Exercices sur le produit scalaire

Calculer le produit scalaire des vecteurs $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (-1, 5)$.

Déterminer la norme du vecteur $\vec{w} = (-5, 12)$.

Sachant que les normes de deux vecteurs sont $|\vec{a}| = 4$ et $|\vec{b}| = 6$, et que l'angle qu'ils forment est de $60^\circ$, déterminer leur produit scalaire.

Déterminer, en justifiant la réponse par une opération mathématique, si les vecteurs $\vec{p} = (4, 6)$ et $\vec{q} = (-3, 2)$ sont orthogonaux.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que les vecteurs $\vec{u} = (k, 3)$ et $\vec{v} = (2, -4)$ soient orthogonaux.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur orthogonal à $\vec{v} = (-7, 2)$ et ayant exactement la même norme.

Lucie veut déterminer un vecteur orthogonal à $\vec{u} = (4, -3)$ ayant exactement la même norme. Dans sa copie, elle écrit : « Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, il suffit de changer le signe de leurs coordonnées, donc le vecteur cherché est $\vec{v} = (-4, 3)$ ».\na) Expliquer en détail l'erreur conceptuelle de Lucie en calculant le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et indiquer quelle relation géométrique lie en réalité $\vec{u}$ et $\vec{v}$.\nb) Écrire les composantes des deux vecteurs qui sont effectivement orthogonaux à $\vec{u}$ et de même norme, en démontrant à l'aide du produit scalaire pourquoi la règle de rotation des composantes $(-u_2, u_1)$ garantit l'orthogonalité.

Déterminer les composantes d'un vecteur $\vec{w}$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :\n1) Il est orthogonal au vecteur $\vec{u} = (3, -4)$.\n2) Sa première composante (abscisse) est strictement positive.\n3) Sa norme est exactement $15$.\nPour le résoudre, déterminer d'abord un vecteur unitaire orthogonal à $\vec{u}$ et expliquer comment le transformer pour qu'il atteigne la norme demandée sans modifier sa direction ni son sens.

Dans le moteur physique d'un jeu vidéo, un personnage situé au point de coordonnées $P(10, 15)$ doit tirer un projectile dans la direction du vecteur $\vec{d} = (3, -4)$ à une vitesse constante de $20$ unités de distance par image. Déterminer le vecteur vitesse $\vec{v}$ exact du projectile, sachant qu'il doit avoir la même direction et le même sens que $\vec{d}$ mais une norme $20$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{w} = (x, y)$ sachant que sa norme est $\sqrt{13}$ et que son produit scalaire avec le vecteur $\vec{v} = (2, 3)$ vaut $13$.

En physique, le travail $W$ effectué par une force constante $\vec{F}$ lorsqu'elle déplace un objet selon un vecteur déplacement $\vec{d}$ se calcule à l'aide du produit scalaire $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si une grue applique une force $\vec{F} = (150, -40)$ newtons pour déplacer un conteneur du point $A(2, 5)$ au point $B(12, 5)$ (coordonnées exprimées en mètres), calculer le travail total effectué.

Dans le parc éolien de Saint-Florent-sur-Auzonnet (Gard), les techniciens suivent le déplacement d'un chariot de maintenance le long d'un rail guide rectiligne du point $A(1 ; 4)$ au point $B(7 ; 12)$, avec des coordonnées exprimées en mètres. Pendant ce trajet, le vent exerce sur le chariot une force constante relevée par les capteurs : $\vec{F} = (80 ; -30)$ newtons.\na) Déterminer le vecteur déplacement $\vec{d} = \vec{AB}$ et calculer le travail mécanique $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ exercé par le vent.\nb) Interpréter le signe du travail obtenu : le vent favorise-t-il ou gêne-t-il l'avancée du chariot ?\nc) Calculer l'angle $\alpha$ formé par le vecteur force $\vec{F}$ et le vecteur déplacement $\vec{d}$ (arrondi au dixième de degré) et justifier si cet angle est cohérent avec votre interprétation du signe du travail.

Calculer le vecteur projeté orthogonal du vecteur $\vec{u} = (4, -3)$ sur le vecteur $\vec{v} = (1, 2)$.

