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a>0$ dans un repère orthonormé d'origine $A$ dont les axes sont dirigés respectivement par $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$…
Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a>0$ dans un repère orthonormé d'origine $A$ dont les axes sont dirigés respectivement par $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$. Le point $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[CG]$.
- a) Donner les coordonnées de $I$ et $J$ en fonction de $a$.
- b) Calculer $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}$ et les longueurs $AI$ et $AJ$.
- c) En déduire $\cos\widehat{IAJ}$ puis une valeur approchée de l'angle au degré près.
Plans et sphères
Vecteur normal et plan
Un vecteur $\vec n\neq\vec 0$ est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Pourquoi ? $M$ est dans le plan exactement quand $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec n$. Il suffit d'écrire le produit scalaire en coordonnées.
Sphère
Pourquoi ? $\Omega M=r\iff\Omega M^2=r^2$ car ces nombres sont positifs, et $\Omega M^2=\overrightarrow{\Omega M}\cdot\overrightarrow{\Omega M}$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$. a) Montrer que le triangle $ABC$ n'est pas isocèle. b) Soit…
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$.
- a) Montrer que le triangle $ABC$ n'est pas isocèle.
- b) Soit $H(x\,;y\,;z)$ le pied de la hauteur issue de $O$ dans le tétraèdre $OABC$ sur le plan $(ABC)$ ; on admet que $\overrightarrow{OH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Montrer que $H$ appartient à la droite engendrée par $\vec{n}(6\,;3\,;2)$ en montrant que $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
- c) En déduire les coordonnées de $H$ sachant que $H$ appartient à $(ABC)$ et que $6x + 3y + 2z = 6$.
- d) Calculer la distance $OH$.
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la sphère $S$ de centre $\Omega(1\,;2\,;3)$ et de rayon $3$, et le point $A(3\,;4\,;4)$. a) Montrer que $A$…
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la sphère $S$ de centre $\Omega(1\,;2\,;3)$ et de rayon $3$, et le point $A(3\,;4\,;4)$.
- a) Montrer que $A$ appartient à $S$.
- b) Montrer que $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $S$ si et seulement si $\overrightarrow{\Omega M}\cdot\overrightarrow{\Omega M} = 9$.
- c) Déterminer l'ensemble des points $M$ de $S$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A} = 0$ : donner la nature de cet ensemble en utilisant une équation.
- d) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan d'équation $2x + 2y + z = 12$ et en déduire la position de ce plan par rapport à $S$.