Angle entre deux droites. Parallélisme et perpendicularité

Déterminer l'angle que forme la droite $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ avec la direction positive de l'axe des abscisses.

Calculer l'angle aigu formé par les droites $r: 2x - y + 4 = 0$ et $s: 3x + y - 1 = 0$.

Calculer l'angle formé par les droites données par leurs équations réduites $y = 2x + 1$ et $y = -3x + 4$.

Marcos doit calculer la mesure de l'angle formé par les droites $r: 2x - y + 3 = 0$ et $s: 3x + y - 5 = 0$. Pour cela, il exprime leurs coefficients directeurs et obtient $m_r = 2$ et $m_s = -3$. Ensuite, il applique la formule de l'angle :

Marcos en déduit que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ et argumente : « Comme un angle géométrique entre deux droites ne peut pas être négatif, j'ajoute $180^\circ$ et la solution est $135^\circ$ ».

1. a) Relever les deux erreurs conceptuelles commises par Marcos (l'une dans la formule appliquée elle-même et l'autre dans l'interprétation de l'angle qui définit la position relative de deux droites sécantes).
2. b) Expliquer pourquoi, en géométrie euclidienne, l'angle entre deux droites est toujours pris non obtus, c'est-à-dire compris dans l'intervalle $[0^\circ ; 90^\circ]$ (ou $[0 ; \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Corriger la démarche et calculer la mesure correcte de l'angle aigu, en l'exprimant en degrés et en radians (en fonction de $\pi$).

On considère les droites $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ et $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Sans utiliser encore les formules de calcul de l'angle entre deux droites, relier le coefficient directeur de chaque droite à son angle d'inclinaison par rapport au demi-axe positif des abscisses ($m = \tan \theta$). À partir de cette relation, estimer par un raisonnement la valeur exacte de l'angle aigu $\alpha$ qu'elles forment entre elles (en degrés et en radians).
2. b) Vérifier analytiquement cette estimation en calculant l'angle à l'aide du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs avec l'expression $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Vérifier à nouveau le résultat en appliquant la formule de la tangente à partir des coefficients directeurs : $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. Pourquoi les trois démarches coïncident-elles et à quoi sert-il d'estimer avant de calculer ?

Démontrer que si deux droites $r: ax + by + c = 0$ et $s: a'x + b'y + c' = 0$ se coupent en formant un angle $\alpha$, alors $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliser ce résultat pour déterminer les équations cartésiennes des droites passant par $P(1\,;\,1)$ et formant un angle $\alpha$ tel que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ avec la droite $2x - y + 3 = 0$.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite parallèle à $y = 3x - 5$ passant par le point $P(2 ; -1)$.

Étant données les droites $r: kx - 2y + 5 = 0$ et $s: 3x + 4y - 1 = 0$, déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les deux droites soient parallèles.

Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $x + 4y - 7 = 0$ passant par l'origine du repère. Exprimer le résultat sous forme réduite.

Déterminer la valeur de $m$ pour que les droites $r: 5x + 2y = 0$ et $s: mx - 5y + 3 = 0$ soient perpendiculaires.

Indiquer parmi les droites suivantes lesquelles sont parallèles et lesquelles sont perpendiculaires entre elles :

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Calculer les valeurs du paramètre $k$ pour que la droite $kx + y - 2 = 0$ forme un angle de $45^\circ$ avec la droite d'équation $x - 2y + 1 = 0$.

Deux avions suivent des trajectoires rectilignes sur l'écran d'un radar, données par les équations $r: x - 3y + 2 = 0$ et $s: 2x + ky - 5 = 0$. Déterminer la ou les valeurs de $k$ pour que leurs routes se croisent en formant un angle exact de $60^\circ$.

On considère la famille de droites $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, où $k \in \mathbb{R}$, et la droite fixe $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $r_k$ est perpendiculaire à $s$, en vérifiant la condition à la fois avec le produit des coefficients directeurs et avec le produit scalaire des vecteurs directeurs.
2. b) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $r_k$ et $s$ sont parallèles.
3. c) On cherche à ce que l'angle aigu entre $r_k$ et $s$ soit exactement $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Poser l'équation correspondante (avec les coefficients directeurs ou les vecteurs), la résoudre et déterminer combien de valeurs de $k$ vérifient cette condition.
4. d) Exprimer l'équation de la famille sous la forme $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ pour démontrer que toutes les droites $r_k$ passent par un même point fixe $Q$ (faisceau de droites sécantes). En utilisant cette propriété géométrique, justifier pourquoi il était prévisible d'obtenir exactement deux valeurs de $k$ à la question c), une à la question a) et une à la question b).

Étant donnée la famille de droites dépendant du paramètre $k \in \mathbb{R}$ : $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Démontrer que toutes les droites de cette famille passent par un même point fixe et calculer ses coordonnées. Ensuite, déterminer la valeur de $k$ pour obtenir la droite de la famille qui est perpendiculaire à $3x - y + 2 = 0$.

Un rayon laser se propage le long de la droite $y = -2x + 5$ et se réfléchit sur un miroir plan situé sur l'axe des abscisses. Calculer l'angle d'incidence (angle entre le rayon et la normale au miroir) et déterminer l'équation de la droite qui contient le rayon réfléchi.

Déterminer les équations des bissectrices des angles formés par les droites $r: 3x - 4y + 5 = 0$ et $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Démontrer analytiquement, à l'aide de leurs vecteurs directeurs ou de leurs coefficients directeurs, que ces deux bissectrices sont perpendiculaires entre elles.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite symétrique de $r: 2x - 3y + 6 = 0$ par rapport à la droite $s: x + y - 1 = 0$.

Démontrer que si deux droites $r: ax + by + c = 0$ et $s: a'x + b'y + c' = 0$ se coupent en formant un angle $\alpha$, alors $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliser ce résultat pour déterminer les équations cartésiennes des droites passant par $P(1\,;\,1)$ et formant un angle $\alpha$ tel que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ avec la droite $2x - y + 3 = 0$.

Dans l'aménagement d'un parc, une nouvelle avenue doit être perpendiculaire à la rue principale définie par l'équation $3x - 4y + 10 = 0$. De plus, cette avenue doit passer par le point d'intersection des rues secondaires $x + y - 2 = 0$ et $2x - y - 4 = 0$. Déterminer l'équation cartésienne de la nouvelle avenue.

Étant donné un triangle de sommets $A(1 ; 2)$, $B(5 ; 3)$ et $C(4 ; 6)$, déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $A$ et calculer l'angle que forme cette hauteur avec le côté $AB$.

Dans le plan d'une structure métallique, une poutre de soutien principale repose sur la droite passant par les nœuds $P(-2 ; 4)$ et $Q(4 ; 1)$. On doit souder une seconde poutre perpendiculaire à la première exactement en son milieu. Déterminer l'équation réduite de la droite qui définit cette seconde poutre.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l'origine du repère $(0 ; 0)$ sur la droite d'équation $2x - 5y + 10 = 0$.