Équations du second degré

Appliquer la formule générale pour trouver les racines de l'équation du second degré complète suivante :

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Déterminer si l'équation $2x^2 + 3x + 5 = 0$ admet une solution dans l'ensemble des nombres réels en calculant au préalable la valeur de son discriminant $\Delta$.

La vente des billets de la comédie musicale du lycée dégage un bénéfice $B$ (en dizaines d'euros) qui dépend du nombre de billets vendus $x$ (en dizaines) selon l'équation $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calculer combien de billets il faut vendre exactement pour que le bénéfice soit nul (le seuil de rentabilité).

Résoudre l'équation du second degré incomplète suivante en isolant directement l'inconnue :

$4x^2 - 64 = 0$

Calculer les solutions de l'équation du second degré incomplète suivante en factorisant par le facteur commun :

$3x^2 + 15x = 0$

Trouver les solutions de l'équation suivante, déjà factorisée, sans développer le produit :

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Lucas résout l'équation $2x^2 - 10x = 0$ au tableau et effectue les étapes suivantes dans son cahier :

En consultant le corrigé du manuel, il constate avec surprise que l'équation a en réalité deux solutions : $x_1 = 0$ et $x_2 = 5$.

1. a) Expliquer avec précision mathématique quelle erreur conceptuelle Lucas a commise en divisant les deux membres par l'inconnue $x$ et pourquoi cette opération a éliminé l'une des solutions valides.
2. b) Résoudre correctement l'équation en factorisant par le facteur commun et justifier chaque étape en appliquant la propriété du produit nul.

Déterminer la valeur du coefficient $c$ dans l'équation $x^2 + 4x + c = 0$ pour qu'elle admette une unique solution réelle double.

Déterminer la valeur numérique du paramètre $k$ pour que l'équation $3x^2 - kx + 12 = 0$ admette une unique solution réelle double.

Pour résoudre l'équation $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba et Mateo proposent des stratégies différentes :

• Alba propose de développer l'identité remarquable, de soustraire $25$, de regrouper les termes sous la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$ et d'appliquer la formule générale avec le discriminant.

• Mateo propose d'isoler directement la puissance, en écrivant $(3x - 1)^2 = 25$, et de prendre la racine carrée des deux membres en considérant le double signe $\pm$.

1. a) Résoudre l'équation en suivant pas à pas la méthode d'Alba puis celle de Mateo, en vérifiant que toutes deux conduisent aux mêmes solutions.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace et présente le moins de risques d'erreurs de calcul (signes, opérations avec de grands nombres).
3. c) La méthode abrégée de Mateo serait-elle directement applicable pour résoudre l'équation $(3x - 1)^2 - 6x = 25$ ? Justifier pourquoi oui ou pourquoi non.

Écrire une équation du second degré sous la forme $x^2 + bx + c = 0$ sachant que ses seules solutions sont $x_1 = 3$ et $x_2 = -8$.

On souhaite construire une équation du second degré à coefficients entiers de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ dont les solutions exactes sont $x_1 = -\frac{3}{2}$ et $x_2 = 4$.

1. a) Appliquer les formules de Viète pour déduire la valeur exacte de la somme ($S = x_1 + x_2$) et du produit ($P = x_1 \cdot x_2$) des solutions sous forme de fractions irréductibles.
2. b) Écrire une équation équivalente à coefficients entiers ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sans dénominateurs, avec $a > 0$ et telle que les coefficients n'aient aucun facteur commun (c'est-à-dire qu'ils soient premiers entre eux).
3. c) L'équation obtenue à la question précédente est-elle la seule équation du second degré qui admette exactement ces deux solutions ? Justifier la réponse en raisonnant sur ce qui se passe lorsque l'on multiplie tous les coefficients par une constante $k \neq 0$.

Sachant que l'une des solutions de l'équation $2x^2 + bx - 15 = 0$ est $x_1 = 3$, calculer, sans résoudre complètement l'équation, la valeur de l'autre solution $x_2$ et la valeur du coefficient $b$.

Développer les identités remarquables, regrouper les termes semblables et résoudre l'équation suivante :

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Résoudre l'équation suivante en opérant d'abord sur les fractions algébriques. Vérifier les solutions obtenues pour écarter d'éventuelles fausses racines qui annuleraient les dénominateurs :

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

L'aire d'un rectangle est de $60\text{ cm}^2$ et la longueur de sa diagonale est de $13\text{ cm}$. En notant $x$ la base et $y$ la hauteur, exprimer $y$ en fonction de $x$ à l'aide de l'aire. Substituer ensuite dans le théorème de Pythagore pour la diagonale et résoudre l'équation bicarrée obtenue pour trouver les dimensions exactes du rectangle.

Résoudre l'équation suivante, dans laquelle apparaît un radical, en isolant d'abord la racine puis en élevant au carré les deux membres. Il est obligatoire de vérifier les solutions obtenues dans l'équation initiale pour écarter d'éventuelles fausses racines :

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Discuter, en fonction des différentes valeurs du paramètre $m$, le nombre de solutions réelles de l'équation du second degré suivante :

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Veiller à analyser ce qui se passe lorsque le discriminant est positif, nul ou négatif, et ne pas oublier le cas particulier où le coefficient dominant s'annule.

Considérer la famille d'équations suivante, où intervient un paramètre réel $k$ :

1. a) Un élève affirme que si $k = 2$, l'équation n'a aucune solution car, en appliquant la formule quadratique, le dénominateur $2a$ s'annule ($2 \cdot 0 = 0$). Réfuter son affirmation en expliquant quel type d'équation on obtient en réalité en remplaçant $k = 2$, et calculer sa solution.
2. b) Pour les cas où $k \neq 2$, calculer l'expression simplifiée du discriminant $\Delta$ en fonction de $k$ et déterminer formellement pour quelles valeurs du paramètre l'équation admet deux solutions réelles distinctes, une solution réelle double ou aucune solution réelle.
3. c) Sans calculer les solutions de l'équation, utiliser de manière justifiée les relations entre coefficients et racines (Viète) pour déterminer s'il existe une valeur de $k$ pour laquelle les deux racines sont opposées ($x_1 + x_2 = 0$). Si oui, déterminer cette valeur de $k$, vérifier si ses racines sont réelles et trouver la valeur des deux solutions.

Le carré d'un entier naturel moins son triple est exactement égal à $18$. Poser une équation du second degré et déterminer de quel nombre il s'agit.

Pour rénover le salon rectangulaire d'un logement, l'architecte indique que la longueur mesure $2\text{ m}$ de plus que la largeur. Si l'aire totale du salon est de $35\text{ m}^2$, poser une équation du second degré et calculer les dimensions exactes de la pièce.

Un ingénieur aérospatial lance une fusée d'essai. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par la fusée en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = 40t - 5t^2$. Déterminer à quels instants la fusée se trouve exactement à une hauteur de $75\text{ m}$.

Une photographie rectangulaire de dimensions $20\text{ cm}$ de base sur $15\text{ cm}$ de hauteur va être encadrée avec une marie-louise de largeur uniforme $x$. Si l'aire totale de l'ensemble (photographie plus marie-louise) doit être exactement de $500\text{ cm}^2$, poser une équation du second degré et calculer la largeur $x$ de la marie-louise.