Fonction exponentielle
Le nombre de vues d'une vidéo sur un réseau social double toutes les heures. Une tasse de café se refroidit : l'écart avec la température de la pièce est divisé par un même facteur à chaque intervalle de temps égal. Dans les deux cas, le temps $t$ n'est pas dans la base mais dans l'exposant. C'est ce qu'on étudie ici : comment une quantité qui est multipliée par un même facteur à chaque étape évolue, et comment passer du modèle discret (suites géométriques) au modèle continu.
Des suites géométriques à la fonction exponentielle
Une suite géométrique de raison $q>0$ s'écrit $u_n = u_0\, q^n$ : l'exposant $n$ est un entier. Pour décrire un phénomène continu (le temps s'écoule sans « sauts »), on veut une fonction $x \mapsto q^x$ définie pour tout réel $x$.
On retient que la pente de la tangente à la courbe en un point est égale à l'ordonnée de ce point : plus la quantité est grande, plus elle croît vite. En $x=0$, la courbe passe par $(0 ; 1)$ avec une tangente de coefficient directeur $1$.
Soit la fonction exponentielle $f(x) = 3^x$. Calculer les valeurs numériques de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(\frac{1}{2})$. Exprimer les résultats de façon exacte, en…
Soit la fonction exponentielle $f(x) = 3^x$. Calculer les valeurs numériques de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(\frac{1}{2})$. Exprimer les résultats de façon exacte, en utilisant des racines ou des fractions si nécessaire.
Propriétés algébriques
Pourquoi ? L'exponentielle transforme une addition en multiplication, exactement comme $q^{m+n} = q^m q^n$ pour les puissances entières. Pour $\exp(x)\exp(-x) = 1$, on peut montrer que $h(x) = \exp(x)\exp(-x)$ a pour dérivée $\exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0$ : $h$ est constante, égale à $h(0)=1$.
Pour tout réel $a$, la suite $\left(\mathrm{e}^{na}\right)$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$, car $\mathrm{e}^{(n+1)a} = \mathrm{e}^{na}\,\mathrm{e}^{a}$. Ce lien entre suites géométriques et exponentielle est l'idée à retenir en première.
Exprimer les deux membres de l'équation sous forme de puissances de base $2$ puis résoudre : $8^x = \frac{1}{4}$
Exprimer les deux membres de l'équation sous forme de puissances de base $2$ puis résoudre :
$8^x = \frac{1}{4}$
Marc doit résoudre l'équation exponentielle $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. Sur sa copie, il écrit le développement suivant : $$3 \cdot 2^{x+1} = 48 \implies 6^{x+1} = 48…
Marc doit résoudre l'équation exponentielle $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. Sur sa copie, il écrit le développement suivant :
$$3 \cdot 2^{x+1} = 48 \implies 6^{x+1} = 48 \implies x+1 = \frac{48}{6} \implies x+1 = 8 \implies x = 7$$- a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs de raisonnement commises par Marc dans les deux premières étapes de sa résolution.
- b) Résoudre correctement l'équation étape par étape, en indiquant explicitement quelle propriété des puissances ou des fonctions exponentielles justifie chaque transformation.
Signe, variations et courbe
Pourquoi ? $\mathrm{e}^x = \left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^2 \geqslant 0$ et $\mathrm{e}^x \neq 0$ puisque $\mathrm{e}^x\,\mathrm{e}^{-x}=1$. Comme $\exp' = \exp > 0$, la fonction est strictement croissante.
Conséquences : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$. Ainsi $\mathrm{e}^{x}$ n'est jamais nul : le signe d'un produit $P(x)\,\mathrm{e}^{x}$ est celui de $P(x)$.
Pour $k>0$, les fonctions $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ (croissance) et $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ (décroissance) se déduisent l'une de l'autre par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Elles passent toutes deux par $(0 ; 1)$.
Classer les fonctions exponentielles suivantes en croissantes ou décroissantes, en justifiant la réponse à l'aide de la valeur de leur base : $f(x) = 4^x$…
Classer les fonctions exponentielles suivantes en croissantes ou décroissantes, en justifiant la réponse à l'aide de la valeur de leur base :
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0,8^x$
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$i(x) = e^x$
Associer chacune des courbes étiquetées A, B, C et D de la figure suivante à sa fonction exponentielle correspondante. Les fonctions sont : $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$,…
Associer chacune des courbes étiquetées A, B, C et D de la figure suivante à sa fonction exponentielle correspondante. Les fonctions sont : $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ et $i(x) = -2^x$.
