Angles orientés et cercle trigonométrique
Jusqu'ici, le sinus et le cosinus n'avaient de sens que pour les angles aigus d'un triangle rectangle. Pourtant, une grande roue peut tourner de $750^\circ$ sans s'arrêter, et la pale d'une éolienne passe en haut, en bas, à gauche et à droite. Quelle est la hauteur d'une cabine après un tour de $750^\circ$ ? Il faut une définition du cosinus et du sinus valable pour tous les angles, aussi grands ou négatifs soient-ils : c'est le rôle du cercle trigonométrique.
Angles de plus d'un tour et angles négatifs
Un angle n'est pas obligé de rester entre $0^\circ$ et $360^\circ$. Si un objet continue de tourner, l'angle parcouru peut valoir $750^\circ$ ou $2\,000^\circ$ : chaque tranche de $360^\circ$ est un tour complet.
Par convention, on mesure les angles à partir du demi-axe positif des abscisses. Le sens antihoraire (sens direct) est le sens positif ; le sens horaire est le sens négatif. Le point où s'arrête la rotation donne le côté d'arrivée de l'angle.
Un angle supérieur à $360º$ correspond à plus d'un tour complet. Exprimer chacun de ces angles comme un nombre de tours complets plus un angle inférieur à $360º$ :…
Un angle supérieur à $360º$ correspond à plus d'un tour complet. Exprimer chacun de ces angles comme un nombre de tours complets plus un angle inférieur à $360º$ :
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$\alpha = 750º$
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$\beta = 1180º$
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$\gamma = 2000º$
Les angles négatifs se parcourent dans le sens horaire. Exprimer chacun de ces angles sous la forme d'un angle positif inférieur à $360º$ ayant le même côté d'arrivée :…
Les angles négatifs se parcourent dans le sens horaire. Exprimer chacun de ces angles sous la forme d'un angle positif inférieur à $360º$ ayant le même côté d'arrivée :
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$\alpha = -60º$
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$\beta = -150º$
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$\gamma = -400º$
Une grande roue tourne dans le sens antihoraire. Une de ses cabines part du point le plus bas et, après le parcours complet d'un cycle, a tourné d'un total de $750º$.…
Une grande roue tourne dans le sens antihoraire. Une de ses cabines part du point le plus bas et, après le parcours complet d'un cycle, a tourné d'un total de $750º$.
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Combien de tours complets la cabine a-t-elle effectués ?
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Quel angle inférieur à $360º$ décrit sa position finale par rapport à la position de départ ?
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Si la rotation avait été de $1500º$, où la cabine se retrouverait-elle ?
Le cercle trigonométrique : cosinus et sinus comme coordonnées
Dans un repère orthonormé $(O ; \vec\imath, \vec\jmath)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens antihoraire. À chaque angle $\alpha$, on associe son côté d'arrivée, qui coupe le cercle en un unique point $P$ : c'est le point image de $\alpha$.
Pour un angle aigu, on retrouve la définition du triangle rectangle : l'hypoténuse vaut $1$ (le rayon), donc « côté adjacent sur hypoténuse » est tout simplement l'abscisse de $P$, et « côté opposé sur hypoténuse » son ordonnée.
Une conséquence immédiate : comme $P$ reste sur un cercle de rayon $1$, ses coordonnées sont comprises entre $-1$ et $1$.
En mathématiques, on mesure surtout les angles en radians. On enroule la droite numérique sur le cercle trigonométrique : le réel $x$ a pour image le point $P$ du cercle tel que l'arc parcouru depuis $(1 ; 0)$ mesure $x$, dans le sens direct si $x>0$. Un tour complet vaut $2\pi$, donc $\pi$ rad $= 180^\circ$ et $\alpha_{\text{rad}} = \dfrac{\pi}{180}\,\alpha_{\text{deg}}$. Ainsi $90^\circ \leftrightarrow \dfrac{\pi}{2}$, $60^\circ \leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}$, $45^\circ \leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}$ et $30^\circ \leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}$. Sur un cercle de rayon $r$, un arc d'angle $\theta$ (en radians) a pour longueur $\ell = r\theta$.
La mesure principale d'un angle est son unique mesure dans $]-\pi\,;\pi]$. Par exemple, $\dfrac{7\pi}{3} = 2\pi + \dfrac{\pi}{3}$ a pour image le même point que $\dfrac{\pi}{3}$, et $-\dfrac{\pi}{2}$ est sa propre mesure principale. En première, le radian est l'unité principale : on écrit par exemple « $\dfrac{\pi}{3}$ rad » plutôt que $60^\circ$, et les degrés ne servent que d'équivalence. Certains énoncés donnent encore les angles en degrés : tu dois savoir passer de l'un à l'autre : $\dfrac{\pi}{3}$ rad $= 60^\circ$, $\dfrac{2\pi}{3}$ rad $= 120^\circ$, $\dfrac{3\pi}{2}$ rad $= 270^\circ$.
