Interprétation graphique de la dérivée

Calculer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 5$ au point d'abscisse $x = 3$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ au point exact où cette courbe coupe l'axe des ordonnées.

Le nombre d'abonnés d'une chaîne scientifique sur une plateforme vidéo croît selon la fonction exponentielle $S(t) = 500 e^{0,2t}$, où $t$ est mesuré en semaines. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe à l'instant $t = 5$ et l'utiliser pour estimer de façon affine le nombre d'abonnés à $t = 6$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ et la tangente tracée au point d'abscisse $x = 1$. À partir des coordonnées des points $A$ et $B$ indiqués sur la droite, déterminer la valeur du nombre dérivé $f'(1)$.

Observer la courbe de la fonction polynôme $f(x)$. Sans calculer son expression analytique, déterminer le signe du nombre dérivé $f'(x)$ aux points d'abscisses $x = -2$, $x = 0$ et $x = 2$, en indiquant si en ces points la fonction est croissante ou décroissante.

La figure montre la courbe d'une fonction du second degré $f(x)$. À partir de ses éléments géométriques visibles (sommet et points d'intersection avec les axes), déduire l'expression analytique de sa fonction dérivée $f'(x)$.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ en lesquels la tangente est horizontale.

Déterminer en quel point exact de la courbe de la fonction à radicaux $f(x) = \sqrt{x+4}$ la tangente a un coefficient directeur égal à $m = \frac{1}{4}$.

La trajectoire d'un drone d'inspection dans un plan vertical suit la courbe définie par $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, où $x$ et $y$ sont mesurés en mètres. Déterminer en quels points de son parcours la direction de son mouvement est parallèle à la droite d'équation $y = -3x + 5$.

Déterminer l'équation de la normale à la courbe $f(x) = x^3 - 2x$ au point d'abscisse $x = -1$.

Marc doit déterminer l'équation de la normale à la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 6$ au point d'abscisse $x = 3$. Sur sa copie, il écrit la démarche suivante :

« 1. Je calcule l'ordonnée du point : $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 6 = 3$. Le point de tangence est $(3 ; 3)$.

1. Je détermine la fonction dérivée : $f'(x) = 2x - 4$, donc le coefficient directeur de la tangente est $f'(3) = 2\cdot 3 - 4 = 2$.

2. Comme la normale est perpendiculaire à la tangente, son coefficient directeur est l'opposé, c'est-à-dire $m_{\text{normale}} = -2$.

3. J'applique la formule $y - y_A = m(x - x_A)$ : $y - 3 = -2\cdot(x - 3) \implies y = -2x + 9$. »

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc à l'étape 3 et expliquer la relation géométrique correcte entre les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires lorsque aucune d'elles n'est horizontale ni verticale.
2. b) Corriger la démarche et calculer l'équation correcte de la normale.

Un rayon lumineux frappe un miroir parabolique dont la section transversale correspond à la fonction $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si le rayon frappe le point d'abscisse $x = 2$, déterminer l'équation de la normale à la surface en ce point (elle est fondamentale en optique géométrique pour calculer l'angle de réflexion).

La figure montre la courbe de la fonction dérivée $f'(x)$ d'une certaine fonction polynôme $f(x)$. À partir de celle-ci, déterminer analytiquement les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction initiale $f(x)$, et indiquer les abscisses en lesquelles $f(x)$ admet ses extremums locaux.

Un architecte conçoit l'arc principal d'un pont qui a la forme d'une parabole d'équation $f(x) = ax^2 + bx + c$. On sait que l'arc passe par le point $(0 ; 5)$ et qu'au point $(2 ; 9)$ la tangente a pour équation $y = 4x + 1$. Calculer les valeurs exactes des paramètres $a$, $b$ et $c$.

On considère la fonction cubique $f(x) = x^3 + a\cdot x + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels inconnus.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ sachant que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est $y = 5x - 7$. Justifier en détail les deux conditions indépendantes (l'une de contact ou d'appartenance, l'autre de dérivabilité) qu'il faut poser.
2. b) Une fois la fonction fixée avec les coefficients obtenus, chercher s'il existe un autre point de la courbe de $f$ dont la tangente soit parallèle à la droite donnée $y = 5x - 7$. S'il existe, calculer ses coordonnées et l'équation de cette tangente.

Déterminer les équations de toutes les tangentes à la courbe $f(x) = x^2 - 2x + 3$ qui passent par l'origine du repère $(0 ; 0)$. Remarque : tenir compte du fait que l'origine n'appartient pas à la courbe.