Géométrie et trigonométrie · Trigonométrie d'angles quelconques
Mesure des angles : degrés et radians
Jusqu'ici, tu as mesuré les angles en degrés : une unité héritée des Babyloniens, qui découpe le tour complet en $360$ parts, sans autre raison que la tradition. En première, on utilise une seconde unité, le radian, qui n'a rien d'arbitraire : elle naît de la comparaison entre un arc de cercle et son rayon. C'est elle qui rend simples les formules sur les rotations, de la grande roue d'une fête foraine au disque d'une meuleuse. Comment mesurer un angle avec seulement des longueurs ? C'est ce que nous allons voir.
Le radian : quand l'arc a la même longueur que le rayon
Imagine que tu prennes le rayon d'un cercle et que tu le courbes le long du bord du cercle, comme un fil. L'angle au centre qui intercepte cet arc, exactement aussi long que le rayon, mesure un radian. Peu importe que le cercle soit petit ou immense : le rapport entre l'arc et le rayon ne dépend que de l'angle.
La circonférence d'un cercle vaut $2\pi r$ et chaque radian correspond à un arc de longueur $r$ : un tour complet contient donc exactement $2\pi$ radians. Ainsi $2\pi$ rad $=360^\circ$ : ce n'est pas une coïncidence, c'est la définition même du radian.
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Un angle mesure exactement $3$ radians. Sans utiliser la calculatrice, déterminer en justifiant si cet angle est supérieur, inférieur ou égal à un angle plat…
Un angle mesure exactement $3$ radians. Sans utiliser la calculatrice, déterminer en justifiant si cet angle est supérieur, inférieur ou égal à un angle plat ($180^\circ$) et préciser dans quel quadrant il se situe.
Un tour complet mesure $360^\circ$ et aussi $2\pi$ rad. Cette égalité (ou plutôt la moitié : $180^\circ = \pi$ rad) donne un tableau de proportionnalité qui permet de convertir dans les deux sens.
Angles d'un polygone en radians
Rappel du collège : un polygone à $n$ côtés se découpe, à partir d'un sommet, en $n-2$ triangles. La somme de ses angles intérieurs vaut donc $(n-2)\times180^\circ=(n-2)\pi$ rad. Si le polygone est régulier, ses $n$ angles sont égaux : chacun mesure $\dfrac{(n-2)\pi}{n}$ rad.
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Exprimer en radians, sous forme de fractions irréductibles de $\pi$, les angles suivants donnés en degrés : $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ et $330^\circ$.
Exprimer en radians, sous forme de fractions irréductibles de $\pi$, les angles suivants donnés en degrés : $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ et $330^\circ$.
Calculer la somme des angles intérieurs d'un octogone régulier et exprimer la mesure de chacun de ses angles intérieurs en radians, sous forme de fractions de $\pi$.
Calculer la somme des angles intérieurs d'un octogone régulier et exprimer la mesure de chacun de ses angles intérieurs en radians, sous forme de fractions de $\pi$.
Un degré se partage en $60$ minutes d'angle et une minute en $60$ secondes : $1^\circ=60'$ et $1'=60''$. Pour écrire une mesure décimale en degrés, minutes, secondes, on garde la partie entière en degrés, puis on multiplie la partie décimale par $60$ pour obtenir les minutes, et on recommence pour les secondes.
Tours complets, angles négatifs et quadrant
Comme en degrés, un angle en radians peut dépasser $2\pi$ (plus d'un tour) ou être négatif (rotation dans le sens horaire). Pour savoir où se trouve son côté final, on ajoute ou on retranche des tours complets de $2\pi$ jusqu'à obtenir une mesure comprise entre $0$ et $2\pi$. Pour les angles donnés en degrés, on procède de même avec $360^\circ$.
