Probabilités conditionnelles et variables aléatoires · Mathématiques Première (spé maths)

Tableau croisé et probabilité conditionnelle

On choisit un élève au hasard dans un groupe. Un tableau croisé d'effectifs donne tout ce qu'il faut : les probabilités se lisent comme des quotients d'effectifs.

Pourquoi ? Savoir que $A$ est réalisé, c'est restreindre l'univers aux éléments de $A$. On compte alors la part de $A$ qui est aussi dans $B$.

Lire un tableau croisé

Dans une classe de 150 élèves de première, on note $F$ « l'élève est une fille » et $S$ « l'élève pratique un sport en club ».

	$S$	$\overline S$	Total
$F$	40	30	70
$\overline F$	50	30	80
Total	90	60	150

Ici $\overline F$ désigne l'événement « l'élève est un garçon ». On choisit un élève au hasard.

Probabilités simples. $P(F)=\dfrac{70}{150}=\dfrac{7}{15}$ et $P(F\cap S)=\dfrac{40}{150}=\dfrac{4}{15}$.

Conditionnelle $P_F(S)$. On ne regarde que la ligne des filles : $P_F(S)=\dfrac{40}{70}=\dfrac47$.

L'autre sens $P_S(F)$. On ne regarde que la colonne des sportifs : $P_S(F)=\dfrac{40}{90}=\dfrac49$.

Interprétation. $P_F(S)$ est la proportion de sportives parmi les filles. $P_S(F)$ est la proportion de filles parmi les sportifs. Ces deux nombres sont différents.

Tu remarques que $P_F(S)=\dfrac47\approx 0{,}57$ et $P(S)=\dfrac{90}{150}=0{,}6$. Les événements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifie avec $P(F)\times P(S)$ et compare à $P(F\cap S)$.

Réponse : $P(F)\times P(S)=\dfrac{7}{15}\times\dfrac35=\dfrac{7}{25}=0{,}28$, alors que $P(F\cap S)=\dfrac{4}{15}\approx0{,}267$. Les deux nombres sont différents, donc $F$ et $S$ ne sont pas indépendants.

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Dans un lycée, on s'intéresse aux 200 élèves de première. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ». Les…

Dans un lycée, on s'intéresse aux 200 élèves de première. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ». Les effectifs sont donnés dans le tableau suivant.

	Demi-pensionnaires	Non demi-pensionnaires	Total
Filles	70	50	120
Garçons	40	40	80
Total	110	90	200

On choisit un élève au hasard.

Calculer $P(F)$, $P(D)$ et $P(F\cap D)$.
Calculer $P_F(D)$ et $P_D(F)$. Interpréter chacun de ces deux résultats par une phrase.
Les événements $F$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier.

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Arbre pondéré et probabilités totales

Quand l'énoncé donne des pourcentages « parmi… », un arbre pondéré est l'outil adapté. Reprenons le dépistage du début : $M$ « la personne est malade », $T$ « le test est positif ».

Retrouver la cause à partir de l'effet

On veut $P(T)$, puis $P_T(M)$.

Chemins menant à $T$. Il y en a deux : $M\cap T$ et $\overline M\cap T$. $M$ et $\overline M$ forment une partition de l'univers.

Probabilités totales. $P(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}05=0{,}019+0{,}049=0{,}068$.

Inversion. On applique la définition : $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}068}=\dfrac{19}{68}\approx0{,}28$.

Conclusion. Est-on « presque sûrement malade » quand le test est positif ? Réponds en une phrase, puis explique pourquoi on a trouvé un nombre aussi petit.

Réponse : non, seulement environ $28\,\%$ de chances. Les malades sont rares ($2\,\%$), donc les faux positifs des $98\,\%$ de personnes saines ($0{,}049$) sont plus nombreux que les vrais positifs ($0{,}019$).

Retour au début : le piège est de confondre $P_M(T)=0{,}95$ (le test détecte bien les malades) et $P_T(M)\approx0{,}28$ (un test positif prouve peu de chose). C'est exactement la différence entre $P_A(B)$ et $P_B(A)$.

