Équations d'une droite du plan

Écrire l'équation de la droite passant par les points $P(-1\,;\,5)$ et $Q(2\,;\,-1)$ sous la forme point-coefficient directeur.

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par l'origine du repère et de coefficient directeur $m = -\frac{3}{5}$.

Le coût de production d'un composant électronique suit un modèle affine. Fabriquer $100$ unités coûte $450$ €, et fabriquer $250$ unités coûte $825$ €. Déterminer l'équation réduite qui relie le coût $y$ au nombre d'unités $x$, puis calculer le coût fixe de production (le coût lorsque l'on fabrique $0$ unités).

Étant donnée l'équation cartésienne $5x + 7y - 11 = 0$, indiquer un vecteur directeur, un vecteur normal et un point de la droite.

Écrire les équations cartésiennes de la droite horizontale passant par le point $H(-7\,;\,4)$ et de la droite verticale passant par le point $V(3\,;\,-9)$.

Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation cartésienne $4x - 2y + 8 = 0$.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite d'équation $3x - ky + 5 = 0$ passe par le point $P(-2 ; 1)$. Une fois $k$ trouvé, écrire l'équation de la droite sous forme continue.

Dans la conception d'un pont suspendu, l'un des câbles tendeurs en acier doit relier le point d'ancrage $P(0 ; 15)$ à la base $Q(40 ; 0)$ (coordonnées en mètres). Déterminer l'équation cartésienne de la droite qui définit le câble et déterminer à quelle hauteur il se trouve lorsque la distance horizontale à l'axe $Y$ est de $16$ mètres.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par le point $A(-4 ; 6)$ et parallèle à la droite passant par les points $B(1 ; 1)$ et $C(3 ; -5)$.

On cherche l'équation cartésienne de la droite $s$ passant par le point $P(-3 ; 2)$ et perpendiculaire à la droite $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Sergio : Exprimer $y$ dans la droite $r$ pour trouver son coefficient directeur $m_r$ ; calculer le coefficient directeur perpendiculaire $m_s = -\frac{1}{m_r}$ ; écrire l'équation sous la forme point-coefficient directeur avec $P(-3 ; 2)$ puis, enfin, supprimer les dénominateurs et regrouper les termes pour obtenir l'équation cartésienne.

• Méthode d'Irène : Obtenir directement à partir des coefficients de $r$ son vecteur normal $\vec{n}_r = (2 ; -5)$ ; en déduire que ce vecteur est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire $s$ ; en tirer un vecteur normal pour $s$, $\vec{n}_s = (5 ; 2)$ ; et poser l'équation $5x + 2y + C = 0$, en déterminant $C$ par substitution des coordonnées de $P$.

1. a) Comparer les deux approches en analysant leurs avantages et inconvénients : nombre d'étapes, apparition de fractions intermédiaires et risque d'erreurs de calcul sur les signes.
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus efficace et la plus directe pour cet exercice.
3. c) Appliquer la méthode choisie comme préférable pour déterminer l'équation cartésienne de $s$.

Étant donnés le point $P(3 ; 4)$ et la droite $r: 2x + y - 5 = 0$, déterminer les coordonnées d'un point $Q$ situé sur l'axe des ordonnées de sorte que la droite passant par $P$ et $Q$ ait la même ordonnée à l'origine que la droite $r$.

Écrire une équation vectorielle et une représentation paramétrique de la droite passant par le point $A(3\,;\,-2)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(-1\,;\,4)$.

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite à vitesse constante du point $A(10 ; 20)$ au point $B(50 ; 80)$, les coordonnées étant exprimées en mètres. Écrire une représentation paramétrique de sa trajectoire et indiquer quelles seront ses coordonnées lorsqu'il aura parcouru exactement la moitié du trajet.

Une canalisation souterraine suit la trajectoire donnée par la représentation paramétrique $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Déterminer en quels points exacts la canalisation coupe les axes du repère.

Étant donné la droite définie par la représentation paramétrique $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, l'exprimer sous forme continue puis donner une équation cartésienne.

Vérifier si les points $M(4\,;\,-3)$ et $N(1\,;\,2)$ appartiennent à la droite d'équation continue $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la droite donnée par la représentation paramétrique $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ soit la même que la droite d'équation cartésienne $4x + 3y - 10 = 0$.

Démontrer que si une droite coupe les axes du repère aux points $(a ; 0)$ et $(0 ; b)$, avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$, son équation peut s'écrire sous la forme segmentaire $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliser ce résultat pour déterminer l'équation d'une droite qui forme avec les axes du repère un triangle d'aire $12 \text{ u}^2$ sachant que $a = 2b$ et que $a$ et $b$ sont strictement positifs.

Un rayon laser part du point $A(2\,;\,5)$, frappe un miroir plan situé le long de l'axe des abscisses, se réfléchit et passe par le point $B(8\,;\,3)$. Sachant que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion, déterminer les équations des droites portant le rayon incident et le rayon réfléchi, ainsi que le point exact de rebond sur le miroir.

Les côtés d'un triangle sont portés par les droites $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ et $t: x + 5y + 4 = 0$. Calculer les coordonnées de ses trois sommets et déterminer, en calculant les longueurs de ses côtés, la nature de ce triangle.