Distances dans le plan

Calculer la distance exacte entre les points $A(3\,;\,-2)$ et $B(-1\,;\,1)$.

Calculer la distance du point $P(-4 ; 7)$ à l'axe des ordonnées et à l'axe des abscisses.

Vérifier si le triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(2 ; 3)$ est isocèle en calculant la longueur exacte de ses trois côtés.

Étant donné le segment d'extrémités $A(2\,;\,4)$ et $B(6\,;\,-2)$, calculer d'abord les coordonnées de son milieu $M$, puis déterminer la distance de $M$ à l'extrémité $A$.

Déterminer la distance de l'origine du repère à la droite d'équation $3x - 4y + 10 = 0$.

Déterminer la distance du point $P(2 ; 5)$ à la droite $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calculer la distance du point $Q(-1\,;\,3)$ à la droite donnée sous forme réduite $y = 2x - 1$.

Marc doit calculer la distance du point $P(-2\,;\,3)$ à la droite $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Sur sa copie, il écrit la démarche suivante :

1. a) Identifier et expliquer en justifiant les deux erreurs conceptuelles graves commises par Marc dans sa résolution.
2. b) Corriger l'exercice en effectuant le calcul adéquat et exprimer la distance exacte en rendant rationnel le dénominateur.

On considère le point $P(2 ; 4)$ et la droite $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Sans appliquer pour l'instant la formule de la distance d'un point à une droite, calculer les coordonnées du point $Q \in r$ qui a la même abscisse que $P$ (c'est-à-dire avec $x = 2$). Déterminer la distance verticale entre $P$ et $Q$, et justifier géométriquement pourquoi on est certain que $d(P, r) \le d(P, Q)$, cette valeur servant de majorant de la distance réelle.
2. b) Calculer la valeur exacte de $d(P, r)$ à l'aide de la formule générale et vérifier si votre estimation et votre majorant de la question précédente étaient corrects et cohérents.

Dans un parc, le centre d'une place est situé au point $P(0 ; 5)$. Une canalisation rectiligne d'arrosage suit la trajectoire $y = x + 1$. On souhaite installer sur la canalisation un arroseur situé à exactement $5$ unités du centre de la place. Déterminer les coordonnées des deux emplacements possibles de l'arroseur.

Une unité technique de la SNCF surveille un tronçon rectiligne de voie ferrée qui, sur un quadrillage topographique de coordonnées en kilomètres, suit la droite $r: 3x - 4y + 12 = 0$. Une station de base de télécommunications a été installée au point $T(6 ; 2)$.

1. a) Modéliser la situation en calculant la distance minimale exacte, en kilomètres, entre la station de base et la voie ferrée.
2. b) Le protocole de sécurité ferroviaire établit une bande d'exclusion de $2\text{ km}$ de chaque côté de l'axe de la voie, dans laquelle aucun équipement sans blindage électromagnétique n'est autorisé. Déterminer en justifiant si la station $T$ nécessite ce blindage ou si elle se situe en dehors de la bande.
3. c) Depuis la station $T$, on prévoit de lancer un drone d'inspection dont la portée maximale de liaison radio est de $5\text{ km}$. Justifier géométriquement si le drone peut atteindre un point de la voie ferrée et déterminer combien de points de la voie se trouvent exactement à $5\text{ km}$ de la base.

Déterminer les valeurs possibles du paramètre $k$ pour que la droite $r: kx + 3y - 5 = 0$ soit à une distance d'exactement $2$ unités du point $P(1 ; -2)$.

Déterminer la distance qui sépare les droites parallèles $r: 3x + 4y - 5 = 0$ et $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Deux bateaux suivent des routes rectilignes et parallèles. Le premier bateau navigue le long de la droite $r: x - 2y + 4 = 0$. Le second passe par le point $A(3 ; 1)$ en gardant la même direction. Calculer la distance minimale qui sépare les deux trajectoires.

Un laser industriel doit effectuer une découpe principale dans une plaque métallique le long de la droite $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Le système doit en outre être programmé pour réaliser deux découpes parallèles de sécurité à une distance exacte de $10$ mm de part et d'autre de la découpe principale. Déterminer les équations cartésiennes des droites des découpes de sécurité.

Déterminer les équations cartésiennes des deux droites parallèles à $r: 5x - 12y + 8 = 0$ situées à une distance d'exactement $3$ unités du point $A(1 ; -1)$. Déterminer ensuite la distance qui sépare ces deux droites parallèles, et expliquer comment on peut déduire immédiatement cette dernière valeur par symétrie, sans appliquer aucune formule supplémentaire.

Calculer les valeurs possibles du paramètre $c$ sachant que les droites parallèles $r: 2x - y + c = 0$ et $s: 4x - 2y + 5 = 0$ sont distantes de $3\sqrt{5}$ unités.

Pour calculer la distance entre les deux droites parallèles $r: 3x - 4y + 7 = 0$ et $s: 6x - 8y - 11 = 0$, on propose trois méthodes de travail :

• Méthode A (Définition) : prendre un point quelconque $P \in r$ et calculer $d(P, s)$ à l'aide de la formule de la distance d'un point à une droite.