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Dans une ville, $60\,\%$ des élèves d'un lycée utilisent le métro pour venir en cours. Parmi ces élèves, $70\,\%$ ont cours à 8 h. Parmi les élèves qui n'utilisent pas…

Dans une ville, $60\,\%$ des élèves d'un lycée utilisent le métro pour venir en cours. Parmi ces élèves, $70\,\%$ ont cours à 8 h. Parmi les élèves qui n'utilisent pas le métro, $20\,\%$ ont cours à 8 h. On choisit un élève au hasard. On note $M$ l'événement « l'élève utilise le métro » et $H$ l'événement « l'élève a cours à 8 h ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(M\cap H)$.
Montrer que $P(H)=0{,}5$.
Calculer $P_H(M)$.

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Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test de dépistage est positif pour $90\,\%$ des personnes malades et pour $10\,\%$ des personnes non malades. On choisit…

Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test de dépistage est positif pour $90\,\%$ des personnes malades et pour $10\,\%$ des personnes non malades. On choisit une personne au hasard dans la population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Calculer $P(M\cap T)$, puis montrer que $P(T)=0{,}108$.
Calculer $P_T(M)$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Un élève affirme : « si le test est positif, la personne est presque sûrement malade ». Que penser de cette affirmation ?

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Une usine possède trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La machine $M_1$ produit $50\,\%$ des pièces, $M_2$ en produit $25\,\%$ et $M_3$ en produit $25\,\%$. Le taux de…

Une usine possède trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La machine $M_1$ produit $50\,\%$ des pièces, $M_2$ en produit $25\,\%$ et $M_3$ en produit $25\,\%$. Le taux de pièces défectueuses est de $2\,\%$ pour $M_1$, de $4\,\%$ pour $M_2$ et de $4\,\%$ pour $M_3$. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Justifier que $\{M_1\,;M_2\,;M_3\}$ forme une partition de l'univers, puis représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(D)$.
La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_1$.
On prélève maintenant deux pièces, de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'au moins une des deux soit défectueuse.

Aide au calcul : $0{,}97^2=0{,}9409$.

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Indépendance et tirages avec ou sans remise

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si savoir que l'un est réalisé ne change pas la probabilité de l'autre.

Pour tester l'indépendance, on calcule les deux membres et on compare. Attention à distinguer modèle et réalité : dans un énoncé, l'indépendance est souvent une hypothèse du modèle (par exemple un tirage avec remise), pas une propriété démontrée du monde réel. Une urne illustre bien la différence entre les deux types de tirages.

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Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules. On note $R_1$ (respectivement $R_2$) l'événement «…

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules. On note $R_1$ (respectivement $R_2$) l'événement « la première (respectivement la seconde) boule est rouge ».

On suppose que le tirage se fait avec remise.

a) Calculer $P(R_1\cap R_2)$.

b) Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.

On suppose maintenant que le tirage se fait sans remise.

a) Calculer $P(R_1\cap R_2)$.

b) Montrer que $P(R_2)=0{,}4$.

c) Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.

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Variable aléatoire : loi, espérance, variance

Dans un jeu d'argent, on s'intéresse au gain. Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue. On note $\{X=a\}$ l'événement « $X$ prend la valeur $a$ », et $\{X\leqslant a\}$ l'événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ». Ainsi $P(X\leqslant a)$ s'obtient en additionnant les $P(X=x_i)$ pour les $x_i\leqslant a$, et $P(X>a)=1-P(X\leqslant a)$. Par exemple, si $P(X=-1)=0{,}2$, $P(X=2)=0{,}5$ et $P(X=4)=0{,}3$, alors $P(X\leqslant2)=0{,}7$ et $P(X>2)=0{,}3$.

Pour calculer $V(X)$, applique la définition : écarts à l'espérance, au carré, pondérés par les probabilités.

Un jeu est équitable si l'espérance du gain algébrique (gain moins mise) est nulle.

Un jeu de dé

On lance un dé équilibré à 6 faces. Le joueur gagne $5$ € s'il obtient 6, $1$ € s'il obtient 4 ou 5, et rien sinon. $X$ est le gain.

Loi. $P(X=0)=\dfrac36=\dfrac12$, $P(X=1)=\dfrac26=\dfrac13$, $P(X=5)=\dfrac16$. Vérification : $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac16=1$.

