Problèmes et équations du second degré
Un groupe d'amis veut offrir un cadeau de 120 euros à partager à parts égales. Deux amis de plus se joignent au groupe et chacun paie 3 euros de moins. Combien étaient-ils au départ ? Tu sais déjà résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec le discriminant ou par factorisation. La vraie difficulté de ces problèmes n'est pas le calcul final : c'est de traduire l'énoncé en équation, puis de décider quoi faire des deux solutions. Nous répondrons à cette question dans la dernière section.
Mettre un problème en équation
Trouver un nombre positif tel que le triple de son carré soit exactement égal à douze fois ce même nombre.
Trouver un nombre positif tel que le triple de son carré soit exactement égal à douze fois ce même nombre.
Nombres et partages
Quand l'énoncé parle de nombres « consécutifs », on n'introduit qu'une seule lettre : si $x$ est le plus petit entier, le suivant est $x+1$. Pour deux entiers pairs consécutifs, ce sont $x$ et $x+2$ ; pour deux impairs consécutifs aussi.
Le produit de deux nombres entiers consécutifs est $156$. Quels sont ces nombres ?
Le produit de deux nombres entiers consécutifs est $156$. Quels sont ces nombres ?
Le produit de deux nombres pairs positifs consécutifs est $288$. Déterminer ces nombres.
Le produit de deux nombres pairs positifs consécutifs est $288$. Déterminer ces nombres.
Un groupe d'amis décide d'acheter un cadeau de mariage qui coûte $120$ euros, à payer à parts égales. À la dernière minute, deux autres amis se joignent au groupe, ce…
Un groupe d'amis décide d'acheter un cadeau de mariage qui coûte $120$ euros, à payer à parts égales. À la dernière minute, deux autres amis se joignent au groupe, ce qui fait que chacun des précédents doit payer $3$ euros de moins que prévu initialement. Combien d'amis composaient le groupe initial ?
Géométrie : aires et théorème de Pythagore
Pour une figure, on exprime les longueurs en fonction de $x$, puis on traduit une aire ($\text{longueur} \times \text{largeur}$ pour un rectangle, $\dfrac{D\,d}{2}$ pour un losange) ou le théorème de Pythagore ($a^2+b^2=c^2$ dans un triangle rectangle).
La base d'une parcelle rectangulaire mesure $5$ mètres de plus que sa hauteur. Si son aire totale est de $150 \text{ m}^2$, calculer ses dimensions.
La base d'une parcelle rectangulaire mesure $5$ mètres de plus que sa hauteur. Si son aire totale est de $150 \text{ m}^2$, calculer ses dimensions.
Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit mesure $7 \text{ cm}$ de plus que l'autre. Si l'hypoténuse mesure $13 \text{ cm}$, calculer la longueur des deux…
Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit mesure $7 \text{ cm}$ de plus que l'autre. Si l'hypoténuse mesure $13 \text{ cm}$, calculer la longueur des deux côtés de l'angle droit.
Une piscine rectangulaire de $10 \text{ m}$ de long sur $6 \text{ m}$ de large est entourée d'une allée de pelouse de largeur uniforme $x$. Si l'aire de l'allée seule…
Une piscine rectangulaire de $10 \text{ m}$ de long sur $6 \text{ m}$ de large est entourée d'une allée de pelouse de largeur uniforme $x$. Si l'aire de l'allée seule est de $80 \text{ m}^2$, quelle est la largeur de l'allée ?
On dispose d'une plaque de carton rectangulaire de $30 \text{ cm}$ de long sur $20 \text{ cm}$ de large. On souhaite construire une boîte sans couvercle en découpant un…
On dispose d'une plaque de carton rectangulaire de $30 \text{ cm}$ de long sur $20 \text{ cm}$ de large. On souhaite construire une boîte sans couvercle en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin et en repliant les rabats vers le haut. Si l'aire de la base de la boîte obtenue doit être de $336 \text{ cm}^2$, calculer la valeur de $x$ et le volume de la boîte.
Âges et mouvement
Pour les âges, « il y a $n$ ans » se traduit par $-n$ et « dans $n$ ans » par $+n$. Pour un mouvement, on utilise $d = v \times t$, donc $t = \dfrac{d}{v}$, ce qui introduit des fractions en $x$.
