Positions relatives de deux droites

Étant données les droites $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ et $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indiquer leur position relative en justifiant la réponse à partir de la valeur de leurs coefficients directeurs.

Déterminer la position relative des droites $r: 2x - 3y + 5 = 0$ et $s: -4x + 6y - 10 = 0$ en comparant directement leurs coefficients.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les droites $r: kx + 4y - 2 = 0$ et $s: 3x - 2y + 5 = 0$ soient strictement parallèles.

Déterminer la position relative des droites données sous forme paramétrique $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Étudier la position relative de la droite $r$, passant par les points $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,5)$, et de la droite $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Un architecte conçoit deux allées rectilignes dans un parc. L'allée A a pour direction le vecteur $\vec{u} = (4 ; -2)$ et passe par la fontaine située en $F(0 ; 5)$. L'allée B est donnée par l'équation $x + 2y - 10 = 0$. Démontrer analytiquement que les deux allées sont superposées, c'est-à-dire qu'il s'agit en réalité de la même droite.

Calculer les coordonnées exactes du point d'intersection des droites sécantes $r: x + 2y - 4 = 0$ et $s: 3x - y - 5 = 0$.

Deux drones d'exploration suivent des trajectoires rectilignes décrites par les équations $r: x - y + 2 = 0$ et $s: 2x + y - 8 = 0$. Calculer les coordonnées du point du plan où leurs trajectoires se croisent.

Dans un système de sécurité, deux faisceaux laser sont modélisés dans un repère du plan. Le premier faisceau suit la droite $r: x + y - 6 = 0$ et le second passe par les émetteurs situés en $P(2\,;\,1)$ et $Q(-2\,;\,-1)$. Déterminer si les faisceaux laser sont parallèles, confondus ou sécants. S'ils sont sécants, déterminer le point d'intersection exact.

Déterminer la valeur de $m$ pour que les droites $r: mx - 6y + 1 = 0$ et $s: 2x + 3y - 4 = 0$ soient sécantes et non parallèles.

Discuter la position relative des droites $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ et $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ selon les valeurs possibles du paramètre $m$.

Discuter la position relative des droites $r: ax + y - b = 0$ et $s: 2x - ay + 4 = 0$ en réalisant une étude exhaustive selon les valeurs simultanées des paramètres $a$ et $b$.

Calculer la valeur de $k$ pour que les droites $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ et $t: 3x + ky - 2 = 0$ soient concourantes en un même point du plan.

Trois routes rectilignes sont modélisées dans un plan topographique par les équations $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ et $t: ax + y - 2 = 0$. Déterminer les valeurs du paramètre $a$ pour lesquelles les trois routes sont concourantes en un unique point ou parallèles entre elles, empêchant ainsi la formation d'un triangle délimité par ces routes.

Dans le plan affine, on considère deux droites fixes, $r: x - y - 1 = 0$ et $s: 2x + y - 5 = 0$, ainsi qu'une troisième droite dépendant d'un paramètre réel : $t_k: kx + y - 7 = 0$.

On souhaite étudier à quelles conditions les trois droites délimitent un triangle dans le plan.

1. a) Expliquer de façon déductive quelles sont les deux seules causes géométriques pour lesquelles trois droites coplanaires (sachant que $r$ et $s$ sont déjà sécantes) ne forment PAS un triangle.
2. b) Poser les conditions algébriques de position relative pour calculer les valeurs de $k$ qui rendent $t_k$ parallèle à la droite $r$ ou parallèle à la droite $s$. Vérifier en outre si, pour l'une de ces valeurs, $t_k$ est confondue avec elles.
3. c) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les trois droites sont concourantes, c'est-à-dire passent simultanément par le même point.
4. d) À partir des questions précédentes, déterminer avec précision l'ensemble des valeurs de $k \in \mathbb{R}$ pour lesquelles les trois droites déterminent bien un triangle.