Calculer l'aire exacte du triangle de sommets $A(1 ; 1)$, $B(5 ; 2)$ et $C(3 ; 6)$. Pour cela, utiliser la projection orthogonale du vecteur $\vec{AC}$ sur le vecteur $\vec{AB}$ pour déterminer la hauteur du triangle, et la norme de $\vec{AB}$ comme base.

Calculer l'angle formé par les vecteurs $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ et $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Pour stabiliser le mât d'une antenne de télécommunications, deux câbles sont tendus, ancrés au même point du mât et fixés au sol. Les vecteurs représentant la direction des câbles depuis l'ancrage supérieur vers le sol sont $\vec{T_1} = (-4, -5)$ et $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calculer l'angle formé par les deux câbles au point d'ancrage supérieur.

Déterminer les valeurs possibles du paramètre $m$ pour que les vecteurs $\vec{u} = (m, 1)$ et $\vec{v} = (2, m)$ forment un angle de $30^\circ$.

Sachant que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs unitaires, déterminer l'angle qu'ils doivent former entre eux pour que le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ ait une norme égale à $\sqrt{3}$.

Étant donné les vecteurs $\vec{a} = (3, -1)$ et $\vec{b} = (1, 3)$, exprimer le vecteur $\vec{c} = (7, 1)$ comme combinaison linéaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$. Une fois cela fait, calculer le produit scalaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$ et interpréter géométriquement le résultat.

Des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on sait que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ et qu'ils forment un angle de $120^\circ$. En appliquant les propriétés du produit scalaire, calculer la valeur exacte de l'expression $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

Démontrer de façon vectorielle, en utilisant les propriétés du produit scalaire, que les diagonales de tout losange sont perpendiculaires. Pour cela, considérer un losange engendré par deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de même origine et vérifiant $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

Calculer la distance entre les points $A(2 ; -1)$ et $B(5 ; 3)$ en déterminant au préalable les composantes du vecteur $\vec{AB}$.

Vérifier, en utilisant uniquement le produit scalaire, si le triangle de sommets $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ et $C(3, -1)$ est un triangle rectangle. Si oui, indiquer à quel sommet se trouve l'angle droit.

Pour vérifier si le triangle de sommets $A(1 ; 2)$, $B(5 ; 5)$ et $C(-2 ; 6)$ est rectangle, deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :\n- Irène propose de calculer les vecteurs des côtés issus de chaque sommet et de vérifier si le produit scalaire de l'un des couples est égal à $0$.\n- David propose de calculer la longueur des trois côtés à l'aide de distances entre points et de vérifier si les mesures obtenues vérifient le théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$).\na) Appliquer la méthode d'Irène en calculant les vecteurs correspondants et déterminer à quel sommet se trouve l'angle droit, s'il existe.\nb) Analyser et justifier laquelle des deux méthodes est la plus avantageuse en géométrie analytique, en considérant le nombre d'opérations nécessaires et le maniement des racines carrées.

Étant donné les points $A(-2 ; 1)$ et $B(4 ; 5)$, déterminer les coordonnées d'un point $C$ situé sur l'axe des abscisses de sorte que le triangle $ABC$ soit rectangle avec l'angle droit au sommet $C$. Combien y a-t-il de solutions possibles pour le point $C$ ?

Un bras robotisé industriel se déplace dans un plan. Sa pince se trouve initialement au point $P(2 ; 5)$ et doit se déplacer en ligne droite jusqu'à un point $Q$ situé sur un tapis roulant, dont la trajectoire est définie par la droite $x - 2y + 4 = 0$. Si le vecteur déplacement $\vec{PQ}$ doit être orthogonal à la direction du tapis roulant, déterminer les coordonnées exactes du point $Q$.

Déterminer les coordonnées de tous les vecteurs $\vec{a} = (x, y)$ formant un angle exact de $45^\circ$ avec le vecteur $\vec{b} = (2, -2)$ et dont la norme est exactement la moitié de celle de $\vec{b}$.

Lors de l'installation d'un panneau solaire, le vecteur normal (perpendiculaire à la surface du panneau) est donné par $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Les rayons du soleil arrivent sur le panneau selon le vecteur $\vec{s} = (1, -1)$. Calculer la valeur positive du paramètre $k$ pour que l'angle d'incidence (l'angle formé par le vecteur normal $\vec{n}$ et le vecteur opposé aux rayons du soleil $-\vec{s}$) soit de $60^\circ$.

