Droites et points remarquables d'un triangle

Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle dont les sommets sont $A(1 ; 2)$, $B(3 ; -4)$ et $C(-1 ; 5)$.

Déterminer l'équation réduite de la médiane issue du sommet $A$ dans le triangle de sommets $A(0 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, -2)$ et $C(2 \,;\, 6)$.

Trois antennes de télécommunications forment un triangle de sommets $A(-4 ; 0)$, $B(2 ; -2)$ et $C(5 ; 5)$. Calculer l'emplacement du centre de gravité pour y placer un émetteur central, et déterminer la distance exacte de cet émetteur à l'antenne $C$.

Déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $B$ dans le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(1 ; -5)$.

Lors d'un contrôle de mathématiques de première, on demande de déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $A$ dans le triangle de sommets $A(1 ; 3)$, $B(-2 ; 1)$ et $C(4 ; -1)$.

Marc rend la résolution suivante :

1) Il détermine le milieu du côté $BC$ : $M = \left(\frac{-2+4}{2} ; \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1 ; 0)$.

2) Il calcule le coefficient directeur du côté $BC$ : $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3) Il en déduit le coefficient directeur de la perpendiculaire : $m_\perp = 3$.

4) Il écrit la droite de coefficient directeur $3$ passant par $M(1 ; 0)$ : $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc : quelle droite remarquable a-t-il réellement calculée à la place de la hauteur ? Rédiger ensuite la démarche correcte et obtenir l'équation cartésienne de la hauteur demandée.

Un bâtiment a un plan triangulaire de sommets $A(-1 ; -1)$, $B(5 ; -1)$ et $C(2 ; 5)$. Calculer les coordonnées de l'orthocentre de ce triangle.

Calculer l'équation cartésienne de la médiatrice du côté $AB$ d'un triangle sachant que les sommets correspondants sont $A(2\,;\,5)$ et $B(-4\,;\,1)$.

Trois arbres d'une plantation agricole sont situés aux points $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$ et $C(1\,;\,5)$ (coordonnées exprimées en dizaines de mètres). On souhaite installer un arroseur équidistant des trois arbres. Calculer les coordonnées du point où il doit être placé (centre du cercle circonscrit) et le rayon de portée de l'eau nécessaire pour les arroser.

Un triangle a pour sommets $A(1 ; 1)$ et $B(5 ; 1)$. Le sommet $C$ se trouve sur la droite d'équation $y = x+2$. Sachant que le triangle est isocèle et que le côté différent des deux autres est $AB$, déterminer les coordonnées du sommet $C$ et du centre de son cercle circonscrit.

Déterminer les coordonnées de l'orthocentre du triangle rectangle de sommets $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,4)$.

Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(8 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$.

Étant donné un triangle rectangle quelconque dont les sommets sont $A(0 ; 0)$, $B(a ; 0)$ et $C(0 ; b)$ avec $a, b > 0$, démontrer analytiquement que son orthocentre coïncide avec l'origine du repère et que le centre de son cercle circonscrit est exactement le milieu de l'hypoténuse.

Dans un triangle $\triangle ABC$, on connaît deux sommets : $A(-3 ; 2)$ et $B(5 ; -4)$. On sait de plus que son centre de gravité est situé au point $G(1 ; 1)$.

1. a) Poser les équations vectorielles ou analytiques nécessaires et déterminer en justifiant les coordonnées du troisième sommet $C$.
2. b) Avec les coordonnées des trois sommets ainsi calculées, classer le triangle selon la longueur de ses côtés (équilatéral, isocèle ou scalène), en justifiant la réponse par le calcul explicite de leurs longueurs.
3. c) Déterminer une équation cartésienne de la droite qui porte la médiane issue du sommet $C$.

Dans un triangle de sommets $A(1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$ et $C(a ; b)$, on sait que le centre de gravité est le point $G(2 ; 1)$. Calculer les coordonnées du sommet $C$ et une équation de la médiane issue de ce sommet.

L'orthocentre d'un triangle est le point $H(2\,;\,2)$. On connaît deux de ses sommets, $A(-1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,1)$. Calculer les coordonnées du sommet $C$.

D'un triangle $ABC$, on connaît le sommet $A(1 ; 3)$ et les équations de deux de ses médianes : $x-2y+1=0$ et $y-1=0$. Calculer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

Dans un triangle $ABC$, le sommet $A$ a pour coordonnées $(-1 ; 2)$. Les hauteurs issues des sommets $B$ et $C$ sont portées respectivement par les droites d'équations $x-y+1=0$ et $2x+y-4=0$. Déterminer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

On connaît le sommet $A(2 ; 5)$ d'un triangle $ABC$. Les médiatrices des côtés $AB$ et $AC$ ont pour équations $x-y+2=0$ et $2x+y-3=0$, respectivement. Déterminer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

Calculer les équations des deux bissectrices des angles formés par les droites qui portent les côtés d'un triangle, dont les équations sont $3x-4y+1=0$ et $4x+3y-5=0$.

Trois routes se croisent en formant un triangle délimité par les droites $x=0$, $y=0$ et $3x+4y-12=0$. Calculer les coordonnées du centre du cercle inscrit pour y placer un rond-point tangent aux trois voies, ainsi que le rayon de ce rond-point.

Étant donné le triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(2 ; 6)$, déterminer les coordonnées de son centre de gravité et de son orthocentre. Obtenir ensuite l'équation cartésienne de la droite d'Euler passant par ces deux points.

Étant donnés les sommets d'un triangle $A(-2 ; -1)$, $B(4 ; -1)$ et $C(1 ; 5)$, déterminer les coordonnées de l'orthocentre $H$, du centre de gravité $G$ et du centre du cercle circonscrit $O$. Démontrer analytiquement que la distance entre l'orthocentre et le centre de gravité est le double de la distance entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit ($HG = 2GO$).

Dans un triangle non équilatéral $\triangle ABC$, les coordonnées des sommets $B$ et $C$ ont été égarées, mais on connaît avec certitude les données suivantes :

• Le centre du cercle circonscrit du triangle est $O(1 ; -2)$.

• L'orthocentre du triangle est $H(7 ; 4)$.

• L'un des sommets est $A(-1 ; 2)$.

1. a) Déduire en justifiant les coordonnées du centre de gravité $G$ en utilisant la propriété vectorielle de la droite d'Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), en démontrant qu'il n'est pas nécessaire de connaître au préalable les sommets $B$ et $C$.
2. b) Sachant que le centre de gravité divise la médiane issue de $A$ dans le rapport $2:1$ à partir de ce sommet (c'est-à-dire $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, où $M_A$ est le milieu du côté $BC$), déterminer les coordonnées de $M_A$.
3. c) Justifier pourquoi la droite passant par le centre du cercle circonscrit $O$ et par le milieu $M_A$ est nécessairement la médiatrice du segment $BC$. Écrire son équation cartésienne et en déduire le coefficient directeur de la droite qui porte le côté $BC$.
4. d) Expliquer en justifiant comment on pourrait déterminer exactement les coordonnées des deux sommets manquants, $B$ et $C$, à partir de l'intersection de la droite qui porte le côté $BC$ avec le cercle circonscrit de centre $O$ et de rayon $R = d(O, A)$ (il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation du second degré obtenue : il suffit de formuler la démarche et de justifier pourquoi elle donne exactement deux solutions).