$x_i$	$0$	$1$	$5$
$P(X=x_i)$	$\dfrac12$	$\dfrac13$	$\dfrac16$

Espérance. $E(X)=0\times\dfrac12+1\times\dfrac13+5\times\dfrac16=\dfrac13+\dfrac56=\dfrac76$.

Mise équitable. Si la mise est $m$, le gain algébrique est $X-m$ d'espérance $E(X)-m$. Le jeu est équitable pour $m=\dfrac76\approx1{,}17$ €.

Variance. Calcule $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$ avec $E(X)=\dfrac76$.

Réponse : $V(X)=\dfrac12\left(\dfrac76\right)^2+\dfrac13\left(\dfrac16\right)^2+\dfrac16\left(\dfrac{23}6\right)^2=\dfrac{49}{72}+\dfrac{1}{108}+\dfrac{529}{216}=\dfrac{147+2+529}{216}=\dfrac{113}{36}$ et $\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{113}}6\approx1{,}77$.

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À la fête du lycée, un stand propose le jeu suivant : on lance une roue et le gain algébrique $X$, en euro, prend les valeurs $-1$, $1$ et $3$ avec les probabilités…

À la fête du lycée, un stand propose le jeu suivant : on lance une roue et le gain algébrique $X$, en euro, prend les valeurs $-1$, $1$ et $3$ avec les probabilités respectives $0{,}25$, $0{,}5$ et $0{,}25$.

Vérifier que cette loi de probabilité est bien définie, en la présentant sous forme de tableau.
Calculer l'espérance $E(X)$.
Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.
Ce jeu est-il équitable ? Justifier.

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Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. 1. Justifier…

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

Justifier que $P(X=0)=\dfrac{3}{10}$ et $P(X=2)=\dfrac{1}{10}$, puis déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.
Un joueur gagne 5 € par boule rouge tirée et doit payer une mise de $m$ euros pour jouer. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle le jeu est équitable.

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Un jeu se déroule en deux étapes. On lance d'abord une pièce équilibrée. Si on obtient « pile », on gagne 2 € et le jeu s'arrête. Si on obtient « face », on lance un dé…

Un jeu se déroule en deux étapes. On lance d'abord une pièce équilibrée. Si on obtient « pile », on gagne 2 € et le jeu s'arrête. Si on obtient « face », on lance un dé équilibré à 6 faces : on gagne 8 € si on obtient 6, et on perd 4 € sinon. On note $X$ le gain algébrique, en euro, à l'issue du jeu.

Construire un arbre pondéré décrivant le jeu.
Montrer que la loi de probabilité de $X$ est donnée par $P(X=-4)=\dfrac{5}{12}$, $P(X=2)=\dfrac{1}{2}$ et $P(X=8)=\dfrac{1}{12}$.
Calculer l'espérance $E(X)$. Que peut-on en conclure ?
Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.
Sachant que le gain est strictement positif, calculer la probabilité d'avoir obtenu « pile » au lancer de la pièce.

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Probabilités et suites : le lien avec la récurrence

Certains problèmes répètent une expérience et demandent la probabilité du $n$-ième résultat. On utilise la formule des probabilités totales avec la partition $\{R_n\,;\overline{R_n}\}$ pour exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.

Un joueur de handball aux tirs au but

Un joueur réussit son premier tir avec la probabilité $0{,}6$. S'il réussit un tir, il réussit le suivant avec la probabilité $0{,}7$ ; s'il le manque, avec la probabilité $0{,}3$. On note $p_n=P(R_n)$.

Arbre à deux niveaux. Les événements $R_n$ et $\overline{R_n}$ forment une partition, de probabilités $p_n$ et $1-p_n$.

Probabilités totales. $p_{n+1}=P(R_n\cap R_{n+1})+P(\overline{R_n}\cap R_{n+1})=0{,}7\,p_n+0{,}3\,(1-p_n)=0{,}4\,p_n+0{,}3$.

Terme constant. On cherche $\ell$ tel que $\ell=0{,}4\,\ell+0{,}3$, d'où $\ell=0{,}5$. On pose $v_n=p_n-0{,}5$.

Suite géométrique. $v_{n+1}=0{,}4\,p_n+0{,}3-0{,}5=0{,}4\,p_n-0{,}2=0{,}4\,(p_n-0{,}5)=0{,}4\,v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}4$ et de premier terme $v_1=0{,}1$.

