Dérivée d'un polynôme

Calculer la fonction dérivée de la fonction polynôme suivante : $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Calculer la dérivée de la fonction $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ en effectuant d'abord le produit des polynômes.

Dans un devoir en classe, Charles devait dériver la fonction polynôme $f(x) = 4x^3 - 7x + 5^2$. Dans son cahier, il a écrit la démarche suivante :

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Charles en dérivant le terme $5^2$. Pourquoi n'est-il pas correct d'appliquer la formule de dérivation d'une puissance $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ à une base constante ?
2. b) Écrire l'expression correcte de la fonction dérivée $f'(x)$.
3. c) Calculer la valeur de $f'(2)$ et interpréter sa signification géométrique par rapport à la tangente à la courbe en $x = 2$.

Étant donné la fonction décrivant la trajectoire d'une particule $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, où $s$ est en mètres et $t$ en secondes, déterminer l'expression de sa vitesse instantanée $v(t)$.

Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ au point d'abscisse $x = -1$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $y = x^3 - 5x + 2$ au point où elle coupe l'axe des ordonnées.

Le profil d'un câble de pont suspendu est approché par la parabole $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, où $x$ et $y$ sont exprimés en mètres. Calculer le coefficient directeur de la tangente au câble au point situé à $40$ mètres de l'origine.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en lesquels la tangente est parallèle à la première bissectrice du repère.

Déterminer l'abscisse des points de la courbe $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ où la tangente forme un angle de $45^\circ$ avec le demi-axe positif des abscisses.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la parabole $y = ax^2 + bx + 5$ passe par le point $(1 ; 2)$ et admette en ce point une tangente de coefficient directeur égal à $-1$.

Déterminer l'équation d'une parabole de la forme $y = ax^2 + bx + c$ sachant qu'elle est tangente à la droite $y = -2x + 5$ au point d'abscisse $x = 1$ et qu'elle passe par le point $(-1 ; 15)$.

Étant données les paraboles $f(x) = x^2$ et $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, déterminer les équations de toutes les droites qui sont tangentes simultanément aux deux courbes.

Déterminer les points singuliers (ceux où la dérivée s'annule) de la fonction du second degré $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Pour localiser les points à tangente horizontale de la courbe polynomiale $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Hugo propose de résoudre l'équation $f(x) = 0$ pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses et de supposer que les points singuliers se situent exactement au milieu de chaque couple d'intersections consécutives, en s'appuyant sur la symétrie qu'il se rappelait des paraboles.

• Irène propose de calculer la fonction dérivée $f'(x)$ et de résoudre directement l'équation $f'(x) = 0$.

1. a) Comparer de façon critique les deux démarches : justifier pourquoi la stratégie de Hugo n'est pas valable pour ce polynôme de degré 3 et préciser pour quel type de polynômes son intuition géométrique fonctionnerait.
2. b) Appliquer la méthode correcte pour déterminer les abscisses de tous les points singuliers de $f(x)$.
3. c) Calculer les coordonnées complètes $(x, y)$ de ces points singuliers et les classer en justifiant (maximum ou minimum local) en étudiant le signe de $f'(x)$ à gauche et à droite de chacun.

Lors d'un débat sur les propriétés des fonctions cubiques, Serge formule l'affirmation suivante : « Comme la fonction dérivée de tout polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (avec $a \neq 0$) est un polynôme du second degré, et que, d'après la formule quadratique, les équations du second degré ont deux solutions, tout polynôme de degré 3 a obligatoirement deux points singuliers ».

1. a) Réfuter rigoureusement l'argument de Serge en expliquant quelle erreur il commet sur les solutions d'une équation du second degré dans l'ensemble des nombres réels. Construire un contre-exemple explicite de polynôme de degré 3 (à coefficients numériques simples) qui n'a aucun point singulier et le démontrer à l'aide de sa dérivée.
2. b) Considérer la famille de polynômes dépendant du paramètre réel $k$ :

Calculer la dérivée $g'(x)$ et déterminer en justifiant pour quelles valeurs du paramètre $k$ la fonction $g(x)$ :

• possède exactement deux points singuliers distincts ;

• possède un unique point singulier à tangente horizontale ;

• est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$ car elle n'a aucun point singulier.

Démontrer que la fonction polynôme $f(x) = x^3 + 2x + 5$ est strictement croissante sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$ et que, par conséquent, sa courbe n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Une étude environnementale modélise la concentration d'un polluant dans un lac par la fonction $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, où $t$ représente les mois écoulés depuis le début de l'année. Déterminer pendant quels mois la concentration du polluant augmente et pendant quels mois elle diminue.

Calculer la dérivée seconde, $f''(x)$, de la fonction polynôme $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

Le niveau de pollution sonore à un carrefour urbain de 8 h 00 à 18 h 00 est modélisé par la fonction $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis 8 h 00. Déterminer l'instant $t$ où le niveau de bruit diminue le plus rapidement.

Déterminer les coefficients $a, b, c, d$ de la fonction polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sachant que sa courbe passe par l'origine du repère, admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 2$ et présente un point d'inflexion en $(1 ; -2)$.

Le coût de production, en euros, de $x$ unités d'un produit artisanal est donné par $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Déterminer la fonction de coût marginal, $C'(x)$.

Un projectile est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après $t$ secondes est donnée par $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$. Calculer le temps qu'il met pour atteindre sa hauteur maximale, sachant qu'en ce point sa vitesse instantanée est nulle.

Une entreprise fabrique et vend $x$ unités d'un article technologique. La fonction de recette est donnée par $I(x) = 1200x - 2x^2$ et la fonction de coût total est $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Déterminer le nombre d'unités à produire pour maximiser le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.