Suite croissante

Écrire les quatre premiers termes de la suite $a_n = 3n - 5$ et vérifier, en calculant la différence $a_{n+1} - a_n$, qu'il s'agit d'une suite strictement croissante.

Déterminer si la suite $c_n = n^2 + 2n$ est croissante. Pour cela, calculer algébriquement la différence entre le terme $n+1$ et le terme $n$, puis étudier le signe du résultat.

Montrer algébriquement que la suite de terme général $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ est strictement croissante. Pour cela, développer l'inéquation $a_{n+1} - a_n > 0$ et justifier le signe du numérateur et du dénominateur obtenus.

Soit la suite géométrique $d_n = 3^n$. Utiliser la méthode du quotient (c'est-à-dire calculer $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) pour montrer qu'elle est strictement croissante.

Un arbre fraîchement planté mesure $150$ cm. Chaque année, sa hauteur augmente de $5$ % par rapport à la hauteur de l'année précédente. Exprimer sa hauteur $h_n$ au bout de $n$ ans et justifier à l'aide du critère du quotient que la suite de ses hauteurs est croissante.

La population d'une colonie de bactéries dans une culture contrôlée est modélisée par la suite $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, où $n \geq 1$ représente le nombre de jours écoulés. Utiliser le critère du quotient $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ pour montrer rigoureusement que la population est en croissance constante.

Soit la suite de terme général $b_n = \frac{n}{2} + 4$. Montrer qu'elle est croissante en vérifiant que $b_{n+1} \geq b_n$ pour tout entier naturel $n$.

Vérifier que la suite définie par récurrence par $a_1 = 3$ et $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$.

Dans une expérience de cinématique, la vitesse d'un mobile à l'instant $n$ (en secondes) est donnée par la suite $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Montrer par le calcul que le mobile accélère en permanence (la suite des vitesses est strictement croissante) et observer le graphique pour déterminer s'il dépassera à un moment les $10$ m/s.

Montrer que la suite $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$. Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $b_n \geq 1$ ? Justifier la réponse.

Déterminer les valeurs du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite définie par $a_n = (k-3)n + 5$ est strictement croissante. Justifier la réponse à partir de la différence $a_{n+1} - a_n$.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $x \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite géométrique $a_n = (2x - 1)^n$ est strictement croissante et à termes tous positifs.

On considère la suite avec radicaux $c_n = \sqrt{n+5}$. Montrer qu'elle est strictement croissante. Pour éviter de travailler directement avec des inégalités de racines, multiplier et diviser l'expression $c_{n+1} - c_n$ par son conjugué.

Montrer que la suite de terme général $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ est strictement croissante. Indice : multiplier et diviser par l'expression conjuguée avant d'étudier la différence $a_{n+1} - a_n$.

Étudier le sens de variation de la suite $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Montrer qu'elle n'est pas strictement croissante pour tout $n$, en indiquant à partir de quel terme précis elle commence à décroître strictement.

Montrer que la suite rationnelle $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (en supposant que $r > 0$ et $rn+s > 0$ pour tout $n \geq 1$) est strictement croissante si et seulement si la condition $ps - qr > 0$ est vérifiée.