Exercices sur les dérivées

Déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.

Déterminer la dérivée de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.

La charge électrique traversant un circuit en fonction du temps est donnée par l'expression $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ coulombs. Calculer l'intensité du courant $I(t) = q'(t)$ et déterminer à quel instant exact l'intensité est nulle.

Lors d'un contrôle en classe de première, Alice doit calculer la fonction dérivée de $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$. Voici ce qu'elle a écrit :

Ensuite, Alice barre les termes $x^4$ du numérateur et du dénominateur et conclut que le résultat final est $f'(x) = \frac{12x^2}{16} = \frac{3x^2}{4}$.

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs algébriques graves commises par Alice : l'une lors du développement du dénominateur et l'autre lors de la simplification de la fraction.
2. b) Corriger l'exercice en effectuant correctement la dérivation, en factorisant le numérateur et en laissant l'expression sous la forme d'une fraction irréductible avec le dénominateur factorisé.

Pour dériver la fonction $f(x) = \frac{5x^4 - 10x^2 + 3}{5}$, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Xavier veut appliquer la formule du quotient, en considérant le numérateur comme $u(x) = 5x^4 - 10x^2 + 3$ et le dénominateur comme la fonction constante $v(x) = 5$.

• Chloé propose de réécrire d'abord la fonction en séparant le dénominateur commun en une somme de monômes : $f(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{3}{5}$, puis de dériver terme à terme.

1. a) Dériver la fonction avec la méthode de Xavier et simplifier le résultat.
2. b) Dériver la fonction avec la méthode de Chloé.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle demande le moins d'opérations algébriques et présente le moins de risque d'erreur ? Justifier quelle règle générale sur les constantes multiplicatives rend inutile l'emploi de la formule du quotient lorsque le dénominateur est un nombre fixe.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 4}$ :

1. a) Observer que $f(0) = 0$ et que pour une valeur proche à droite, comme $x = 0,5$, la fonction prend la valeur $f(0,5) \approx 0,94 > 0$. À partir de ce comportement, estimer en justifiant le signe que devrait avoir la dérivée $f'(0)$ et indiquer si l'on s'attend à ce que la fonction soit croissante ou décroissante au voisinage de ce point.
2. b) Appliquer la formule du quotient pour obtenir l'expression algébrique de $f'(x)$. Simplifier au maximum le numérateur en factorisant par un facteur numérique et en factorisant la différence de carrés obtenue.
3. c) Évaluer $f'(0)$ dans l'expression obtenue et vérifier si cela coïncide avec l'estimation de la question a).
4. d) Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ en utilisant la forme factorisée du numérateur et interpréter la signification géométrique des points correspondants sur la courbe de $f$.

On considère la fonction dépendant d'un paramètre réel $a$ : $f(x) = (x^2 + a) \cdot e^{2x}$.

1. a) En examinant la fonction « de l'extérieur vers l'intérieur », identifier l'opération extérieure principale et appliquer la règle correspondante combinée à la dérivation d'une composée pour calculer $f'(x)$. Exprimer le résultat en factorisant l'exponentielle $e^{2x}$ de façon à obtenir la forme $f'(x) = (2x^2 + 2x + 2a) \cdot e^{2x}$.
2. b) Sachant que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est horizontale (c'est-à-dire que son coefficient directeur est nul), poser une équation faisant intervenir $f'(1)$ et en déduire en justifiant la valeur du paramètre $a$.
3. c) Avec la valeur de $a$ trouvée, factoriser complètement le polynôme qui multiplie $e^{2x}$ dans $f'(x)$ et déterminer tous les points où le coefficient directeur de la tangente à la courbe s'annule.

La loi de refroidissement d'un matériau céramique dans un four industriel suit la fonction $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, où $T$ est la température en degrés Celsius et $t$ le temps en minutes. Calculer le taux de variation de la température par rapport au temps, $T'(t)$, et déterminer combien de temps doit s'écouler pour que la température baisse exactement au rythme de $10^\circ \text{C/min}$.

Montrer, en calculant la dérivée et en étudiant son signe, que la fonction $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ est strictement croissante sur tout son ensemble de définition.

Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction polynôme $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ (avec $b > 0$) pour que la fonction $f(x) = a e^{bx}$ vérifie simultanément $f(0) = 3$ et que sa dérivée seconde évaluée en l'origine soit égale à $f''(0) = 12$.

Calculer la dérivée n-ième de la fonction $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Exprimer le résultat $f^{(n)}(x)$ à l'aide d'une formule générale dépendant de $n$.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ en appliquant la formule de dérivation d'une composée.

Déterminer la dérivée de la fonction irrationnelle $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ et simplifier le résultat au maximum, en l'exprimant avec un unique dénominateur.

Déterminer la dérivée de la fonction trigonométrique $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.

La population d'une espèce d'algue marine, en millions d'individus, suit la fonction $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, où $t$ est le temps en semaines. Déterminer le taux de croissance instantané de la population la troisième semaine ($t=3$).

Calculer la dérivée de la fonction composée $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, en faisant attention à l'application successive de la formule de dérivation d'une composée.

Soit la fonction $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$. Calculer sa dérivée et l'évaluer au point $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.

Calculer la dérivée de la fonction suivante, en appliquant la formule du produit et celle de la composée : $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.

Le coût total en euros de production de $x$ sweats personnalisés pour le voyage de fin d'année est donné par $C(x) = \frac{150x}{\sqrt{x^2+100}} + 200$. Calculer la fonction de coût marginal $C'(x)$.

L'intensité du courant dans un circuit en courant alternatif varie selon la fonction $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, où $t$ est le temps en secondes. Calculer la dérivée $I'(t)$ en appliquant la formule du quotient et celle de la composée.

Montrer, à l'aide des propriétés des logarithmes et des règles de dérivation, que la dérivée de la fonction $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ est $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ pour $x > 0$ et simplifier au maximum l'expression obtenue.

On souhaite calculer la fonction dérivée de $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 1}}\right)$, définie pour $x > 0$.

1. a) Manon essaie de dériver en appliquant directement la formule de dérivation d'une fonction composée à l'expression complète : d'abord la dérivée du logarithme népérien $\frac{u'}{u}$, puis la formule du quotient avec une racine au dénominateur pour déterminer $u'$. Décrire les difficultés et la complexité algébrique que présente cette méthode.
2. b) Hugo propose une stratégie différente : avant de dériver, réécrire $f(x)$ en appliquant les propriétés du logarithme (logarithme d'un quotient, d'une puissance et d'une racine) pour décomposer la fonction en une somme et une différence de logarithmes simples. Appliquer la stratégie d'Hugo pour transformer $f(x)$.
3. c) Dériver terme à terme l'expression simplifiée par Hugo, réduire les fractions au même dénominateur et constater combien le processus est direct.
4. d) À partir de la dérivée obtenue à la question c), étudier s'il existe un point où la tangente est horizontale ($f'(x) = 0$) dans l'ensemble de définition ($x > 0$) et justifier la réponse.

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Exprimer le résultat sous la forme d'une puissance fractionnaire ou d'une racine.

Soit deux fonctions dérivables $g(x)$ et $h(x)$, on définit une nouvelle fonction $f(x) = g(h(x^2))$. Sachant que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ et $g'(2) = -4$, calculer la valeur exacte de $f'(1)$ en détaillant les étapes de la dérivation d'une composée.

D'après des relevés de Météo-France, lors d'une journée de canicule à Toulouse, la température $T$ (en degrés Celsius) enregistrée entre 8 h 00 et 22 h 00 peut être approchée par le modèle :

où $t$ est l'heure de la journée ($8 \le t \le 22$).

1. a) Calculer la fonction dérivée $T'(t)$ en appliquant la formule du quotient et celle de la composée. Simplifier le numérateur en factorisant l'expression obtenue afin d'écrire $T'(t)$ comme une unique fraction irréductible dont le numérateur est entièrement factorisé.
2. b) La dérivée $T'(t)$ mesure le taux de variation instantané de la température en °C/h. Calculer $T'(11)$ et interpréter le résultat dans le contexte : la température augmente-t-elle ou diminue-t-elle à 11 h 00, et à quel rythme exact ?
3. c) Déterminer à quelle heure exacte de la journée la température maximale est atteinte en résolvant l'équation $T'(t) = 0$ et calculer la valeur de cette température record.