• Méthode B (Projection orthogonale) : tracer une perpendiculaire commune aux deux droites, déterminer les points d'intersection $M \in r$ et $N \in s$, et calculer la norme du vecteur $\vec{MN}$.

• Méthode C (Formule simplifiée) : multiplier l'équation de $r$ par $2$ pour égaliser les coefficients $A$ et $B$ avec ceux de $s$, puis appliquer directement l'expression $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Appliquer la méthode A et la méthode C en les menant toutes deux jusqu'au bout, et vérifier qu'elles donnent exactement le même résultat.
2. b) Démontrer algébriquement la validité de la formule de la méthode C : prendre une droite quelconque $r: Ax + By + C_1 = 0$, y choisir un point quelconque $P(x_0, y_0)$ vérifiant $Ax_0 + By_0 = -C_1$, et calculer $d(P, s)$ par rapport à $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Comparer de façon critique les trois méthodes : indiquer laquelle est la plus efficace en pratique, laquelle comporte le plus grand risque d'erreur par accumulation de calculs, et pourquoi la méthode B est inutilement laborieuse pour cet objectif.

Une équipe de topographie a délimité un terrain triangulaire dont les stations de base ont pour coordonnées $A(1 ; 2)$, $B(5 ; -1)$ et $C(4 ; 6)$, exprimées en kilomètres. Calculer l'aire exacte du terrain en déterminant d'abord la longueur de la base $AB$, puis la hauteur correspondante issue du sommet $C$.

Un panneau solaire a la forme d'un quadrilatère de sommets $A(-1\,;\,-1)$, $B(3\,;\,0)$, $C(4\,;\,4)$ et $D(0\,;\,3)$, mesurés en mètres. Calculer le périmètre exact du panneau.

Un triangle isocèle a sa base (le côté différent des deux autres) sur la droite $r: x + y - 2 = 0$. Le sommet opposé à la base est $A(4 ; 4)$ et l'aire du triangle est de $12$ u$^2$. Calculer la longueur exacte de la base et des deux côtés égaux.

Un losange a l'un de ses sommets au point $A(2\,;\,1)$ et la diagonale qui ne passe pas par $A$ est portée par la droite $r: x + 2y - 9 = 0$. Si l'aire du losange est de $20$ u$^2$, déterminer les coordonnées des trois autres sommets.

On souhaite installer une antenne de télécommunications au bord d'une route rectiligne qui coïncide avec l'axe des abscisses. Cette antenne doit être exactement à la même distance du village $P(-2 ; 3)$ et du village $Q(4 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées exactes de l'emplacement de l'antenne ?

Un véhicule d'exploration spatiale se déplace en ligne droite selon l'équation $y = 2x$. Au point $C(5 ; 0)$ se trouve une base de recharge sans fil d'urgence. Déterminer en quel point exact de sa trajectoire le véhicule sera à la distance minimale de la base et calculer cette distance.

Une comète traverse un système stellaire en suivant une trajectoire rectiligne d'équation $3x + y - 6 = 0$. Un satellite d'observation est immobile aux coordonnées $S(2 ; 4)$. Calculer la distance minimale à laquelle la comète passera du satellite.

Les droites $r: x - 2y + 1 = 0$ et $s: 2x + y - 3 = 0$ représentent les bords de deux avenues qui se croisent. On souhaite construire une piste cyclable équidistante des deux avenues en tout point. Déterminer les équations des deux trajectoires possibles de la piste cyclable (les bissectrices) et démontrer analytiquement qu'elles sont perpendiculaires.

Déterminer les coordonnées des points du plan qui vérifient simultanément deux conditions : ils sont équidistants des droites sécantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ et $s: 4x + 3y - 1 = 0$, et leur distance à l'origine du repère est exactement $5$ unités.

Déterminer les coordonnées des sommets d'un carré sachant que l'un de ses sommets est $A(1 ; 2)$ et que l'une de ses diagonales est contenue dans la droite $d: x - y - 1 = 0$.

Déterminer l'équation du lieu géométrique des points $P(x ; y)$ du plan dont la distance à la droite $r: 3x - 4y = 0$ est exactement le double de leur distance au point fixe $Q(0 ; 2)$. Simplifier l'équation obtenue.

On considère les droites sécantes $r: 4x - 3y + 6 = 0$ et $s: 3x + 4y - 12 = 0$. On cherche les points situés sur l'axe des abscisses ($OX$) qui sont simultanément équidistants des deux droites.

1. a) Écrire les coordonnées d'un point quelconque de l'axe des abscisses, poser la condition algébrique $d(P, r) = d(P, s)$ et obtenir les coordonnées exactes des deux seuls points, $P_1$ et $P_2$, qui vérifient cette égalité.
2. b) Déterminer les équations cartésiennes des deux bissectrices, $b_1$ et $b_2$, des angles formés par $r$ et $s$. Vérifier par substitution directe que $P_1$ appartient à l'une d'elles et $P_2$ à l'autre.
3. c) Démontrer que les deux bissectrices $b_1$ et $b_2$ sont perpendiculaires entre elles et expliquer quelle est la signification géométrique du fait que les points trouvés à la question a) sont précisément les points d'intersection de chaque bissectrice avec l'axe des abscisses.