On considère les vecteurs fixes du plan $\vec{u} = (1\,;\,5)$ et $\vec{v} = (2\,;\,1)$. Pour chaque valeur du paramètre réel $t$, on définit le vecteur combiné $\vec{w}(t) = \vec{u} + t\vec{v}$. On cherche la valeur exacte de $t$ pour laquelle $\vec{w}(t)$ est orthogonal à $\vec{v}$.\na) Avant de calculer, faire une estimation qualitative justifiée : esquisser la position relative de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans le premier quadrant. Puisqu'ils forment un angle aigu, le paramètre $t$ doit-il être positif ou négatif pour que la combinaison linéaire obtienne une direction orthogonale à $\vec{v}$ ? Estimer, en justifiant, entre quels deux entiers consécutifs doit se situer $t$.\nb) Poser la condition algébrique à l'aide du produit scalaire $\vec{w}(t) \cdot \vec{v} = 0$ et déterminer la valeur exacte de $t$.\nc) Vérifier si le résultat numérique confirme votre estimation préalable et expliquer géométriquement pourquoi ce vecteur $\vec{w}(t)$ représente le segment de longueur minimale reliant l'extrémité de $\vec{u}$ à la droite qui contient $\vec{v}$.

Dans l'espace aérien proche de Paris-Roissy, la trajectoire de départ d'un aéronef suit le vecteur directeur $\vec{d} = (12 ; 5)$ en milles nautiques. Pour des raisons de séparation du trafic, il faut programmer une manœuvre d'évitement décrite par un vecteur $\vec{v} = (x ; y)$ vérifiant simultanément trois conditions :\n1) Il doit être strictement orthogonal à la trajectoire $\vec{d}$.\n2) Sa norme doit être exactement de $39$ milles nautiques.\n3) Il doit présenter une composante dans le sens du vent dominant $\vec{w} = (1 ; 2)$, ce qui exige que $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$.\na) Déterminer les composantes cartésiennes exactes du vecteur d'évitement $\vec{v}$ après avoir évalué laquelle des deux orientations orthogonales possibles satisfait la contrainte imposée par le vent.\nb) Démontrer analytiquement que, pour tout vecteur non nul $\vec{u} = (u_1 ; u_2)$, les deux seuls vecteurs orthogonaux à celui-ci de norme fixée $m > 0$ sont donnés par l'expression $\vec{p} = \pm m \cdot \dfrac{(-u_2 ; u_1)}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}}$, en justifiant chaque étape à partir du produit scalaire et de la notion de vecteur unitaire.

Défi du thème. Comment orienter un panneau solaire pour maximiser l'énergie captée dans votre commune ?

1. Recueil de données : Consulter sur le site de Météo-France ou de PVGIS la hauteur et l'azimut du Soleil dans votre commune à quatre moments d'une journée ensoleillée. Écrire les coordonnées du vecteur unitaire solaire $\vec{s}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ pour chaque instant mesuré.

2. Modélisation avec le produit scalaire : Définir le vecteur unitaire perpendiculaire au panneau $\vec{n}$, dépendant de l'angle d'inclinaison $\theta$. La puissance relative captée est donnée par le produit scalaire $P(\theta) = \vec{s} \cdot \vec{n} = |\vec{s}| |\vec{n}| \cos(\alpha)$ (s'il est négatif, le Soleil est derrière le panneau et on prend $P = 0$). Saisir les données dans GeoGebra ou dans un tableur et calculer $P(\theta)$ pour différents angles (avec des pas de $5^\circ$ ou $0,1$ rad).

3. Optimisation avec les dérivées : Modéliser la fonction d'énergie totale captée en fonction de l'angle $\theta$, $E(\theta)$. Appliquer le calcul de dérivées : déterminer le taux de variation instantané $E'(\theta)$ et identifier l'angle optimal en résolvant $E'(\theta) = 0$.

Remettre un court rapport technique avec vos données, le tableau de valeurs, les dérivées calculées et votre proposition justifiée d'inclinaison.

Seront évalués :

• La précision dans le relevé des données réelles et la détermination des vecteurs directeurs.

• L'application rigoureuse du produit scalaire pour modéliser l'énergie projetée.

• L'habileté dans le calcul et l'interprétation géométrique des dérivées pour optimiser l'angle.

• La clarté et la justification rigoureuse dans le rapport final.