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle est l'ordonnée et le cosinus l'abscisse du point où le côté d'arrivée coupe le cercle, comme le montre la figure. À…
Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle est l'ordonnée et le cosinus l'abscisse du point où le côté d'arrivée coupe le cercle, comme le montre la figure.
À l'aide de la figure, calculer en justifiant la valeur de :
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$\sin 90º$ et $\cos 90º$
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$\sin 180º$ et $\cos 180º$
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$\sin 270º$ et $\cos 270º$
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$\sin 360º$ et $\cos 360º$
Sur la figure, un angle $\alpha$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec les projections de son point $P$ sur les axes. À l'aide de la figure, indiquer le…
Sur la figure, un angle $\alpha$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec les projections de son point $P$ sur les axes.
À l'aide de la figure, indiquer le signe de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ et de $\tan \alpha$, en justifiant chaque réponse à partir des coordonnées du point $P$.
Les quatre cadrans et le signe des lignes trigonométriques
Les deux axes partagent le plan en quatre cadrans, numérotés dans le sens antihoraire à partir du demi-axe positif des abscisses. Le cadran où se trouve le point $P$ fixe le signe de son abscisse et de son ordonnée, donc de $\cos\alpha$ et de $\sin\alpha$.
Indiquer dans quel cadran se trouve le côté d'arrivée de chacun de ces angles : $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indiquer dans quel cadran se trouve le côté d'arrivée de chacun de ces angles :
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$\alpha = 95º$
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$\beta = 262º$
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$\gamma = 310º$
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$\delta = -80º$
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$\varepsilon = 500º$
Sans utiliser la calculatrice, indiquer le signe (positif ou négatif) de chacune de ces lignes trigonométriques, en justifiant à quel cadran appartient chaque angle :…
Sans utiliser la calculatrice, indiquer le signe (positif ou négatif) de chacune de ces lignes trigonométriques, en justifiant à quel cadran appartient chaque angle :
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$\sin 130º$
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$\cos 200º$
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$\tan 320º$
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$\cos 95º$
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$\sin 350º$
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$\tan 140º$
Déterminer dans quel cadran se trouve chacun des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sachant que : $\sin \alpha < 0$ et $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ et…
Déterminer dans quel cadran se trouve chacun des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sachant que :
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$\sin \alpha < 0$ et $\tan \alpha > 0$
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$\cos \beta > 0$ et $\sin \beta < 0$
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$\cos \gamma < 0$ et $\tan \gamma < 0$
Indiquer aussi le signe de la ligne trigonométrique manquante dans chaque cas.
Angles supérieurs à $90^\circ$ : l'angle de référence
Comment calculer $\sin 135^\circ$ sans calculatrice ? On se ramène à un angle aigu : on projette le point $P$ sur l'axe des abscisses, ce qui donne un triangle rectangle dont l'angle en $O$ est l'angle de référence.
On l'obtient ainsi : cadran II, $\pi-\alpha$ ; cadran III, $\alpha-\pi$ ; cadran IV, $2\pi-\alpha$ (en degrés : $180^\circ-\alpha$, $\alpha-180^\circ$, $360^\circ-\alpha$).
Marc doit calculer les lignes trigonométriques de l'angle $\alpha = 120^\circ$. Dans son cahier, il écrit l'explication suivante : « Comme il manque $30^\circ$ au côté…
Marc doit calculer les lignes trigonométriques de l'angle $\alpha = 120^\circ$. Dans son cahier, il écrit l'explication suivante : « Comme il manque $30^\circ$ au côté d'arrivée de $120^\circ$ pour atteindre le demi-axe vertical positif $Y$, son angle de référence est $30^\circ$. Donc $\sin 120^\circ = \sin 30^\circ = 0,5$ et $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ». Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc dans la détermination de l'angle de référence, expliquer pourquoi la définition exige de prendre toujours comme référence l'axe horizontal $X$ et écrire les valeurs correctes de $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ et $\tan 120^\circ$.
Sur la figure, l'angle de $135º$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec son triangle de référence. Sachant que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et…
Sur la figure, l'angle de $135º$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec son triangle de référence.
Sachant que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calculer la valeur exacte de $\sin 135º$ et de $\cos 135º$, en tenant compte du cadran dans lequel se trouve le point $P$.
Un élève a écrit dans son cahier la résolution suivante : > « $\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$ » Trouver l'erreur commise, expliquer pourquoi c'est…
Un élève a écrit dans son cahier la résolution suivante :
« $\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$ »
Trouver l'erreur commise, expliquer pourquoi c'est une erreur et calculer correctement la valeur de $\cos 130º$ avec la calculatrice, avec quatre décimales.
La tangente : quand n'existe-t-elle pas ?
On définit la tangente par $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Comme pour tout quotient, elle n'existe pas quand le dénominateur est nul, c'est-à-dire quand $\cos\alpha = 0$ : le point $P$ est alors sur l'axe des ordonnées.