Si, au carré de l'âge que Lucie aura dans $3$ ans, on retranche le triple de l'âge qu'elle avait il y a $2$ ans, on obtient $55$. Quel âge Lucie a-t-elle actuellement ?
Si, au carré de l'âge que Lucie aura dans $3$ ans, on retranche le triple de l'âge qu'elle avait il y a $2$ ans, on obtient $55$. Quel âge Lucie a-t-elle actuellement ?
Un projectile est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur $h$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h = 40t - 5t^2$. À…
Un projectile est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur $h$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h = 40t - 5t^2$. À quels instants le projectile se trouvera-t-il exactement à une hauteur de $75 \text{ mètres}$ ?
La différence entre les âges d'un grand-père et de son petit-fils est de $56$ ans. Il y a $4$ ans, l'âge du grand-père était exactement le carré de l'âge du petit-fils.…
La différence entre les âges d'un grand-père et de son petit-fils est de $56$ ans. Il y a $4$ ans, l'âge du grand-père était exactement le carré de l'âge du petit-fils. Quels sont leurs âges actuels ?
Un cycliste se rend d'un village A à un village B, distants de $60 \text{ km}$. Au retour, à cause de la fatigue, sa vitesse moyenne est inférieure de $5 \text{ km/h}$ à…
Un cycliste se rend d'un village A à un village B, distants de $60 \text{ km}$. Au retour, à cause de la fatigue, sa vitesse moyenne est inférieure de $5 \text{ km/h}$ à celle de l'aller, si bien qu'il met $1$ heure de plus pour effectuer le même trajet. À quelle vitesse a-t-il roulé à l'aller ?
Vérifier les solutions dans le contexte
Rédige toujours une phrase de conclusion, avec l'unité. Et vérifie dans l'énoncé, pas seulement dans ton équation : une erreur de mise en équation passerait sinon inaperçue.
Revenons au cadeau de 120 euros. Avec $x$ amis au départ, chacun devait payer $\dfrac{120}{x}$ euros, puis $\dfrac{120}{x+2}$ euros : $\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x+2} = 3$. En multipliant par $x(x+2)$ : $120(x+2) - 120x = 3x(x+2)$, soit $240 = 3x^2 + 6x$, puis $x^2 + 2x - 80 = 0$. Alors $\Delta = 4 + 320 = 324 = 18^2$ et $x = \dfrac{-2\pm18}{2}$ : $x=8$ ou $x=-10$. Un nombre d'amis est positif : ils étaient $8$ au départ ($15$ euros chacun, puis $12$ euros à $10$ ✓).
Si l'on augmente de $4 \text{ cm}$ le côté d'un carreau de céramique carré, son aire est multipliée par quatre. Quelle était la longueur initiale du côté ?
Si l'on augmente de $4 \text{ cm}$ le côté d'un carreau de céramique carré, son aire est multipliée par quatre. Quelle était la longueur initiale du côté ?
Le prix d'achat d'un lot de T-shirts est de $300$ euros. Le vendeur décide d'en garder $5$ pour sa famille et de vendre le reste à $2$ euros de plus que ce que chacun…
Le prix d'achat d'un lot de T-shirts est de $300$ euros. Le vendeur décide d'en garder $5$ pour sa famille et de vendre le reste à $2$ euros de plus que ce que chacun lui a coûté. S'il obtient, après les avoir tous vendus, un bénéfice net de $60$ euros (c'est-à-dire qu'il encaisse $360$ euros au total), combien de T-shirts a-t-il achetés au départ ?
Deux tuyaux remplissent ensemble un réservoir d'eau en $6$ heures. Si l'on n'ouvrait que le premier tuyau, il mettrait $5$ heures de moins à remplir le réservoir que si…
Deux tuyaux remplissent ensemble un réservoir d'eau en $6$ heures. Si l'on n'ouvrait que le premier tuyau, il mettrait $5$ heures de moins à remplir le réservoir que si l'on n'ouvrait que le second. Combien de temps chaque tuyau mettrait-il à remplir le réservoir seul ?