Suite décroissante

Montrer, en étudiant le signe de la différence $a_{n+1} - a_n$, que la suite polynomiale de terme général $a_n = -4n + 7$ est strictement décroissante pour tout entier naturel $n$.

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse par un contre-exemple numérique : « Toute suite dont les termes sont tous négatifs est nécessairement une suite décroissante ».

Démontrer que la suite de terme général $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ est strictement décroissante. Pour cela, poser l'inégalité $a_{n+1} < a_n$, effectuer les calculs algébriques et aboutir à une affirmation vraie pour tout $n \ge 1$.

Utiliser le critère du quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour montrer que la suite géométrique de termes positifs $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ est strictement décroissante.

Une machine industrielle perd chaque année $12\%$ de sa valeur par rapport à l'année précédente. Sa valeur initiale d'achat est de $45000$ euros. Déterminer l'expression du terme général $V_n$ qui donne sa valeur après $n$ années et démontrer que la suite $(V_n)$ est décroissante.

Considérer la suite combinant une puissance et une factorielle $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calculer ses six premiers termes et observer son comportement. À l'aide du critère du quotient, déterminer par le calcul à partir de quelle valeur exacte de $n$ la suite devient strictement décroissante.

Considérer la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Soit $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la suite qui mesure la distance entre $S_n$ et la limite théorique de la série infinie. Démontrer que $(E_n)$ est une suite strictement décroissante et l'exprimer sous forme explicite en fonction de $n$.

Calculer les cinq premiers termes de la suite quadratique $c_n = -n^2 + 6n$. Est-elle décroissante dès le premier terme ? Déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la suite devient strictement décroissante.

Étudier le sens de variation de la suite $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. Est-ce une suite décroissante ? Définir une nouvelle suite $e_n = |d_n|$ en prenant la valeur absolue de chaque terme et démontrer pas à pas que $(e_n)$ est bien une suite strictement décroissante.

Dans un réacteur chimique, la concentration $C_n$ d'un isotope radioactif après $n$ heures est donnée par la relation de récurrence $C_1 = 100$ et $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Démontrer par récurrence que $C_{n+1} < C_n$ pour tout $n \ge 1$, et en conclure que la suite des concentrations est strictement décroissante.

Démontrer que la suite construite à l'aide de radicaux $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ est strictement décroissante. Multiplier et diviser par l'expression conjuguée avant d'étudier si $c_{n+1} < c_n$.

Considérer la suite définie par $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Démontrer qu'elle est minorée par $1$ et qu'elle est strictement décroissante. Enfin, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la différence entre deux termes consécutifs est inférieure en valeur absolue à $10^{-4}$.