Indiquer si chacune de ces affirmations est vraie ou fausse, en justifiant la réponse : Il existe un angle $\alpha$ tel que $\cos \alpha = 1,4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indiquer si chacune de ces affirmations est vraie ou fausse, en justifiant la réponse :
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Il existe un angle $\alpha$ tel que $\cos \alpha = 1,4$.
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Si $\sin \alpha > 0$, alors $\alpha$ appartient au premier cadran.
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La tangente de $90º$ n'existe pas.
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$\sin(-40º) = \sin 40º$.
À partir de la définition $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ : Déterminer tous les angles $\alpha$ de $[0º ; 360º[$ pour lesquels $\tan \alpha$ n'existe…
À partir de la définition $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ :
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Déterminer tous les angles $\alpha$ de $[0º ; 360º[$ pour lesquels $\tan \alpha$ n'existe pas, en justifiant la réponse.
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Déterminer tous les angles $\alpha$ de $[0º ; 360º[$ pour lesquels $\tan \alpha = 0$.
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Écrire, à l'aide d'un entier relatif $k$ quelconque, l'expression générale de tous les angles pour lesquels la tangente n'existe pas.
La relation $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ et les angles symétriques
Le point $P(\cos\alpha\ ;\ \sin\alpha)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : sa distance à $O$ vaut $1$, donc $OP^2 = 1$.
Elle permet de retrouver le sinus quand on connaît le cosinus et le cadran. Les points de même ordonnée ou de même abscisse donnent aussi des angles associés.
Sur le cercle trigonométrique (rayon $1$, centre à l'origine), le côté d'arrivée d'un angle $\alpha$ coupe le cercle en un point $P(x ; y)$ dont l'abscisse est…
Sur le cercle trigonométrique (rayon $1$, centre à l'origine), le côté d'arrivée d'un angle $\alpha$ coupe le cercle en un point $P(x ; y)$ dont l'abscisse est $x = -0,8$. On sait de plus que $\tan \alpha > 0$.
- a) Déterminer en justifiant dans quel cadran se trouve l'angle $\alpha$ à partir des signes de son abscisse et de sa tangente.
- b) Utiliser la relation fondamentale sur le cercle trigonométrique ($x^2 + y^2 = 1$) pour déduire la valeur exacte de l'ordonnée $y$ (c'est-à-dire $\sin \alpha$) et calculer la valeur de $\tan \alpha$.
- c) Sachant que l'angle aigu du premier cadran dont le cosinus vaut $0,8$ est environ $36,87^\circ$, calculer :
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La valeur de l'angle positif $\alpha$ appartenant au premier tour ($[0^\circ ; 360^\circ[$).
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Un angle négatif $\beta$ ayant exactement le même côté d'arrivée que $\alpha$ après avoir effectué un tour complet dans le sens horaire (compris entre $-720^\circ$ et $-360^\circ$).
Sur la figure, deux angles, $\alpha$ et $\beta$, sont représentés sur le cercle trigonométrique ; les points de leur côté d'arrivée sont à la même hauteur. Quelle…
Sur la figure, deux angles, $\alpha$ et $\beta$, sont représentés sur le cercle trigonométrique ; les points de leur côté d'arrivée sont à la même hauteur.
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Quelle relation y a-t-il entre les angles $\alpha$ et $\beta$ ? L'exprimer par une égalité.
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Si $\sin \alpha = 0,42$ et $\alpha \approx 25º$, trouver un autre angle de $[0º ; 360º[$ qui a le même sinus.
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Quelle relation y a-t-il entre deux angles de $[0º ; 360º[$ qui ont le même cosinus ? Justifier avec le cercle trigonométrique.
Le point $P$ de la figure appartient au cercle trigonométrique, se trouve dans le troisième cadran et vérifie $\cos \alpha = -0,8$. Quel est le signe de $\sin \alpha$ ?…
Le point $P$ de la figure appartient au cercle trigonométrique, se trouve dans le troisième cadran et vérifie $\cos \alpha = -0,8$.
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Quel est le signe de $\sin \alpha$ ? Et celui de $\tan \alpha$ ?
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Calculer la valeur exacte de $\sin \alpha$ en utilisant l'identité fondamentale $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
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Calculer $\tan \alpha$.
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Soit $\beta = \alpha - 180º$. Indiquer dans quel cadran se trouve $\beta$ et calculer ses trois lignes trigonométriques.
Retour au début : une cabine qui a tourné de $750^\circ$ est au même endroit qu'après $30^\circ$, puisque $750^\circ = 2\times360^\circ+30^\circ$. Sa hauteur par rapport au centre de la roue vaut donc $R\sin 750^\circ = R\sin 30^\circ = 0{,}5\,R$ : pour une roue de rayon $R = 20$ m, elle est à $10$ m au-dessus du centre.