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Ramener les angles suivants au premier tour (c'est-à-dire déterminer leur mesure équivalente comprise entre $0^\circ$ et $360^\circ$) et indiquer dans quel quadrant se…
Ramener les angles suivants au premier tour (c'est-à-dire déterminer leur mesure équivalente comprise entre $0^\circ$ et $360^\circ$) et indiquer dans quel quadrant se situe le côté final de chacun : $1250^\circ$ et $2460^\circ$.
Déterminer la mesure positive équivalente sur le premier tour (comprise entre $0$ et $2\pi$ rad) pour les angles négatifs suivants : $-\frac{\pi}{4}$ et…
Déterminer la mesure positive équivalente sur le premier tour (comprise entre $0$ et $2\pi$ rad) pour les angles négatifs suivants : $-\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{13\pi}{6}$.
C'est ici que le radian montre son utilité : comme $1$ rad intercepte un arc égal au rayon, la longueur de n'importe quel arc est simplement l'angle (en radians) multiplié par le rayon.
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Calculer l'angle au centre interceptant un arc de $12$ cm de longueur sur un cercle de rayon $4$ cm. Exprimer le résultat en radians et en degrés.
Calculer l'angle au centre interceptant un arc de $12$ cm de longueur sur un cercle de rayon $4$ cm. Exprimer le résultat en radians et en degrés.
Déterminer la longueur de l'arc décrit par l'extrémité inférieure d'un pendule de $60$ cm de longueur lorsqu'il oscille d'un angle de $\frac{\pi}{8}$ radians.
Déterminer la longueur de l'arc décrit par l'extrémité inférieure d'un pendule de $60$ cm de longueur lorsqu'il oscille d'un angle de $\frac{\pi}{8}$ radians.
Un arroseur agricole couvre un secteur circulaire. Le jet d'eau atteint une distance maximale de $18$ mètres et la tête de l'arroseur balaie un angle de $140^\circ$.…
Un arroseur agricole couvre un secteur circulaire. Le jet d'eau atteint une distance maximale de $18$ mètres et la tête de l'arroseur balaie un angle de $140^\circ$. Calculer l'aire totale du terrain arrosé et la longueur de l'arc extérieur décrit par l'eau.
Vitesse angulaire : combien de radians par seconde ?
Quand un objet tourne (un disque, une roue, le faisceau d'un phare), on s'intéresse à l'angle parcouru par unité de temps : c'est la vitesse angulaire, qui s'exprime naturellement en radians par seconde.
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Un disque vinyle tourne sur une platine à la vitesse de $33$ tours par minute. Calculer sa vitesse angulaire en radians par seconde et déterminer l'angle, en radians,…
Un disque vinyle tourne sur une platine à la vitesse de $33$ tours par minute. Calculer sa vitesse angulaire en radians par seconde et déterminer l'angle, en radians, décrit par un point de son bord en $2,5$ secondes.
Le système de transmission d'une machine industrielle est constitué de deux poulies reliées par une courroie tendue. La poulie motrice a un rayon de $15$ cm et la poulie…
Le système de transmission d'une machine industrielle est constitué de deux poulies reliées par une courroie tendue. La poulie motrice a un rayon de $15$ cm et la poulie réceptrice un rayon de $45$ cm. Si la poulie motrice tourne d'un angle de $\frac{7\pi}{2}$ radians, calculer de combien de radians tourne la poulie réceptrice et combien de tours complets elle effectue.
Le rayon des roues d'une automobile est de $32$ cm. Si le véhicule roule à une vitesse constante de $90$ km/h, calculer la vitesse angulaire des roues en radians par…
Le rayon des roues d'une automobile est de $32$ cm. Si le véhicule roule à une vitesse constante de $90$ km/h, calculer la vitesse angulaire des roues en radians par seconde. Déterminer ensuite l'angle total dont tourne une roue sur un trajet de $15$ minutes et le convertir en nombre de tours complets.
Retour au début : la mesure d'un angle peut se lire comme un rapport de longueurs (arc sur rayon), ce qui explique pourquoi les formules deviennent si simples en radians.
L'essentiel
À s'entraîner ! 10 exercices de niveau moyen dans cette section