Événements dépendants et indépendants

Un lycéen de 1re a deux examens le même jour : Mathématiques et Anglais. La probabilité de réussir en Mathématiques est $P(M) = 0,7$ et celle de réussir en Anglais est $P(I) = 0,8$. En supposant que réussir un examen n'influence pas le résultat de l'autre :

1. a) Calculer la probabilité de réussir les deux examens.
2. b) Calculer la probabilité de ne réussir aucun des deux.

Une enquête a été réalisée dans un lycée sur l'usage de deux réseaux sociaux : Instagram ($I$) et TikTok ($T$). Les résultats montrent que $70\%$ des élèves utilisent Instagram, $50\%$ utilisent TikTok et $35\%$ utilisent les deux plateformes. Déterminer si l'usage d'Instagram est indépendant de l'usage de TikTok dans ce lycée.

Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire. On sait que la probabilité de l'événement $A$ est $P(A) = 0,6$ et que la probabilité de l'événement $B$ est $P(B) = 0,3$. Sachant que les événements sont indépendants, calculer la probabilité qu'ils se réalisent tous les deux, c'est-à-dire $P(A \cap B)$.

Lors d'un devoir de mathématiques, la question suivante est posée : « On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements $A$ : "obtenir un nombre pair" et $B$ : "obtenir un nombre impair". $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? ».\n\nLucas répond dans sa copie :\n« Comme il est impossible d'obtenir un nombre pair et impair à la fois, les événements ne s'influencent pas du tout ; ils sont donc indépendants parce que l'un ne peut pas modifier l'autre ».\n\na) Trouver l'erreur conceptuelle dans le raisonnement de Lucas et expliquer en détail pourquoi il confond les notions d'« événements incompatibles » et d'« événements indépendants ».\nb) Corriger l'exercice en effectuant la vérification mathématique rigoureuse à l'aide de l'égalité $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ afin de déterminer avec certitude si les événements sont dépendants ou indépendants.

Sur une plateforme de streaming musical, $60\%$ des utilisateurs écoutent le genre « Urban » ($U$) et $45\%$ écoutent la « Pop » ($P$). On sait de plus que $27\%$ des utilisateurs écoutent les deux genres musicaux.

1. a) Déterminer si les événements « écouter de l'Urban » et « écouter de la Pop » sont indépendants. Justifier mathématiquement.

1. b) On choisit un utilisateur dont on sait qu'il écoute de la « Pop » : quelle est la probabilité qu'il écoute aussi de l'« Urban » ?

Dans un distributeur de chewing-gums, il y a des boules de trois couleurs : 10 rouges, 6 bleues et 4 vertes. Un enfant prend un chewing-gum, note sa couleur, le remet dans le distributeur et en prend un second.

1. a) Justifier si les événements « obtenir une boule rouge au premier tirage » et « obtenir une boule bleue au second » sont dépendants ou indépendants.
2. b) Calculer la probabilité que le premier chewing-gum soit bleu et le second vert.

On tire deux cartes d'un jeu de 40 cartes, l'une après l'autre et sans remettre la première dans le jeu.

1. a) Quelle est la probabilité que la première carte soit un Roi ?
2. b) Sachant que la première carte était un Roi, quelle est la probabilité que la seconde soit aussi un Roi ?
3. c) Ces événements sont-ils dépendants ou indépendants ?

Une urne contient 5 boules jaunes et 3 boules violettes. On tire deux boules de l'urne successivement et sans remise.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré correspondant à cette expérience, en indiquant la probabilité de chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un contrôle qualité dans une usine d'ampoules, on sait que la probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est $0,02$. On choisit deux ampoules au hasard ; calculer la probabilité que :

1. a) Aucune ne soit défectueuse.
2. b) Les deux soient défectueuses.

(Remarque : le lot est si grand que l'on peut considérer que le tirage d'une ampoule n'affecte pas la probabilité de la suivante.)

Deux composants électroniques d'un drone, $A$ et $B$, fonctionnent de manière indépendante. La probabilité que le composant $A$ tombe en panne est de $0,05$ et la probabilité que le composant $B$ tombe en panne est de $0,08$.

1. a) Calculer la probabilité que le drone puisse continuer à voler s'il faut pour cela qu'au moins un des deux composants fonctionne correctement.

1. b) Calculer la probabilité qu'exactement un des deux composants tombe en panne.

Dans un jeu vidéo de stratégie populaire, les joueurs ouvrent des « coffres légendaires » pour obtenir des récompenses. La probabilité d'obtenir un héros de niveau S dans le premier coffre est seulement de $0,05$. Cependant, le jeu possède un système de « chance cumulée » : si l'on n'obtient pas le héros dans un coffre, la probabilité de l'obtenir dans le suivant augmente de $0,02$ par rapport à la probabilité du coffre précédent. Si l'on obtient le héros, la probabilité redevient $0,05$ pour la tentative suivante.

La figure montre la situation à étudier : les deux premiers coffres ne donnent pas le héros et le héros apparaît dans le troisième.

Calculer la probabilité qu'un joueur doive ouvrir exactement trois coffres pour obtenir son premier héros de niveau S.