Déterminer de façon analytique les intervalles sur lesquels le signe de la fonction est constant (c'est-à-dire ceux où elle est strictement positive et ceux où elle est…
Déterminer de façon analytique les intervalles sur lesquels le signe de la fonction est constant (c'est-à-dire ceux où elle est strictement positive et ceux où elle est strictement négative) pour la fonction :
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$
Ensemble de définition, ensemble image et translations
Calculer analytiquement les coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées de la fonction $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
Calculer analytiquement les coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées de la fonction $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
Soit la fonction $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$. Mener une étude analytique pour déterminer : Son ensemble de définition. Les points d'intersection avec les axes du repère.…
Soit la fonction $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$. Mener une étude analytique pour déterminer :
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Son ensemble de définition.
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Les points d'intersection avec les axes du repère.
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Les équations de ses asymptotes horizontales et verticales, s'il y en a.
Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur $\mathbb{R}$ : $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur $\mathbb{R}$ :
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Équations et inéquations exponentielles
Comme $\exp$ est strictement croissante, $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a=b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a Pour un système, on exprime chaque terme exponentiel avec une nouvelle inconnue, puis on résout le système linéaire obtenu. Résoudre l'équation exponentielle suivante en égalant les bases des deux côtés de l'égalité : $5^{2x-1} = 125$ Résoudre l'équation exponentielle suivante en effectuant un changement de variable adapté : $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ Résoudre l'équation exponentielle suivante en factorisant après avoir utilisé les propriétés des puissances : $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$ Résoudre le système d'équations exponentielles suivant :Résoudre l'équation exponentielle suivante en égalant les bases des deux côtés de l'égalité : $5^{2x-1} = 125$
Résoudre l'équation exponentielle suivante en effectuant un changement de variable adapté : $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Résoudre l'équation exponentielle suivante en factorisant après avoir utilisé les propriétés des puissances : $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Résoudre le système d'équations exponentielles suivant : $$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$
Modéliser une évolution à taux fixe
Pourquoi ? À chaque période, on multiplie par le même facteur $q$ : après $n$ périodes, on a effectué $n$ multiplications identiques, d'où $q^n$.
Déterminer un modèle $f(x) = k\,a^x$ à partir de deux points se fait en divisant les deux égalités pour éliminer $k$.
Le passage au modèle continu s'écrit avec l'exponentielle : $t \mapsto C_0\,\mathrm{e}^{kt}$ pour une croissance continue, $t \mapsto C_0\,\mathrm{e}^{-kt}$ pour une décroissance radioactive. La loi de refroidissement de Newton, $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\mathrm{e}^{-kt}$, en est une application : $T_a$ est la température ambiante, $T_0$ la température initiale.
Une population de bactéries double toutes les heures. Si la culture contient initialement $150$ bactéries, écrire la fonction $P(t)$ qui modélise le nombre de bactéries…
Une population de bactéries double toutes les heures. Si la culture contient initialement $150$ bactéries, écrire la fonction $P(t)$ qui modélise le nombre de bactéries en fonction du temps $t$ (exprimé en heures). Combien de bactéries la culture contiendra-t-elle au bout de $4$ heures ?
On place $5000$ euros sur un livret bancaire qui offre un intérêt composé annuel de $3\%$. Écrire la fonction donnant le capital acquis $C(t)$ au bout de $t$ années.…
On place $5000$ euros sur un livret bancaire qui offre un intérêt composé annuel de $3\%$.
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Écrire la fonction donnant le capital acquis $C(t)$ au bout de $t$ années.
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Calculer le capital total acquis au bout de $10$ ans.
D'après la loi de refroidissement de Newton, la température d'un objet à l'instant $t$ (en minutes) est donnée par l'expression $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, où…
D'après la loi de refroidissement de Newton, la température d'un objet à l'instant $t$ (en minutes) est donnée par l'expression $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, où $T_a$ est la température ambiante et $T_0$ la température initiale de l'objet. Une tasse de café à $90^\circ\text{C}$ est laissée dans une pièce maintenue à une température constante de $20^\circ\text{C}$. Si, au bout de $10$ minutes, la température du café est descendue à $60^\circ\text{C}$ :
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Calculer la valeur exacte de la constante de refroidissement $k$.
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Déterminer le temps total écoulé depuis le début pour que le café atteigne une température de $30^\circ\text{C}$.
Retour au début : si le nombre de vues part de $N_0$ et est multiplié par $2$ chaque heure, alors $N(t) = N_0 \times 2^t$ ; pour la tasse de café, l'écart de température suit un modèle décroissant de la forme $\mathrm{e}^{-kt}$.