Fonctions, dérivation et exponentielle
Dans l'épreuve anticipée de mathématiques, un exercice sur trois ou presque suit le même scénario : une fonction est donnée, on te demande sa dérivée, son tableau de variations, puis une conséquence (une inégalité, un maximum, une tangente). Sans calculatrice, tout repose sur une méthode bien rodée. Un enclos de 120 m de grillage, une concentration de médicament : comment trouver le maximum sans rien tracer ? C'est la dérivée qui répond.
Dériver sans se tromper
Voici les formules à connaître par cœur, car il n'y a pas de formulaire à l'épreuve.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $x^n$ ($n\in\mathbb Z$) | $n\,x^{n-1}$ |
| $\dfrac1x$ | $-\dfrac1{x^2}$ |
| $\sqrt x$ | $\dfrac1{2\sqrt x}$ |
| $\mathrm e^x$ | $\mathrm e^x$ |
| $\mathrm e^{ax+b}$ | $a\,\mathrm e^{ax+b}$ |
Et les opérations : $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
Pourquoi $\left(\mathrm e^{-x}\right)'=-\mathrm e^{-x}$ ? Parce que $x\mapsto \mathrm e^{ax+b}$ a pour dérivée $a\,\mathrm e^{ax+b}$, avec ici $a=-1$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$. 1. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=3x(x-2)$. 2. Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le…
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$.
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Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=3x(x-2)$.
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Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).
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Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$. 1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\,e^{-x}$. 2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le…
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$.
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Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\,e^{-x}$.
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Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).
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Calculer $f(0)$ et $f(-1)$.
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Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(2x-1)e^x$. 1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+1)e^x$. 2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur…
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(2x-1)e^x$.
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Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+1)e^x$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites) et préciser la valeur exacte de son minimum.
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Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $f(x)\geqslant0$.
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Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Signe de la dérivée et tableau de variations
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ; entre $a$ et $a+h$, c'est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. C'est le coefficient directeur de la sécante passant par $\bigl(a\,;f(a)\bigr)$ et $\bigl(a+h\,;f(a+h)\bigr)$. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de ce taux quand $h$ se rapproche de $0$ (notion intuitive). Exemple : pour $f(x)=x^2$, $a=1$, $h=0{,}01$, le taux vaut $2{,}01$, proche de $f'(1)=2$.
Intuition : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente, limite des sécantes. Tangente qui monte, fonction qui monte.
La méthode :
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calculer $f'(x)$ et la factoriser ;
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donner le signe de chaque facteur ;
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dresser le tableau de signes de $f'$, puis le tableau de variations avec les valeurs de $f$ aux points importants.
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ (existence et unicité admises). On la note $\exp(x)=\mathrm e^x$. Elle vérifie $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ et $\exp(x)\exp(-x)=1$, donc elle ne s'annule jamais. Comme $f'=f>0$, elle est strictement croissante.
Un fait à retenir : $\mathrm e^{u}>0$ pour tout réel $u$. Un facteur exponentiel ne change jamais le signe d'un produit.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^x-x$. 1. Calculer $f'(x)$. 2. Justifier que $f'(x)>0$ si et seulement si $x>0$. On rappelle que $e^0=1$ et que…
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^x-x$.
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Calculer $f'(x)$.
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Justifier que $f'(x)>0$ si et seulement si $x>0$. On rappelle que $e^0=1$ et que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).
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En déduire que, pour tout réel $x$, $e^x\geqslant x+1$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$. 1. Vérifier que, pour tout $x>0$, $f(x)=x+\dfrac1x$. 2. Montrer que, pour tout $x>0$,…
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$.
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Vérifier que, pour tout $x>0$, $f(x)=x+\dfrac1x$.
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Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ (sans les limites).
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En déduire que, pour tout $x>0$, $x+\dfrac1x\geqslant2$.
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Étudier la position relative de la courbe de $f$ et de la droite d'équation $y=x$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;5]$ par $f(x)=(x-1)^2e^{-x}$. 1. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;5]$, $f'(x)=(x-1)(3-x)e^{-x}$. 2. Dresser le tableau de…
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;5]$ par $f(x)=(x-1)^2e^{-x}$.
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Montrer que, pour tout $x\in[0\,;5]$, $f'(x)=(x-1)(3-x)e^{-x}$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;5]$. On donnera les valeurs exactes de $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ et $f(5)$.
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On admet que $e>2$.
a) Justifier que $4e^{-3}<1$.
b) En déduire le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$ et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
- Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
Tangente à une courbe
Démonstration : la tangente est la limite des sécantes, donc son coefficient directeur est la limite des taux de variation, soit $f'(a)$. Elle passe par $\bigl(a\,;f(a)\bigr)$. Une droite $y=f'(a)\,x+p$ passant par ce point vérifie $f(a)=f'(a)\,a+p$, donc $p=f(a)-f'(a)\,a$ et $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$. 1. Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$. 2. Dresser le tableau de…
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$.
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Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ (sans les limites).
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En déduire que, pour tout $x>0$, $e^x\geqslant e\,x$.
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Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $f(x)=e$. Justifier.
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Donner une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
Déduire une inégalité ou un optimum
Le tableau de variations sert à comparer : si $f$ admet un minimum $m$ sur $I$, alors $f(x)\geqslant m$ pour tout $x\in I$.
De la même façon, avec $f(x)=\mathrm e^x-x$ de minimum $f(0)=1$, on obtient $\mathrm e^x\geqslant x+1$ pour tout réel $x$.
Pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$.
Vers l'objectif du début : l'enclos de 120 m de grillage est optimal pour $x=30$.
Le lycée dispose de 120 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur : le mur constitue un côté, et le grillage ne sert que pour les trois autres…
Le lycée dispose de 120 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur : le mur constitue un côté, et le grillage ne sert que pour les trois autres côtés. On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètre (côté perpendiculaire au mur).
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Justifier que $x\in[0\,;60]$ et que l'aire de l'enclos est $A(x)=120x-2x^2$.
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Calculer $A'(x)$ et dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0\,;60]$.
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En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale, ainsi que cette aire maximale.
On injecte un médicament à un patient. La concentration de ce médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée, $t$ heures après l'injection, par la fonction $C$ définie…
On injecte un médicament à un patient. La concentration de ce médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée, $t$ heures après l'injection, par la fonction $C$ définie sur $[0\,;10]$ par $C(t)=t\,e^{-0{,}5t}$.
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Montrer que, pour tout $t\in[0\,;10]$, $C'(t)=(1-0{,}5\,t)\,e^{-0{,}5t}$.
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Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$. À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donner sa valeur exacte.
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Donner la valeur de $C'(0)$ et interpréter ce résultat. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe de $C$ au point d'abscisse $0$.
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Montrer que, pour tout $t\in[0\,;10]$, $C(t)-t=t\left(e^{-0{,}5t}-1\right)$. En déduire la position de la courbe de $C$ par rapport à $T$ sur $[0\,;10]$.