Taux de variation d'une fonction

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = 3x - 5$ sur l'intervalle $[1\,;\,4]$. Cette valeur coïncide-t-elle avec le coefficient directeur de la droite représentant la fonction ?

Déterminer le taux de variation de la fonction du second degré $g(x) = x^2 - 4x + 1$ sur les intervalles $[0 ; 2]$ et $[2 ; 4]$.

Soit la fonction $h(t) = t^3 + 2t$. Déterminer son taux de variation sur l'intervalle $[-1\ ;\ 2]$.

Calculer le taux de variation de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ sur l'intervalle $[2\,;\,5]$.

Déterminer le taux de variation de la fonction racine $p(x) = \sqrt{x + 3}$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ représentée sur la figure. Calculer le taux de variation sur l'intervalle $[-2 ; 2]$. Quelle interprétation géométrique ce nombre a-t-il par rapport à la sécante tracée ?

Soit la fonction $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Déterminer l'équation de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $x = 1$ et $x = 4$. Quel lien y a-t-il entre le coefficient directeur de cette droite et le taux de variation sur cet intervalle ?

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ sur l'intervalle générique $[a ; a+h]$, en simplifiant au maximum l'expression obtenue.

On souhaite étudier le taux de variation moyen (noté TVM) de la fonction du second degré $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ sur trois intervalles partant du même point $a = 1$ : $[1 ; 2]$, $[1; 1,5]$ et $[1; 1,1]$. Deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Clara : calculer séparément $f(b)$ et $f(1)$ pour chaque borne et appliquer la formule $\text{TVM} = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ trois fois de façon indépendante.

• Méthode de Daniel : exprimer la borne supérieure sous la forme $1+h$, en déduire une formule algébrique générale simplifiée pour $\text{TVM}[1 ; 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ en fonction de l'accroissement $h$, puis particulariser en remplaçant $h = 1$, $h = 0,5$ et $h = 0,1$.

1. a) Appliquer la méthode de Daniel : développer et simplifier au maximum l'expression littérale de $\text{TVM}[1 ; 1+h]$ et déterminer les trois valeurs demandées.
2. b) Appliquer la méthode de Clara uniquement pour l'intervalle $[1; 1,1]$ et vérifier que les deux méthodes conduisent exactement au même résultat.
3. c) Argumenter laquelle des deux méthodes est la plus avantageuse lorsqu'il faut évaluer de nombreux intervalles ayant la même origine $a = 1$, et expliquer comment l'expression obtenue par Daniel permet de déduire la tendance du taux lorsque l'accroissement $h$ devient pratiquement nul.

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ sur l'intervalle $[2 ; 2+h]$. Déterminer ensuite vers quelle valeur tend ce taux de variation lorsque $h$ tend vers $0$.

La distance en mètres parcourue par un cycliste en fonction du temps en secondes est donnée par l'expression $d(t) = 2t^2 + 5t$. Quelle a été sa vitesse moyenne entre les instants $t = 2$ et $t = 5$ ?

La température en degrés Celsius d'un four industriel évolue selon la fonction $T(t) = 20 + 5t - t^2$, où $t$ est le temps en minutes. Calculer le taux de variation de la température pendant les $3$ premières minutes.

Les bénéfices mensuels d'une entreprise, en milliers d'euros, sont donnés par la fonction $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, où $x$ est la somme investie en publicité en milliers d'euros. Calculer le taux de variation du bénéfice lorsque l'investissement publicitaire passe de $3$ à $6$ milliers d'euros, et interpréter le résultat.

Du haut d'une falaise, on lance verticalement vers le haut une fusée de détresse. Sa hauteur en mètres par rapport au niveau de la mer après $t$ secondes est donnée par $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Déterminer la vitesse moyenne de la fusée sur les intervalles $[1 ; 3]$ et $[3 ; 5]$. Que signifie le signe des résultats obtenus ?

Comparer le taux de variation des fonctions $f(x) = 2^x$ et $g(x) = x^3$ sur l'intervalle $[2 ; 4]$. Laquelle des deux fonctions connaît la plus forte croissance moyenne sur cet intervalle ?

Démontrer que le taux de variation de toute fonction affine $f(x) = mx + n$ sur un intervalle quelconque $[a ; b]$ est toujours constant et égal à $m$.

Le taux de variation de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ sur l'intervalle $[1 ; b]$ est égal à $6$. Sachant que $b > 1$, déterminer la valeur de $b$. Le résultat dépend-il de la valeur de la constante $c$ ?