Formule explicite. Écris $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.

Réponse : $v_n=0{,}1\times0{,}4^{\,n-1}$, donc $p_n=0{,}5+0{,}1\times0{,}4^{\,n-1}$. Comme $0{,}4^{n-1}$ devient très petit, $p_n$ se rapproche de $0{,}5$.

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Un joueur de basket s'entraîne aux lancers francs. Il réussit le premier lancer avec la probabilité $0{,}5$. S'il réussit un lancer, il réussit le suivant avec la…

Un joueur de basket s'entraîne aux lancers francs. Il réussit le premier lancer avec la probabilité $0{,}5$. S'il réussit un lancer, il réussit le suivant avec la probabilité $0{,}8$ ; s'il le manque, il réussit le suivant avec la probabilité $0{,}4$. Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $R_n$ l'événement « le joueur réussit le $n$-ième lancer » et $p_n=P(R_n)$. On a donc $p_1=0{,}5$.

Représenter par un arbre pondéré les deux premiers lancers, puis calculer $p_2$.
Justifier que, pour tout entier $n\geqslant1$, $p_{n+1}=0{,}4\,p_n+0{,}4$.
On pose $v_n=p_n-\dfrac23$ pour tout entier $n\geqslant1$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire que $p_n=\dfrac23-\dfrac16\times0{,}4^{\,n-1}$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Étudier le sens de variation de la suite $(p_n)$.
Conjecturer le comportement de $p_n$ lorsque $n$ devient grand, et interpréter ce résultat dans le contexte.

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Simuler avec Python

Le programme demande aussi d'expérimenter : on simule un grand nombre de fois une expérience aléatoire et on compare la moyenne observée à l'espérance. Rappel : la moyenne d'un échantillon de $X$ est la somme des valeurs obtenues divisée par leur nombre. Quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, cette moyenne s'approche de $E(X)$ (en général), mais elle fluctue : le modèle donne la valeur théorique, la simulation donne une réalité approchée.

Simuler le jeu de dé

On reprend le jeu de dé de la section précédente : $X=5$ avec la probabilité $\dfrac16$, $X=1$ avec la probabilité $\dfrac13$, $X=0$ sinon. On a $E(X)=\dfrac76\approx1{,}17$.

Simuler un lancer. On tire un entier entre 1 et 6 avec randint(1, 6) : le gain vaut 5 si on obtient 6, 1 si on obtient 4 ou 5, et 0 sinon.

from random import randint

def gain():

    d = randint(1, 6)

    if d == 6:

        return 5

    elif d >= 4:

        return 1

    else:

        return 0

Moyenne d'un échantillon. On répète $n$ fois et on calcule la moyenne.

def moyenne(n):

    s = 0

    for i in range(n):

        s = s + gain()

    return s / n

Lecture. moyenne(100) donne par exemple $1{,}3$ ; moyenne(100000) donne un nombre très proche de $1{,}17$. La distance à l'espérance diminue quand $n$ augmente.

Tu remarques que deux appels de moyenne(100) donnent des résultats différents. Pourquoi ?

Réponse : chaque simulation est aléatoire, donc la moyenne d'un échantillon fluctue autour de $E(X)$.

L'essentiel

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : l'événement conditionnant $A$ est au dénominateur ; en général $P_A(B)\neq P_B(A)$.
Arbre pondéré : produit le long d'un chemin, somme des chemins, somme des branches d'un nœud égale à $1$ ; probabilités totales avec une partition.
Pour inverser une conditionnelle : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ avec $P(B)$ obtenu par les probabilités totales.
$A$ et $B$ indépendants $\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Avec remise : indépendants ; sans remise : en général dépendants.
$E(X)=\sum p_ix_i$, $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$. Jeu équitable : espérance du gain algébrique nulle.

À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section

★☆☆ Dans un lycée, on s'intéresse aux 200 élèves de première. On note $F$ l'événement «…★☆☆ À la fête du lycée, un stand propose le jeu suivant : on lance une roue et le gain…★☆☆ Dans une ville, $60\,\%$ des élèves d'un lycée utilisent le métro pour venir en cours.…