Variations et extremums avec la dérivée

On sait que la dérivée d'une fonction $f$ vérifie $f'(3) = -2$. Sans connaître l'expression de $f$, dire si la fonction est croissante ou décroissante au point $x = 3$ et expliquer ce que signifie cette valeur pour la tangente en ce point.

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ en étudiant le signe de sa dérivée.

La dérivée d'une fonction est $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. En étudiant le signe de chaque facteur sur ℝ, déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$ et repérer ses extremums locaux.

Déterminer l'extremum local de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$ à l'aide de la dérivée, et dire s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Calculer les points critiques de la fonction $f(x) = x^3 - 12x + 1$, c'est-à-dire les points en lesquels sa dérivée s'annule.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Si $f'(a) = 0$, alors $f$ admet un maximum ou un minimum local en $x = a$ ». La figure, qui montre la fonction $f(x) = x^3$ et sa tangente à l'origine, peut aider à trancher.

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calculer sa dérivée et déterminer ses points critiques.

1. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

1. c) Classer chaque point critique comme maximum ou minimum local et donner la valeur de la fonction en ces points.

La figure montre la courbe de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$, qui coupe l'axe des abscisses en $x = -1$ et en $x = 3$. En observant le signe de $f'$ sur la figure, indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$ et en quels points elle admet des extremums locaux.

La figure montre la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 4]$, avec ses deux extremums locaux marqués. En lisant le graphique :

1. a) Indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$.

1. b) Estimer les coordonnées du maximum et du minimum locaux.

1. c) Indiquer aussi le maximum et le minimum de $f$ sur $[-3 ; 4]$.

La figure montre la courbe de la dérivée $f'$ d'une certaine fonction $f$ dérivable sur tout $\mathbb{R}$ ; la courbe coupe l'axe des abscisses exactement en $x = -2$, $x = 1$ et $x = 4$.

1. a) Indiquer en quels points $f$ admet des extremums locaux et les classer en étudiant le signe de $f'$.

1. b) Est-il possible de connaître la valeur que prend $f$ en ces extremums à partir de la courbe de $f'$ ? Justifier la réponse.

Soit la fonction polynôme $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ restreinte à l'intervalle fermé $[0 ; 3]$ :

1. a) Avant de calculer une dérivée, évaluer mentalement ou rapidement les valeurs aux bornes de l'intervalle, $f(0)$ et $f(3)$, ainsi que la valeur en $f(1)$. À partir de ces trois données, estimer en justifiant si le maximum absolu sera atteint à l'intérieur de l'intervalle ou à la borne de droite $x = 3$.
2. b) Calculer la fonction dérivée $f'(x)$, déterminer les points critiques appartenant à l'intervalle $[0 ; 3]$ et les classer en étudiant le signe de $f'$.
3. c) Déterminer exactement le maximum et le minimum absolus sur $[0 ; 3]$ en évaluant les candidats pertinents (points critiques intérieurs et bornes de l'intervalle) et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Un petit atelier fabrique $x$ vélos par mois et le coût moyen par vélo, en euros, est donné par $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, avec $x > 0$. Déterminer le nombre de vélos qui rend le coût moyen minimal et la valeur de ce coût minimal, en vérifiant avec le signe de la dérivée qu'il s'agit bien d'un minimum.

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ définie sur l'intervalle fermé $[-2, 3]$.

1. a) Déterminer ses points critiques dans l'intervalle.

1. b) Calculer la valeur de $f$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle.

1. c) Déterminer le maximum et le minimum absolus de $f$ sur $[-2, 3]$ et expliquer pourquoi il ne suffit pas de regarder les points critiques.

On considère la fonction $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Démontrer, en étudiant le signe de $f'(x)$, que $f$ est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$.

1. b) Justifier, à partir de la question précédente et des valeurs $f(0)$ et $f(1)$, combien de solutions réelles possède l'équation $x^3 + x - 1 = 0$.

On veut démontrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \geq 0$ en utilisant les variations.

1. a) Définir $f(x) = e^x - 1 - x$ et étudier le signe de $f'(x)$ pour $x \geq 0$.

1. b) Calculer $f(0)$ et en déduire, à partir des variations de $f$, que $f(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.

1. c) Conclure quant à l'inégalité demandée et dire si elle est aussi valable pour $x < 0$.

Dans une fête foraine, une fusée à eau atteint une hauteur $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ mètres $t$ secondes après le lancement. À l'aide de la dérivée, calculer à quel instant elle atteint sa hauteur maximale et la valeur de cette hauteur.

Déterminer la valeur du paramètre $b$ pour que la fonction $f(x) = x^2 + bx + 3$ admette un minimum local au point $x = 2$. Avec cette valeur de $b$, calculer la valeur minimale de la fonction.

Les organisateurs d'un festival estiment que, si le billet est vendu $x$ euros, $400 - 8x$ personnes viendront, de sorte que la recette est $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ euros, avec $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Déterminer les intervalles sur lesquels la recette augmente et ceux sur lesquels elle diminue lorsque le prix augmente.

1. b) Déterminer le prix qui maximise la recette et la valeur de cette recette maximale.

La fonction $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ admet un extremum local au point $(1 ; -2)$.

1. a) Écrire les deux conditions que doivent vérifier $a$ et $b$ et calculer leurs valeurs.

1. b) Avec ces valeurs, repérer l'autre extremum local de la fonction et classer les deux.

On considère la famille de fonctions $f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 9x - 1$, où $k \in \mathbb{R}$ est un paramètre.

1. a) Calculer $f'_k(x)$ et déterminer pour quelles valeurs de $k$ la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Expliquer ce qui se passe pour la courbe et la tangente dans le cas particulier $k = \sqrt{3}$.
2. b) Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles la fonction admet exactement deux points critiques distincts. Les classer en maximum ou minimum local en justifiant la réponse d'après les signes de la dérivée sur ℝ.
3. c) Dans le cas particulier $k = 2$, restreindre la fonction à l'intervalle fermé $[0\,;\,5]$. Déterminer en justifiant tous les candidats aux extremums globaux, évaluer la fonction en ceux-ci et localiser le maximum et le minimum globaux de la fonction sur cet intervalle. D'après le résultat, expliquer pourquoi, sur un intervalle fermé, le maximum global n'est pas nécessairement égal à un maximum local.